載人月面著陸過程的應急上升軌道優化設計

彭祺擘，張海聯（載人航天總體研究論證中心，北京100094）

載人月面著陸過程的應急上升軌道優化設計

彭祺擘，張海聯
（載人航天總體研究論證中心，北京100094）

研究了月面軟著陸過程發生故障后的應急上升軌道，建立了整個應急上升過程的優化設計模型，并針對構建的強約束軌道優化問題，設計了將Gauss偽譜法和直接打靶法結合的混合優化策略，求解得到了滿足應急條件的上升軌道參數。仿真分析表明該方法可以有效解決月面應急上升軌道優化問題，且求解收斂性和魯棒性較好，可為同類問題的求解提供參考。

月面著陸；應急上升；軌道設計；高斯偽譜法；直接打靶法

1　引言

不同與無人月球探測，能否保證航天員安全是決定載人登月任務成功與否的關鍵。因此軌道設計必須要考慮飛行器在發生故障后的任務中止能力，任務中止軌道的設計與正常任務軌道同樣重要。目前雖有部分文獻對載人登月的應急軌道進行了研究，但主要是圍繞地月轉移過程發生故障后的應急返回展開研究［1，2］，對于月面上升過程，相關文獻［3，4］主要是針對標稱軌道進行設計和研究，而對月面軟著陸過程中出現故障后的應急返回軌道設計較少。載人登月任務一般采用基于環月軌道交會的飛行方案，著陸器在從環月軌道到達月球表面的著陸過程中，有可能發生一些故障，導致任務無法繼續并要求著陸器快速返回環月軌道，與在軌飛船完成交會對接，因此有必要預先對月面應急上升交會軌道做出設計，以保證發生故障時航天員的安全性。本文即主要研究著陸器的應急上升軌道優化策略。

月球沒有大氣，著陸器在著陸過程中發生故障時，主要靠發動機來調整控制策略，使其返回到環月軌道。應急返回軌道設計需同時滿足故障時刻著陸器的位置、速度約束以及與在軌飛船的交會對接條件約束，其軌道設計可以看作是求解一類同時滿足初始和終端狀態約束的最優控制問題。針對這一軌道設計的特點，本文將目前研究較多的一類配點法——偽譜法與傳統的打靶法相結合，提出了一種混合優化策略，對月面應急上升交會軌道進行了優化設計。仿真分析表明此方法求解精度高，對初值敏感度較底，具有很好的魯棒性和收斂性。

2　問題描述

載人登月任務的月面軟著陸過程主要分為三個階段：下降軌道機動段、無動力下降段和動力下降段［5］，如圖1所示。

月面著陸器故障發生在著陸過程的不同階段時，其所采用的應急上升策略不同。故障發生在無動力下降段時，只需要采用脈沖推力提升著陸器軌道高度并調整其與載人飛船的相位差，使兩飛行器滿足交會對接條件；故障發生在動力下降段時，則首先需采用連續推力發動機將著陸器送入交會對接初始軌道，然后采用脈沖推力變軌實現與在軌飛船的交會對接［6］。本文主要針對月面著陸動力下降段發生故障后的應急上升軌道做出設計，并進行相關特性分析。

在動力下降段著陸器發生故障時，它與在軌飛船的相對狀態一般不能滿足交會對接初始條件要求，故首先需要調整著陸器的軌道高度和位置、速度狀態，使其最終與在軌飛船建立合適的相對狀態，隨后啟動標準化交會程序實現交會對接［7］。因此，應急上升段的主要任務是將著陸器從任務中止點送入預定交會對接軌道，此階段采用連續推力模式，完成后著陸器一般進入近月點約15 km且與載人飛船共面的橢圓軌道［8］。下面給出具體優化設計方法。

