立足本源 授人以漁

洪櫻

[摘 要]

通過分析一道高考題的解題障礙，得出教學(xué)啟示，并以解析幾何的教學(xué)為例，談了滲透數(shù)形結(jié)合思想的三個方法。

[關(guān)鍵詞]

教學(xué)指向;為數(shù)配形;形數(shù)互化

高三一輪復(fù)習(xí)《直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系》的時候，我挑選了2013年高考江蘇卷17題作為例題。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為[1]，圓心在l上。

（I）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程。

（II）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

從當(dāng)堂反饋來看，學(xué)生在第一小題上沒有障礙。而在解第二小題的過程中，多數(shù)同學(xué)能由MA=2MO得出阿波羅尼斯圓的方程，但未意識到軌跡為幾何圖形，只是專注于點M同時在兩條曲線上，故而聯(lián)立方程組[x2+（y+1）2=4（x-a）2+（y-2a+4）2=1]消去x或y，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，試圖用代數(shù)方法求解，然后受困于此，解題走向死胡同。

在我提醒從“形”的角度思考方程組后，學(xué)生們恍然大悟“圓[C]與阿波羅尼斯圓”有公共點，然后他們順利地寫出了以下的求解過程：

因為圓心在直線y=2x-4上，所以圓C的方程為[（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1].

設(shè)點M（x，y），由MA=2MO，知：[x2+（y-3）2=2x2+y2]，化簡得：x2+（y+1）2=4. 所以點M的軌跡是以D（0，-1）為圓心，2為半徑的圓。

又因為點在M圓C上，所以圓C圓D的關(guān)系為相交或相切，則[2-1≤CD≤2+1]，其中[CD=a2+（2a-3）2]。

解之得：[0≤a≤125]。

所以點[C]的橫坐標(biāo)a的取值范圍為[0，125]。

確實，2013年的考生走出考場后有較多人反映第17題的第二小問比較困難。事實上，此題相較于此前三年高考考的橢圓問題大大降低了計算難度，側(cè)重考察函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想。為什么多數(shù)學(xué)生解不出第二小問呢？主要原因是學(xué)生沒有深入理解數(shù)學(xué)的基本思想，不能將其靈活運用于解題實踐。這就啟示教師：中學(xué)教學(xué)不需過分追逐高考風(fēng)向，而應(yīng)回歸本源，從提高能力素養(yǎng)著手，讓學(xué)生真正掌握重要的思想方法。

接下來以解析幾何為例，談?wù)勅绾卧谄綍r教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。

一、新課教學(xué)指向研究方法和研究思路

教材中的每個數(shù)學(xué)分支，甚至每個課程單元或者主題模塊，都有相應(yīng)的研究方法和研究思路。《數(shù)學(xué)必修2》第二章平面解析幾何初步的引言在列舉了現(xiàn)實生活中的曲線后，介紹了曲線的方程、方程的曲線的概念，并拋出問題：如何建立直線和圓的方程？如何通過方程來研究他們的性質(zhì)？這實際上已經(jīng)給出了解析幾何研究問題的一般方法：首先引入坐標(biāo)把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后進行代數(shù)運算，最后把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。本質(zhì)上就是“化形為數(shù)、為數(shù)配形”。所以教師在教授新課時要按照“形-數(shù)-數(shù)-形”的邏輯順序展開教學(xué)。

比如在“橢圓的性質(zhì)”這一小節(jié)中，教材安排先研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程再得出橢圓的范圍、對稱性、頂點等性質(zhì)，然后設(shè)置例題1研究1個特殊橢圓的幾何性質(zhì)再畫出這個橢圓。然而，北京市特級教師張鶴先生在講座《有意義的教學(xué)是觀念性的教學(xué)》中提到：有些教師在“橢圓的性質(zhì)”課例中，直接畫出圖形然后讓學(xué)生觀察橢圓的性質(zhì)。如此處理，表面上學(xué)生也很容易接受橢圓的各種性質(zhì)，但是這兩種不同的教學(xué)方法在學(xué)生研究問題的能力培養(yǎng)上取得的效果是截然不同的。前者教會學(xué)生的是研究問題的方法和思路，一旦領(lǐng)會就終身難忘;后者只教會了學(xué)生具體的知識，沒有方法的引領(lǐng)學(xué)生解題只能是“想不到、解不出”。

二、公式推導(dǎo)挖掘“形”的內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合的思想還包含構(gòu)造“形”來體會問題的本質(zhì)，進而解決“數(shù)”的問題。但是本章中的解析法側(cè)重于將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題研究，所以教師在“為數(shù)配形”方面還需多些關(guān)注與重視。

比如橢圓（雙曲線）的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程就是一個“為數(shù)配形”的好素材。

