一類分數傅里葉變換圖像加密算法的安全分析

周業勤，龍敏

長沙理工大學計算機與通信工程學院，長沙410114

◎網絡、通信、安全◎

一類分數傅里葉變換圖像加密算法的安全分析

周業勤，龍敏

長沙理工大學計算機與通信工程學院，長沙410114

從分數階傅里葉變換的性質出發，對一類分數階傅里葉變換圖像加密算法進行分析。對原有算法結果圖進行肉眼判斷，提取圖像中間結果數據進行對比分析，可知算法的密鑰具有不敏感性，并且解密圖具有很大失真。對分數傅里葉變換進行理論上的分析和討論。分析及實驗結果表明，直接使用分數階傅里葉變換進行加密的算法對密鑰并不敏感，存在安全隱患。為實現密文圖像的顯示和傳輸而引入的RGB映射將導致解密圖像像素值失真。

圖像加密；分數傅里葉變換；RGB映射；混沌序列

1　引言

隨著多媒體技術和網絡的發展，圖像的安全性受到人們的普遍重視。圖像加密是圖像安全技術的核心，針對圖像數據的特點眾多學者提出基于各種技術的圖像加密算法，主要分為空間域和變換域兩大類。文獻［1］提出用高維Logistic混沌序列進行圖像加密，文獻［2］中Zhou等人將復合混沌引入圖像加密，文獻［3］將Henon和Arnold映射應用于圖像加密，以上是針對混沌密鑰生成方法進行改進的空間域圖像加密辦法；文獻［4-5］討論了基于位運算的圖像加密算法，將圖像數據轉換至二進制并對位進行處理；文獻［6-10］將仿射變換應用于圖像加密，加密速度快且能同時改變像素的像素值和像素位置。空間域圖像加密辦法簡單直觀，但容易受到不法分子的攻擊。文獻［11-18］中分別將小波變換、傅里葉變換和光學技術應用于圖像加密，也稱為變換域圖像加密辦法，其加密原理復雜、圖像敏感性強，但是域的變換會降低加密效率，而且解密圖像數據會存在小部分失真。本文對一類分數階傅里葉變換圖像加密算法進行分析，從實驗上和理論上證明其不適用于圖像加密。

近年來，有不少學者提出采用分數傅里葉變換對圖像進行加密，分數階傅里葉變換的物理意義是做傅里葉變換a次（a為實數），變換后的信號和函數會出現在介于時域和頻域之間的分數域。何俊發等人［19］在2005年提出一種分數階傅里葉變換圖像加密算法，對圖像的x，y方向分別實施不同級次的一維分數階傅里葉變換（也叫不對稱分數階傅里葉變換），實現對圖像的加密，解密方法就是對變換后的圖像實施對應級次的分數傅里葉逆變換。王銀花等人［20］將待加密圖像先進行混沌置亂，再進行分數階傅里葉變換，實現圖像雙重加密，以增強算法的安全性。文獻［21］楊倬等人認為分數階傅里葉變換后的圖像矩陣是復數矩陣，不利于實際應用中的顯示、存儲和傳輸，引入RGB映射，將分數階傅里葉變換后的圖像矩陣的實部、虛部和控制位分別存儲于R、G和B三個分量中，實現加密圖像的顯示、存儲和傳輸。文獻［22］和文獻［23］在文獻［21］的基礎上進行改進，先對待加密圖像進行x方向的一維分數階傅里葉變換，然后進行混沌置亂，再進行y方向的一維分數階傅里葉變換，最后用RGB映射實現加密圖像的顯示、存儲和傳輸，同時去掉混沌序列作為變換密鑰的部分。本文對上述算法進行分析，發現算法以分數階傅里葉變換的階數作為密鑰，當x，y方向的逆變換階數與原變換階數都接近時，能看到原圖像的部分信息，文獻［19-20，22-23］中都是直接以分數階傅里葉變換階數作為密鑰，算法的密鑰敏感性能差。文獻［21］將圖像進行分塊加密，每個塊的變換階數由混沌映射產生，變換階數敏感性增強，但是與算法中的RGB映射步驟相排斥，對密圖進行RGB映射會使密圖像素值的小數部分丟失，在變換階數較大時這種數據丟失的影響被擴大，密圖不能正常還原。

