概率論與數理統計教學淺談

吳小太

摘 要：隨著本科院校近年來不斷擴大招生規模，在一定程度上影響了生源質量。與此同時，普通高等院校在精簡課程方面也做了較大調整。在此新形勢下，作為一名的教師，針對普通高等院校概率論與數理統計課程的教學改革提出相關見解，認為目前普通高等院校，尤其是一些偏應用型的工科院校，在概率論與數理統計課程的教學中，不應該死守教師滿堂講解的教學模式，而是應該提供給學生應用的機會，設立教學實驗課；教學中應突出實際應用，與數學建模相揉合，以達到更好的教學以及學習效果。

關鍵詞：概率論與數理統計 教學實驗 SAS軟件 揉合 數學建模

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）09（a）-0101-02

概率論與數理統計是工科院校的重要課程，但是由于課程自身的特點決定了學生在學習過程中常常會感覺概念太抽象，理解起來相當費勁。如果不能很好地理解概念，那么后續學習就很可能會出現一系列的問題。大多數的時候，在處理習題以及在考試中就會出現很多不必要的錯誤，根源在于沒有很好地理解概念，思維沒有得到相應地拓展。教師在整個教學環節，包括課前備課中必須要思考的，包括如何安排教學，使得學生在學習過程中，能夠愿意學習這門課程，能夠接受該課程的理論體系。通過近十年來對概率論與數理統計課程的教學，筆者認為可以從以下幾個方面來把握。

1 建立良好開端

概率論與數理統計作為一門數學學科，會讓大多數學生在心理上產生莫名的抵觸。在以前的教學過程中，遇到過一些學生，自己認為數學就是很難，很難，太抽象，從開始上課就覺得自己肯定學不好。很顯然，這并不是一個好預兆。我們都知道，興趣是最好的老師。一件事情難或者易，都是和做這件事情的人的主觀意愿有很大關系。如果愿意去做，有興趣，那么難題會變得簡單。同樣，如果不愿意去做，迫于外界壓力不得不去做，即使是很簡單的問題，也不見得就會得到圓滿的解決。所以，作為任課教師，第一次課的首要任務不是開篇就開始教學內容，而是應該建立一個良好的開端，給學生一定的信息量，讓學生覺得這門課程不錯，挺有意思。那該怎么樣上好第一次課。

任何一門學科都有經典的極具代表性的小典故。這些小典故，就像一盞盞小燈光，指引人們有足夠的興趣去探索更加光輝的世界。那概率論與數理統計的這個小燈光又在哪里呢？數學就是為解決實際問題而生的，自然也來源于生活，就像概率論與數理統計學科的誕生一樣。簡單來說，概率的起源——都是色子惹的“禍”。三四百年前的歐洲國家，貴族盛行賭博之風。利用色子賭博的方式可謂是五花八門。很自然，賭徒都希望自己在賭博中不輸。由此產生了著名的德·梅爾問題。但是這些賭徒解決不了這些問題，重擔最終落在數學家的身上。在帕斯卡、費爾馬、惠更斯等數學巨匠的努力下，創立了早期的概率論。

此外，我們所熟知的圓周率，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等的關鍵值。作為這個充滿神奇的常用數，在現代計算機的飛速發展下，可以計算到小數點以后10萬億位。我們沒有必要去深究那10萬億個數到底怎么來的，但是有一點應該確信，事物發展是從易到難的。我們也可以用我們所學概率論與數理統計的知識粗略算出其值。這是一種隨機試驗方法——蒙特卡洛方法。原理是：在直角坐標系下，有一個圓心在原點的單位圓，在第一象限內有一個正方形，其邊長為1，且兩直角邊落在兩坐標軸上。向此邊長為1的正方形內隨機投入塊小石頭，當足夠大時，小石頭會均勻分布在正方形中，落在1/4圓內的小石頭個數記為，則可近似看成1/4單位圓面積。記投點坐標為，每個坐標是（0，1）內的隨機數。每個落在1/4圓內即滿足的概率為。

于是，可用隨機投點法近似計算：。這樣就可以計算出圓周率。如果想進一步得到精確值，可以加大隨機投點的個數，只要其個數足夠大，就可以得到更為精確的值。

通過此番介紹，可以很大程度上吸引學生愿意了解這門學科。這樣就可以在一定程度上打消學生的畏難情緒，建立良好的開端。

2 開設教學實驗

傳統的數學教育屬于知識傳授型，較為重視課程的系統性、獨立性，人為地割裂了數學理論和數學方法與現實世界的聯系。對于概率論與數理統計的教學，可以適當增加一些多媒體課件的應用。數學課程的抽象性，導致很多教師認為不能用多媒體課件教學，因為學生跟不上教師的思維，而一味地看課件，不能很好地領會課程內容。凡事總有利弊。我個人認為，如果可以適當地應用多媒體課件，會在一定程度上幫助學生理解教學內容，而不是低頭看一些復雜的定義、定理。作為理論性偏強的內容，教師可以自行調整，沒有必要花費大量的時間板書此部分內容。教材上有的，直接可以放到多媒體課件里，重點是講解含義以及應用。過多的板書定義、定理，也會影響到學生學習的信心和興趣。在當前教學形勢下，如果不借助計算機這一現代化的工具，將使得學生不了解，也不會使用數學軟件，同時加重學生學習以及教師教學的負擔。