《數(shù)學(xué)選修2-1》在“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”這節(jié)的習(xí)題中安排了第8題：設(shè)動點P到點F（1，0）的距離是到直線x=9的距離的[13]，試判斷點P的軌跡是什么圖形。在“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”這節(jié)的習(xí)題中安排了第5題：在DABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB，AC的斜率乘積為[94]，求頂點A軌跡。這兩道習(xí)題的安排能啟發(fā)師生對橢圓（雙曲線）的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程作進一步的思考與挖掘。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中有中間式：[a2-cx=a（x-c）2+y2]，受習(xí)題8的解答的啟示，可將其變形為[ca（a2c-x）=（x-c）2+y2]，即[（x-c）2+y2a2c-x=ca]，然后“為數(shù)配形”。式子表示動點（x，y）到定點F（c，0）的距離與它到一定直線l：x=[a2c]的距離之比是定值[ca]。顯然，滿足上述條件的動點軌跡是橢圓。這也為本章的后繼內(nèi)容“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”做好了鋪墊。

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中有中間式：[（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）]，受習(xí)題5的解答的啟示，可將其變形為[a2y2=（c2-a2）（x2-a2）]，

即[y2x2-a2=c2-a2a2]，即[yx+a?yx-a=c2-a2a2]，然后“為數(shù)配形”。式子表示動點動點（x，y）分別與定點（a，0）、（-a，0）連線斜率的乘積等于定值[c2-a2a2]。顯然，滿足上述條件的動點軌跡是雙曲線。這又找到了雙曲線（橢圓）的一種描述方式。

由此可見，教材中的推導(dǎo)方式不僅能教會學(xué)生一種算理，也能培養(yǎng)學(xué)生“為數(shù)配形”的能力。教師要善于思考、善于挖掘。

三、習(xí)題教學(xué)側(cè)重形數(shù)“互”化

“形”與“數(shù)”是對立統(tǒng)一的，在運動變化中相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化。所以，教師在滲透數(shù)形結(jié)合思想時，要讓學(xué)生學(xué)會多角度地考慮問題。這種轉(zhuǎn)化能力可以通過習(xí)題組強化訓(xùn)練。教師要精心選題，編制題組，“對癥下藥”。

2013年的這道高考題平淡之中見神奇，大巧若拙，匠心獨運，符合高考考查功能的要求：重方法，輕套路;重基礎(chǔ)，輕技巧;重思考，輕計算。它顯然是一道有價值的例題。如何把它的功能完全發(fā)揮出來？教師要立足思想方法的根本，按照從模仿到應(yīng)用的順序，設(shè)計題組，有針對性地訓(xùn)練。

在復(fù)習(xí)課上，我在這道高考題后又安排了2道變式：

變式1：已知點A（-2，0），圓C：[（x+4）2+y2=16]，P是圓C上任意一點，問：在平面上是否存在點B，使[PAPB=12]？若存在，求出點B坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

變式2：已知過點P（m，2）（m?R）總存在直線l與圓[x2+y2=1]依次交于A、B兩點，使得對于平面中的任意一點Q滿足[QP+QB=2QA]，則m的取值范圍是_____.

變式1是把原題的條件結(jié)論互換，并把“圓上存在一點”改為“圓上任意一點”。學(xué)生解出原題后，如果能總結(jié)出兩個要點：一、平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為正常數(shù)[λ（λ≠1）]的點的軌跡是阿波羅尼斯圓，二、方程組有解轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點，那么變式1不難解決。假設(shè)存在點B（m，n）使[PAPB=12]，那么P（x，y）在阿波羅尼斯圓上。既然P是圓C上任意一點，那么阿波羅尼斯圓與圓C重合，兩方程一模一樣，m，n就能解出來了。

變式2的條件與原題差異較大，但若破解了向量條件就柳暗花明了。從“形”的角度理解條件[QP+QB=2QA]，點A 是PB的中點。再從“數(shù)”的角度，設(shè)A坐標(biāo)[（x0，y0）]，利用中點關(guān)系得出B坐標(biāo)[（2x0-m，2y0-2）]。而點A、B都在圓[x2+y2=1]上，得出方程組[x20+y20=1（2x0-m）2+（2y0-2）2=1]。回到“形”的角度，兩圓相交，圓心距大于半徑差小于半徑和，繼而得出m的取值范圍。

從當(dāng)堂反饋來看，學(xué)生通過對照變式與原題的異同能思考出解題思路，說明形數(shù)“互”化的能力得到鍛煉與提高。

總之，教師只有認真研讀教材，通透理解數(shù)學(xué)知識，才能用科學(xué)的研究思路與研究方法對教材“二次開發(fā)”、對習(xí)題舉一反三，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

[參 考 文 獻]

[1]渠東劍.2013年高考數(shù)學(xué)江蘇卷試賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2013（8）：32-35.

[2]任念兵.指向?qū)W科研究方法和研究思路的試題命制[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2014（12）：51-54.

[3]趙思林.研究高考數(shù)學(xué)試題的幾種視角[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2009（4）：57-58，60.

（責(zé)任編輯：張華偉）