2　算法的敏感性能分析

文獻［19-20，22-23］所進行的分數階傅里葉變換都是直接以變換階數作為密鑰，以文獻［22］為例進行分析。算法過程描述如下：

（1）混沌置亂。根據密鑰u（控制參數）和X0（初始值），由Logistic映射方程Xn+1=uXn（1-Xn），3.569 9≤u≤4，Xn∈（0，1），產生長度為M×N的混沌序列X（其中M×N為待加密圖像的大?。?。對產生的混沌序列X進行排序，得到一個新的序列Xsort；將原二維圖像矩陣按行先序轉換為一維序列L，L的長度為M×N；用得到的Xsort對一維序列L進行置亂得到序列L′，規則如下：

（2）x方向a階分數階傅里葉變換。將（1）得到的矩陣看做一個行向量，對該行向量進行a階離散分數階傅里葉變換，得到一個加密的復數矩陣。

（3）混沌置亂。置亂規則與（1）中類似，經過分數階傅里葉變換后，對圖像進行Logistic映射。

（4）y方向b階分數階傅里葉變換。將（3）得到的矩陣看做一個列向量，對該列向量進行b階分數階傅里葉變換，得到加密的復數矩陣。

（5）RGB映射。上述加密后的圖像為復數矩陣，在實際應用中難以傳輸。將復數加密矩陣的實部和虛部映射到RGB分量，形成可傳輸并可顯示的彩色密文圖像。其中實數部分作為R分量存儲，虛數部分作為G分量存儲。B的每一個元素表示如表1，Fr和Fi表示實部和虛部的符號，Mr和Mi表示實部和虛部的縮小倍數。對每一位B分量元素5-8位設置：若實部為正，則Fr位置至0，否則為1；若實部絕對值小于256，則Fr置0，否則將實部絕對值縮小若干倍后的值存入R，將倍數存入Mr。對虛部做類似處理。

表1　分量B的控制字

下面對上述算法進行仿真，加密密鑰設置為K=［3.96，0.82，3.8，0.7，0.2，0.3］，其中［3.96，0.82］為第一次混沌置亂的混沌序列初始值，［3.8，0.7］為第二次混沌置亂的混沌序列初始值，［a=0.2，b=0.3］分別為x和y方向的分數階傅里葉變換階數。用密鑰K=［3.96，0.82，3.8，0.7，-0.2，-0.3］進行解密，原圖像、密圖和解密圖顯示如圖1，從圖中可以看出加密圖像無法辨認，解密圖與原圖像肉眼看無差別。設解密密鑰b=-0.301其他解密密鑰不變，或者a=-0.199 9其他密鑰不變，分別得解密圖像如圖2。從圖2可知，分數階傅里葉變換解密階數加0.001，能解密大部分圖像信息；解密階數變化范圍小于0.000 1時的解密圖，從肉眼看與原圖基本一致。

圖1　原圖像、加密圖像和解密圖像

圖2　其他密鑰不變b=-0.301的解密圖和a=-0.199 9的解密圖

為了更直觀地了解這種現象，取五幅不同圖像進行實驗，求改變解密密鑰a值或b值后解密圖相對原圖像的像素改變率NPCR和平均變換強度UACI。從表2可以看出，其他解密密鑰不變，當a為正確解密密鑰時解密圖像相對原圖像約有8.4%的像素值發生變化，變化范圍較小；當a在原來解密密鑰上加0.000 1時，大約有8.5%的像素值發生改變并且改變強度較小，與正確解密圖僅具有微小差別，說明解密時分數階傅里葉變換的變換階數加0.000 1基本不影響密圖的正確解密；當a在原來的解密密鑰上加0.001時，72%左右的像素值發生了改變，但改變強度不大，解密圖能較清楚的呈現原圖像輪廓；當a值加0.01時，解密圖有99%以上的像素值改變，變換強度大，解密圖無法辨認。表3表明，解密階數b的變化對解密圖的影響。從表4可知（設變化量為ε）：a+ε，b+ε或a-ε，b-ε比a±ε或b±ε對解密圖像的影響大；a±ε，b?ε比a±ε或b±ε對解密圖像的影響小；a+ε，b-ε與a-ε，b+ε對解密圖的影響相同，即a和b對算法具有同等效果。