3　優化設計模型

應急上升過程可以看作是動力下降段的逆過程，因此其軌道設計可看作是求解滿足一系列約束條件的最優控制問題，具體優化求解過程如下。

3.1設計變量

月面上升級一般采用固定推力發動機［4］，因此選取發動機的推力方向角α、β和飛行時間tf作為應急上升段軌道優化設計的設計變量如式（1）：

給定一組設計變量X，即可對動力學模型進行積分確定出應急上升段的飛行軌道參數。

3.2動力學模型

建立月心慣性坐標系OL-XYZ，其坐標原點為月心，X軸指向著陸器動力下降時刻月面中央灣位置，Z軸為月球自轉方向。

建立軌道坐標系o-xyz，該坐標系為非慣性系。其坐標原點為著陸器質心，z軸從月心指向著陸器方向，x軸垂直于z軸指向動力下降初始時刻的運動方向，與月球正北方向的夾角為γ。其中，γ為動力下降開始時刻著陸器速度方向與月球正北方向夾角，見式（2）。

其中，i0為初始環月軌道傾角，φ0為動力下降點著陸器的月心緯度，以上參數如圖2所示。

圖2　相關坐標系示意圖Fig.2 Coordinate system s

在著陸器應急上升時，只考慮發動機推力Ta和月球引力，假設為月球中心重力場，且忽略其它攝動

力影響，則推導應急上升過程動力學方程為式（3）：

式中，r為月心距，u、v、w為軌道坐標系中的速度分量，λ和φ為上升過程中的經緯度，ma為質量，Isp為發動機比沖，μL為月球引力常數。

3.3約束條件

月面著陸器在下降過程中發生故障應急上升時，主要需考慮兩類約束條件，一類時由于著陸器的位置約束，即邊界條件，要求著陸器要能在故障位置快速返回預定軌道；另一類是著陸器的性能約束，包括發動機，安全性要求等。

1）邊界條件

主要包括初始及終端條件約束。初始條件為故障時刻著陸器的位置和速度，如式（4）和式（5）。

其中，RL為月球半徑，ta為動力下降到任務中止的飛行時間，ha、λa和φa為任務中止時刻著陸器在月固系下的高度和經緯度，ua、va和wa為任務中止時刻著陸器在月固系下的速度。

終端條件為滿足著陸器入軌后的交會對接約束，主要包括高度和共面約束，相位這里不作為約束條件，而是在優化目標中給出。

因此終端條件為應急上升后載人飛船的位置和速度，如式（6）和式（7）。

其中，i0和Ω0為目標軌道的傾角和升交點赤經，HLLO為目標軌道高度，hf為應急上升后高度。

2）工程約束

首先，著陸過程中推力方向角受發動機限制不能隨意選取，應滿足式（8）：

其次，上升過程中為避免著陸器撞月的可能性，要求其飛行過程的月面高度大于某一安全值，即式（9）：

3.4優化目標

根據任務需求，應急上升可選擇不同的優化目標。

1）相位差

倘若分析應急上升后著陸器與載人飛船的相位差范圍，則選取相位差為優化目標，如式（10）：

其中，Φfd為從動力下降到任務中止著陸器飛過的相位角，Φfa為從任務中止到應急上升完成著陸器飛過的相位角，tH為初始無動力下降段飛行時間。上式中取“+”號時得到最小相位差，取“-”號時得到最大相位差。

2）燃料消耗

倘若任務要求在最短時間內完成應急上升或燃料消耗最少，則可選取燃料消耗為優化目標，即式（11）：

上升過程中推力大小恒定，因此優化目標可寫為式（12）：

4　優化求解策略

由于模型較為復雜，且約束條件較多，傳統方法求解存在難以收斂、計算速度慢或對初值敏感等問題。本文提出基于一類配點法-高斯偽譜法和直接打靶法相結合的混合優化策略，即首先同時離散控制變量與狀態變量，取較少Gauss點，利用GPM求解軌道初值；然后進一步離散控制變量，將上步結果作為初值，利用直接打靶法求解精確解。此方法可避開變量初值猜測問題，降低對初值的敏感度。下面給出優化方法。

4.1利用GPM計算初值

利用Gauss偽譜法求解結果為離散值，Gauss點選取較少時精度較差。Gauss點較多時設計變量數目就會較為龐大，此時初值選取不當會導致問題收斂不到可行解［9］。針對此問題，本文只利用GPM作為初值生成器。