除了課堂上恰當使用多媒體課件意外，還可以在完成課堂的理論教學以后，適當安排一定的學時給學生，讓學生親身體會一下，在借助現代化的計算機技術情況下，我們的概率論與數理統計課程可以如此不同。比如說：利用SAS軟件計算正態分布、二項分布、指數分布等事件的概率。對于各種分布通過改變參數繪制圖形，體現分布中參數的意義。通過實驗，使學生更好地理解定義、定理。這樣做，在現有學時緊張的情況下，不僅可以提高教學效果，更可以使學生的計算和應用能力得到提高。

3 揉合數學建模

數學學習貴在學以致用。在當前的教育背景下，對于數學這門學科的學習，從小學開始就僅僅體現在會做題，能考高分上。這當然可以作為對于知識學習的一個考量，但絕對不應該成為唯一的考量?？v然具有扎實的理論知識，若不知道、不能夠在實際工作或是生活中解決問題，那就失去了學習知識的初衷。

在校大學生，都能走出校園，去到工廠、企業中幫助解決實際問題，事實上也不現實。我們需要做的是在學校既有的條件下，提供給學生更多更好地實戰的機會，學以致用。我認為最好的辦法就是鼓勵學生參加全國大學生數學建模競賽。作為一個全國性的賽事，很具有挑戰性。參加過本賽事的同學，大多都認同此賽事對于他們把所學知識用于解決實際問題是一個很好的平臺，對他們的綜合能力有很大的提高。

縱觀今年全國大學生數學建模競賽的題目，很多時候都會牽涉到概率論與統計的內容。如：2010年儲油罐的變位識別與罐容量標定問題，2011年交警巡邏服務臺的設置和調度問題，2012年葡萄酒的評價，2013年車道被占用對城市道路通行能力的影響等問題都在一定程度上涉及到了概率論與數理統計的知識。因此，教師在課堂教學中對利用課程知識進行數學建模的思想加以滲透，探索一些具有現實意義、應用性強的實例，讓學生分析、調查、研究，在探索過程中體會隨機問題的魅力，培養學生運用概率論與數理統計知識分析和解決問題的能力。

當然，要參加全國大學生數學建模競賽，必須具備一定的基礎。基礎從哪里來？在平時，在教師上課的時候加以灌輸建模思想。有限的課時，顯然不適合作諸如全國大學生數學建模競賽那樣復雜的題目，可以從小處入手，從生活中截取部分實例，幫助培養學生數學建模的思維方式。

實例：賣報人的煩惱。

問題簡述：賣報人每天早晨購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回，如何購進適量的報紙，使之即可以滿足需求量，同時又可以最大程度地減少因為退回帶來的損失？

問題分析：其實這就是一個關于怎么樣使得獲得利益最大化的問題，作為每一個生意人，都會遇到類似的問題。那么，看似簡單的一個小問題，和概率論與數理統計知識又有什么關系呢？因為要考慮獲得最大收益，顯然與購進量和售出量有關系。而購進量是受需求量的影響，而需求又是隨機的，故而要建立一個隨機模型，也就是概率模型，是一類針對隨機現象的模型。

問題解決：設報紙每份購進價為，零售價為，退回價為，顯然有，因而每賣出一份報紙賺，退回一份賠，為了獲得最大的收入，必須確定合適的購進量。假定賣報人按照自己以往的售賣經驗已經基本掌握了需求量的隨機規律，也即是每天報紙的需求量為的概率為是知道的。假如每天購進量為份，由于需求量隨機，所以賣報人的收入也是隨機的，因此應該以每天收入的數學期望為優化的目標函數。

利用概率知識，可以分析得到：購進量應滿足：賣不完與賣完的概率之比恰好等于賣出一份賺的錢和退回一份賠的錢之比。顯然，當賣報人與報社簽訂合同使賣報人每份賺錢與賠錢之比越大時，賣報人購進的量就應該越多。

利用概率論知識使問題得到了很好解決，所得到的結論和實際也是相符合的。

日常生活中經常會遇到排隊等候服務的現象，如車站售票處乘客依次排隊買票，醫院里病人按序號等候就醫，超市里收銀臺前顧客排隊等候付款，空中飛機等候跑道降落等等。諸如此類問題，可歸結為同一個隨機問題：顧客到達的時刻和服務員進行服務的時間都是隨機的，可用隨機服務模型解決這一問題。

4 完善考核方式

考核是教學過程的重要環節，是考查學生學習情況，評估教學質量的手段。概率論與數理統計課程作為考試課程，不能一味采用期末閉卷卷面成績占總評的80%，平時成績占總評的20%的考查機制?？傇u成績應該更加細化，可分為：平時成績占60%，期末閉卷卷面成績占40%，其中平時成績的60%可劃分為出勤占10%，課堂表現占15%，課后作業占10%，數學建模占25%。這樣既可調動學生積極性，又能體現學生對概率論與數理統計知識的應用能力。只有在這樣的考核機制下，才更有利于學生實際應用能力的培養。

總之，在概率論與數理統計的教學中，不是僅僅是讓學生會做幾道概率論與數理統計的題目，而是要想辦法引導學生在學習概率論與數理統計課程的過程中拓展學生思維，深刻體會其實際應用價值，逐步提高分析、解決問題的能力。通過教師的潛心培養，學生所具備的綜合素質必將在學生后續的學習、工作以及以后的生活中發揮至關重要的作用。

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