下面從分數階傅里葉變換的定義式分析其原因。設連續信號為x（t），令φ=0.5απ，α為實數其周期為4，一維α階分數階傅里葉變換定義為：

kα（t，u）為分數階傅里葉變換的變換核：

定理1函數f（z）=u（x，y）+jv（x，y）在z0=x0+jy0處連續的充要條件是：u（x，y）和v（x，y）在（x0，y0）處連續。

定理2連續是可導的必要條件。

定理3兩個連續函數相乘得到的函數連續。

。α?（2，4）的情況下分析方法類似。得出結論：Xα（s）對變換階數α的變化不敏感。因此，分數階傅里葉變換用于圖像加密時，如果用變換階數a、b作為密鑰，會導致密鑰敏感性過低，存在安全隱患。

表2　b的值不變，改變a的值對解密圖像的影響

表3　a的值不變，改變b的值對解密圖像的影響

表4　同時改變a和b的值對解密圖像的影響

3　解密圖像恢復性能分析

為了克服變換階數的不敏感性，文獻［21］將圖像劃分成不重疊的子塊，塊的大小為4×4，分別進行分數階傅里葉變換，分數階傅里葉變換的變換階數由混沌序列產生。具體敘述如下：

（1）先對原始灰度圖像進行分塊，然后對每個子塊進行二維分數階傅里葉變換，其中x和y方向的變換階數由兩個混沌序列控制，其算法主要過程如下：

①將原圖像L按一定規格大小（本文取4×4）劃分成不重疊的字塊Ik，則I=∪Ik，且Ii∩Ij=φ［i≠j］。

②根據混沌映射，產生用于控制x，y方向分數階傅里葉變換階數控制序列Px=｛px1，px2，…｝，Py=｛py1，py2，…｝，他們分別由下式產生：

③對各子塊進行二維分數階傅里葉變換，變換后的子塊為I′k，即。

（2）混沌置亂。對（1）結果進行混沌置亂，從而實施雙重加密，其算法主要細節為：將變換后的各子塊I′k重新組合成二維矩陣，并將其轉換為一維序列L，L的長度為M×N；根據密鑰u（控制參數）和X0（初始值），由Logistic映射方程Xn+1=uXn（1-Xn），3.569 9≤u≤4，Xn∈（0，1），產生長度為M×N的混沌序列X；對產生的混沌序列X進行排序，記錄序列元素在X中的位置信息得到一個新的序列Xsort；用Xsort對一維序列L進行置亂得序列L′，規則如式（1）；最后將置亂后的一維序列L′轉換為一個二維矩陣。

（3）將復數加密矩陣映射到RGB分量中（映射方法參考上一章節），得到密文圖像。

文獻［21］中算法與其他算法的最大不同在于增加了分塊步驟，而且分數階傅里葉變換的變換階數由混沌序列產生，克服了其他文獻中參數不敏感的缺點。但是，實際算法仿真的時候不能完全得到解密圖，會出現方塊失真，liftingbody、westconcord和lena三圖像經文獻［21］算法加密的解密圖如圖3。

