血吸蟲病在多個染病者群體傳播的S-DI模型的穩定性分析

甘莉娟，薛 夢，Sakhone Sysavathdy，齊龍興

（安徽大學數學科學學院，安徽合肥230601）

血吸蟲病在多個染病者群體傳播的S-DI模型的穩定性分析

甘莉娟，薛 夢，Sakhone Sysavathdy，齊龍興

（安徽大學數學科學學院，安徽合肥230601）

主要介紹血吸蟲病在多個染病者群體傳播的S-DI模型,對于兩種不同的發生率產生不同的模型,分別求出其平衡點及疾病爆發的閾值,并且分別判斷出無病平衡點和地方病平衡點的局部穩定性,并進行了數值模擬。

血吸蟲病；S-DI模型；雙線性發生率；標準發生率；穩定性

血吸蟲病是一種嚴重危害人類健康的寄生蟲病,據世界衛生組織于1995年估計,全球有75個國家和地區有血吸蟲病的流行,受威脅人口約6.25億,感染血吸蟲病者1.93億。我國也是全球血吸蟲病危害最嚴重的國家之一。

目前,在實際防病,治病及科研等方面還存在著一系列的問題。當然,在研究血吸蟲病傳播的模型中,許多人已經做了很多的努力[1-6]。我們已經考慮了很多因素對血吸蟲病傳播的影響，例如宿主的潛伏期及血吸蟲配對結構等等[1]。

影響血吸蟲病流行的因素中水源是非常重要的因素之一,血吸蟲生活史中的許多階段都是在有水的條件下完成的,人們接觸含有血吸蟲的水源的程度不同，其受感染的程度也不同。本文就這一因素用數學的方法來探討,希望為今后血吸蟲病的控制和預防有很好的引導作用。

本文主要介紹了血吸蟲病在多個染病者群體傳播的S-DI模型,引入判斷該模型穩定性的方法[2]。主要針對兩種不同的發生率來介紹S-DI模型,并由此判斷血吸蟲病未來局部傳播趨勢。

1 模型的建立

由血吸蟲病的傳播機理可知，由于易感者接觸含有血吸蟲的水源的程度不同，使其受感染的程度也不同,因此我們可將其分為輕度感染者和重度感染者兩類,分別用I1和I2表示,每一子群體中的病人均可與易感者S接觸但有不同的有效接觸率和移出率。假定輸入率為常數K=μS0,且均為易感者,有效接觸率系數為β,自然死亡率系數為μ,移出率系數為γ。

若采用雙線性發生率,則相應的S-DI模型為[3]

若采用標準發生率,則相應的S-DI模型為

其中pi為染病者進入Ii群體的比例系數,;γi是Ii類病人的移出率系數;βi是Ii類病人的有效接觸率系數。

2 平衡點的穩定性

對于上述兩種模型的穩定性,主要思路：(1)有正平衡點的情況下求出正平衡點;(2)對該方程系統進行線性化,得到相應的線性系統;(3)應用常微分方程理論求出相應的特征方程和特征根,判斷根的實部是否是負的;有負實部,則該系統的平衡點局部漸近穩定,否則不穩定。

2.1 雙線性發生率模型

為求系統(1)的平衡點,令其右端為0,從而求得可能存在的兩組解分別為,

下面分兩種情形討論平衡點的存在性及穩定性。令

在上式中pi是染病后成為Ii類型病人的概率,是Ii類病人的平均患病期。從而,便是當人群全是易感者（流行初期）S0時，一個病人在其平均患病期內所傳染的人數,所以上式所定義的閾值R0便是基本再生數。

當R0＜1時,系統(1)僅有唯一平衡點E0(S0,0,0),從而由其特征根的符號判斷E0(S0,0,0)的穩定性[4]。系統(1)在E0(S0,0,0)點的Jacobian矩陣是

其特征方程為

其特征根

當R0＞1時,系統(1)除了無病平衡點E0(S0,0,0)外,還有一地方病平衡點E1=(S+,I1+,I2+),其中

此時,由于R0＞1,容易驗證無病平衡點E0(S0,0,0)不穩定,下面證明當R0＞1時,地方病平衡點E1局部漸近穩定。

系統(1)在地方病平衡點E1的特征方程為

當R0＞1時,容易驗證

因此由Hurwitz判別定理[5]知,特征方程的根全都具有負實部,即當R0＞1時,地方病平衡點E1局部漸近穩定。

2.2 標準發生率模型

為求系統(2)的平衡點,令其右端為0,從而求得可能存在的兩組解分別為,

下面分兩種情形討論平衡點的存在性及穩定性。令

上式R0與易感者S0無關。由系統(2)可以看出是Ii類病人的平均患病期,故R0便是一個病人平均患病期內有效接觸的個體數,即有效接觸數。

當R0＜1時,系統(2)僅有唯一平衡點E0(S0,0,0),從而由其特征根的符號判斷E0(S0,0,0)的穩定性[4]。系統(2)在E0(S0,0,0)點的特征根分別為