首先選取較少的Gauss點N（文中N=6），利用GPM將最優軌道設計問題轉化為非線性規劃問題，并利用SQP算法求解近似最優解，實踐表明此時需賦初值設計變量少，對初值不敏感，魯棒性好。然后將計算得到的結果作為下步計算的初值。Gauss偽譜法求解原理參考文獻［6］。

另外，本文對于初值的求解，采用了從可行解到最優解的串行優化策略。即首先將等式約束轉化為目標函數，求得可行解；然后利用求得結果作為初值，求解原有最優控制問題，得到最優解。這種辦法可更有效提高收斂性。

4.2利用直接打靶法求解高精度最優解

進一步離散控制量，在選取的Gauss點之間進一步離散時間，即將每兩個Gauss點之間時間進行K等分，將整個軌道離散為（N+1）·K段。每個Gauss點處控制變量初值已在4.1節中求得，等分點之間控制變量初值通過樣條插值求得。

每個離散點ti（i=0～（N+1）·K）處，狀態變量為Xi=X（ti），控制變量為Ui=U（ti）。由于狀態變量是連續的，因此每一段利用Runge-Kutta積分對軌道進行逼近。這樣優化問題經離散化后，利用SQP算法對非線性規劃問題求解，得到最終解。

圖3給出了求解策略流程。

圖3　月球應急上升的軌道優化策略Fig.3 Optim ization strategy of emergency ascent trajectory

5　仿真算例

以月球極軌為例，計算著陸器在某時刻中止任務后最優上升軌道，仿真參數如下。

設載人飛船初始環月軌道傾角為90°，高度為110 km，升交點赤經為180°。動力下降段初始高度15 km，經度0°，緯度90°；終端高度2 km，經度5°，緯度76°。所設計的標稱著陸軌道位置、速度變化如圖4所示。

設任務中止時間ta=203.28 s，如圖4所示，中止時刻著陸器參數（即應急上升初始條件）見表1。

表1　應急上升初始軌道參數Table 1 Initial trajectory parameters of emergency ascent

終端條件為：通過應急上升，著陸器進入與載人飛船共面，近月點15 km，遠月點220 km的橢圓軌道，其中遠月點設為220 km主要是為了在后續交會對接段調整兩飛行器的相位差［6］。

應急上升的過程約束見式（13）

圖4　標稱著陸軌道位置、速度變化曲線Fig.4 Time history of position and velocity in lunar standard descent trajectory

另外，設上升級初始質量ma0=5 000 kg，發動機推力Ta=18 kN，發動機比沖Isp=300 s。

5.1相位差范圍

首先以相位差作為優化目標，且約束應急上升燃料消耗mu≤2500 kg，分別計算應急上升結束后，著陸器與載人飛船可達到最大、最小相位差，結果如表2所示。

表2　應急上升后兩飛行器相位差范圍Table2 Range of phase difference between two aircrafts

圖5給出了飛行過程中兩飛行器相位差變化。

結果表明，應急上升段調整較小相位就需要耗費較多飛行時間和燃料，調相能力很差，在工程中并不可行，因此應急上升段一般不以調相為目的。這樣應急上升后相位差并不能滿足交會對接要求，但可在應急交會段完成兩飛行器的相位差調整，已滿足要求。

圖5　應急上升過程兩飛行器的相位差變化Fig.5 Time history of phase difference between two aircrafts

5.2燃料最優上升軌道

以燃料消耗為優化目標，可得應急上升飛行時間為210.7 s，燃料消耗為1 290.143 kg，最終兩飛行器相位差為4.47°。應急上升飛行軌跡如圖6所示。

圖6　應急上升過程的飛行軌跡Fig.6 The flying track during emergency ascent

上升過程各方向速度變化如圖7所示，推力方向變化如圖8所示。

通過大量仿真試驗，初值在約束范圍內隨機選取，求解均能收斂，且結果通過積分驗證均能滿足所有約束條件，因此其求解精度較高，魯棒性較好。此外，優化計算在Matlab環境下編程，計算機CPU為1.7 GHz/CORE（TM）i5，內存為3 G時，計算過程耗時小于2分鐘，可見收斂速度較快。