圖3　文獻［21］算法解密圖的方塊失真現象

為了便于分析，將文獻［21］中的分塊步驟去掉，對原圖像liftingbody進行分數階傅里葉變換、混沌置亂和RGB映射，并解密。加密和解密的密鑰一致，分數階傅里葉變換階數用a和b表示。當a，b取值分別為：｛a=0.2，b=0.3｝，｛a=0.9，b=0.2｝，｛a=0.9，b=0.9｝和｛a=1，b=1｝時，解密圖如圖4。從圖中可知，隨著分數階傅里葉變換階數的增大，解密圖失真越大。同樣，對liftingbody、westconcord、lena、rice和cameraman五幅圖像進行實驗，用解密圖相對原圖像的像素改變率NPCR和平均變換強度UACI來衡量解密圖的失真度，結果如表5所示：在沒有加入RGB映射的算法中，NPCR和UACI的值為0，說明分數階傅里葉變換用于圖像加密是可完全還原的；加入RGB映射后的分數傅里葉算法中，當a和b的值較小時，算法失真較小；當a和b的值都較大時，算法失真度很大不能正常解密加密圖。因此，RGB映射應用于分數階傅里葉變換中會導致解密圖像無法正常解密。

圖4　階數a和b取不同值的解密圖

下面對失真的原因進行分析。式（3）中α=1時（φ= 0.5π）），），根據函數的連續性有：，此時。根據指數函數的性質可知，t的值越大，Xα（s）的值越小。所以，在階數α值等于或趨向于1時，如果圖像像素值越大，分數階傅里葉變換結果值越小。對liftingbody圖像進行分數階傅里葉變換，取其左上角4×4大小的矩陣數據進行分析，當變換階數為［a=0.2，b=0.2］時，變換后的圖像矩陣數據如表6所示，變換階數為［a=0.8，b=0.9］時，如表7所示。從表6、7可以看出，如果變換階數較小，得到的分數階傅里葉變換結果值較大，取整所截取的數據占數據本身的比例較小，能較完整的還原原圖像信息；在變換階數接近1時得到的圖像矩陣數據值很小，如果做取整或者四舍五入運算會丟失大部分圖像信息，并且不能還原。所以上述算法中，如果使用混沌序列作為變換階數進行圖像加密，在混沌序列值接近1且圖像像素值較大時，會造成失真現象。

表5　RGB映射對解密圖失真度的影響

表6　變換階數為［a=0.2，b=0.2］的部分加密圖像數據

表7　變換階數為［a=0.8，b=0.9］的部分加密圖像數據

4　結束語

分數階傅里葉變換應用于圖像加密，以變換階數作為密鑰，則算法密鑰敏感性差，變換結果數據矩陣是復數形式，不適用于實際網絡的傳輸和存儲。為了改善上述缺點，算法引入混沌映射和RGB映射，混沌映射用來提高密鑰敏感性，RGB映射可以實現加密圖像的傳輸和存儲，但是對密圖造成失真，特別是變換階數接近nπ+π/2（n為整數）時，圖像解密時將出現塊失真現象。綜上所述，使用分數階傅里葉變換的圖像加密算法，變換階數不適合用做密鑰，而且需要尋找新的方法代替RGB映射，解決圖像的顯示、存儲與傳輸的問題。

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Security analysis of image encryption algorithm for a class of fractional Fourier transform.

ZHOU Yeqin，LONG Min

School of Computer and Communication Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114，China

According to the properties of fractional Fourier transform，a kind of fractional Fourier transform image encryption algorithm is analyzed.The key is not sensitive and the deciphering diagram is of great distortion，when with the naked eye on results chart to judge and extract the image data for comparison.Theoretical analysis and experimental results show that the algorithm is not sensitive to the key when the fractional Fourier transform is directly applied to image encryption. The introduction of RGB mapping to realize the cipher image display and transmission，result a great distortion in pixels. Key words：image encryption；fraction Fourier transform；RGB mapping；chaotic sequence

A

TP309.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1409-0037

國家自然科學基金（No.61001004）；湖南省教育廳項目（No.11B002）；湖南省海外名師項目（No.2013008）。

周業勤（1990—），女，碩士研究生，研究領域為信息安全；龍敏（1976—），女，博士，教授，研究領域為信息安全，無線通信。E-mail：zhouyeqin0220@qq.com

2014-09-02

2014-10-28

1002-8331（2015）22-0085-05

CNKI網絡優先出版：2015-04-21，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20150421.1022.006.html