故點E0(S0,0,0)是局部漸近穩定的。此時E0為無病平衡點。

當R0＞1時,系統(2)除了無病平衡點E0(S0,0,0)外,還有一地方病平衡點E2=(S?,I1?,I2?),其中

此時,由于R0＞1,容易驗證E0(S0,0,0)不穩定,下面證明當R0＞1時,地方病平衡點E2局部漸近穩定。

系統(2)在地方病平衡點E2的特征方程為

容易驗證d2＞0,d2d1-d0＞0。因此,由Hurwitz判別定理[5]知,特征方程的根全都具有負實部,即當R0＞1時,地方病平衡點E2(S?,I1?,I2?)局部漸近穩定。

3 數值模擬

3.1 雙線性發生率

選取S0=1,μ=0.01,β1=0.05,β2=0.1,p1=0.4,p2=0.6,γ1=0.3,γ2=0.2 作為系統(1)的一組參數值,計算可得R0=0.2074。由于R0＜1時,系統(1)的無病平衡點是局部漸近穩定的(如圖1)。

又選取S0=1,μ=0.01,β1=0.05,β2=0.1,p1=0.4,p2=0.6,γ1=0.03,γ2=0.02 作為系統(1)的另一組參數值。計算可得R0=1.5000。由于R0＞1時,系統(1)的地方病平衡點也是局部漸近穩定的(如圖2)。

圖1 系統（1）的無病平衡點是局部漸近穩定

圖2 系統（1）的地方病平衡點也是局部漸近穩定

3.2 標準發生率

選取同3.1相同的參數值,分別算得R0=0.2074和R0=1.5000。當R0＜1時,系統(2)的無病平衡點是局部漸近穩定的(如圖3)。當R0＞1時,系統(2)的地方病平衡點也是局部漸近穩定的(如圖4）。

圖3 系統（2）的無病平衡點是局部漸近穩定

圖4 系統（2）的地方病平衡點也是局部漸近穩定

4 討論

討論了血吸蟲病在多個染病者群體傳播的SDI模型,應用Hurwitz判別定理對兩種不同發生率的模型穩定性的分析,證明了無病平衡點和地方病平衡點的局部穩定性。

對于雙線性發生率模型,我們發現其基本發生率與S0有關,說明疾病流行與否與最初人口基數有關,那么在控制疾病時,我們可嘗試采取分散人口或隔離等方式,這樣將有助于控制疾病的傳播。

我們還發現當R0＜1時,兩個模型都僅有無病平衡點,它是局部漸近穩定的,說明血吸蟲病將不會流行;當R0＞1,兩個模型除無病平衡點外還有一地方病平衡點。此時無病平衡點不穩定,而地方病平衡點局部漸近穩定,說明血吸蟲病流行而導致地方病產生。

從這兩個模型我們可以看出,雖然發生率不同,但是數學結論類似。這也說明改變發生率對這類模型的主要結論影響不大,由于考慮到雙線性發生率形式簡單便于研究,在今后的研究中我們將以雙線性發生率來考慮,為今后有關血吸蟲病的研究做更多的努力。

[1]L X Qi,J A Cui,Y Gao,et al.Modeling the schistosomiasis on the islets in Nanjing[J].Int J Biomath，2012(5)：12500371-12500377.

[2]J Hyman,J Li.An intuitive formulation for the reproductive number for the spread of diseases in heterogencous populations[J].Math Biosci,2000(167)：65-86.

[3]馬知恩.傳染病動力學的數學建模與研究[M].北京：科學出版社,2004.

[4]馬知恩,周義倉.常微分方程的定性與穩定性方法[M].北京：科學出版社,2001.

[5]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.

[6]王愛麗.具有多種傳播方式的介水傳染病模型的穩定性[J].安徽大學學報，2015，39（2）：17-23.

The Stability Analysis of S-DI Model of Schistosomiasis Spread in the Multiple Infected Population

GAN Li-juan,XUE Meng,Sakhone Sysavathdy,QI Long-xing
(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei Anhui,230601)

This article mainly introduces the S-DI model of schistosomiasis spread in the multiple infected population.For two kinds of different incidence of different models,we find out the equilibria and threshold of disease outbreaks.The local stability of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium are determined in theory and by numerical simulations respectively.

schistosomiasis;S-DI model;bilinear incidence;standard incidence;stability

O151.26

A

1674-0874(2015)04-0005-04

2015-05-12

國家自然科學基金項目[11401002]；安徽省自然科學基金項目[1208085QA15]

甘莉娟（1992-），女，安徽合肥人，在讀碩士，研究方向：應用數學。

〔責任編輯 高海〕