6　結論

本文對月面軟著陸過程中著陸器發生故障時的應急上升軌道做出了研究，建立了整個應急上升過程的優化設計模型，并采用連續推力模式，對整個軌道進行了優化設計。針對本文這一強約束條件下的非線性優化問題，設計了Gauss偽譜法和直接打靶法相結合的混合優化策略，仿真表明此方法可有效解決本文所提出的復雜優化問題，且收斂速度快，求解精度較高，魯棒性較好，可為同類問題求解提供參考。

［1］陳海萍.載人登月任務中止軌道特性分析［D］ .長沙：國防科技大學，2009. Chen Haiping.Study on Characteristicsof Lunar Abort Trajectories in Manned Lunar Mission［D］.Changsha：National U-niversity of Defense Technology，2009.（in Chinese）

［2］Peng Qibo，Shen Hongxin，Li Haiyang.Free return orbit design and characteristics analysis for manned lunar mission［J］.Sci China TechSci，2011，54（12）：3243-3250.

［3］李鑫，劉瑩瑩，周軍.載人著陸器上升入軌段的制導律設計［J］.系統工程與電子技術，2011，33（11）：2480-2484. Li Xin，Liu Yingying，Zhou Jun.Design of guidance law for lunar ascent phase ofmanned lunarmodul［J］.Systems Engineering and Electronics，2011，33（11）：2480-2484.（in Chinese）

［4］Sostaric R R，Merriam R S.Lunar ascent and rendezvous trajectory design［C］//31 th Annual AASGuidance and Control Conference，Breckenridge，Colorado，2008.

［5］郗曉寧，曾國強，任萱，等.月球探測器軌道設計［M］.北京：國防工業出版社，2001：146-151. Xi Xiaoning，Zeng Guoqiang，Ren Xuan，et al.Orbit Design of Lunar Probe［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2001：146-151.（in Chinese）

［6］彭祺擘.考慮應急返回能力的載人登月軌道優化設計及特性分析［D］.長沙：國防科技大學，2012. Peng Qibo.Optimal Trajectory Design and Characteristics A-nalysis for Manned Lunar Landing Mission with Emergency Return Capability［D］.Changsha：National University of Defense Technology，2012.（in Chinese）

［7］周建平.空間交會對接技術［M］.北京：國防工業出版社，2013：168-170. Zhou Jianping.Space Rendezvous and Docking Technology［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2013：168-170.（in Chinese）

［8］Hull D G，Harris M W.Optimal solutions for quasiplanar ascent over a spherical moon［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（4）：1218-1224.

［9］彭祺擘，李海陽，沈紅新.基于高斯——偽譜法的月球定點著陸軌道快速優化設計［J］.宇航學報，2010，31（4）：1012-1016. PENG Qibo，LIHaiyang，SHEN Hongxin.Rapid lunar exactlanding trajectory optimization Via Gauss pseudospectralmethod［J］.Journal of Astronautics，2010，31（4）：1012-1016.（in Chinese）

Optim ization of Lunar Emergency Design Ascent Trajectory during M anned Lunar Landing

PENG Qibo，ZHANG Hailian
（Manned Space System Reasearch Center，Beijing 100094，China）

Lunar emergency ascent trajectory during soft landing was studied and a lunar emergency ascent trajectory optimization design model was established.A hybrid optimization strategy combining GPM and shootingmethod was designed to obtain the optimal solution of the ascent trajectory parameters satisfying the emergency constraints.The simulation results showed that the proposed method could solve the complex optimization problem effectively，and themethodology and strategy for the optimal trajectory design have good robustness and strong convergence.

lunar landing；emergency ascent；trajectory design；Gauss Pseudospectral Method（GPM）；direct shootingmethod

V412.4+1；V476.3

A

1674-5825（2015）02-0187-06

2014-09-09；

2015-03-08

彭祺擘（1982-），男，博士，助理研究員，研究方向為航天任務分析與仿真。E-mail：poochie003@163.com