基于數學模型的產品設計方案優化

張永春

（大連海洋大學應用技術學院，遼寧大連116300）

0 引言

優化設計是20世紀60年代隨計算機技術發展起來的一門新興學科，是構成和推進現代設計方法產生與發展的重要內容［1］。產品優化設計是產品創建的一個重要環節。作為一個新產品，從草擬設計方案到結構、功能設計，均需要研制可能的方案，并對已產生的設計方案進行評價，選取最佳方案［2-3］。

在產品設計階段，甚至是在產品全生命周期的各個階段，都可以通過建立數學模型進行模擬，數學模型的內容與所要解決的任務性質相適應。按照信息的組成和所賦予的內容，這是同一個對象的不同模型。這些模型的系統聯系是借助于統一的輪廓空間來保證的。

1 設計方案優化的理論分析

作為一個新產品，在設計開始之前，不僅要明確創造產品的目的，而且要搞清楚有哪些約束縮小了設計方案的選擇。這些約束通常是以準確表達出的條件或者以技術要求的形式表示出來的，符合這些約束的任何一個方案，都被認為是可行的，設計的主要任務就是找到這個可行方案，哪怕是只有一個。如果設置的約束不很嚴格，能夠存在多個允許的方案集。在這種情況下，比較并選擇在不同的技術經濟指標方面有優越性的方案，或者選擇最優的方案。在本質不確定的條件下，常常是很難甚至不可能找到最優的方案并證明它的存在。

在解決結構設計任務時，許多計算公式和數量關系是接近的，因為它們是建立在統計依賴關系或經驗數據的基礎上。因此應慎重評價得到的設計方案與實際最優方案的相近性。

在進行功能設計時，設計方案優化的主要特點歸結于設計者的關注點，主要集中在可能的方案綜合方法選擇上。而僅僅是在可能的方案集形成以后，或是找到可能的方案形成的有效計算法以后，才會面臨選擇獲取最優方案的方法問題。從本質上說，優化所有這些方法就是對可能的方案離散集合尋找最適條件。個別情況下，可能的方案集被以確定的一組某個結構表示出來，能夠采用已知的優化方法，如網式優化法、排列優化法等。

2 案例分析

2.1 析取形式建模

以飛機上的殼體零件為例，如圖1所示，在使用過程中，殼體處于強大氣流中，承受空氣動力負載，除此之外，它還是產品結構動力布局的一部分。在殼體設計的不同階段，創建產品結構和功能優化數學模型。

在擬定技術建議階段，為了下一步設計，形成產品Ai主要輪廓F（Ai）的組成，這些主要輪廓確定了產品的功能用途。對于殼體而言，主要輪廓的組成與工作用途輪廓的描述一樣，直接影響了殼體的結構方案和工藝性指標的選擇：FP11為外圈輪廓的圓柱表面；FP12為法蘭接合處輪廓；FP13為殼體的長度L；FP14為殼體內孔輪廓表面；…FP21為外圈輪廓相對理論表面FP11的許可偏差ΔP22；FP22為殼體長度許可偏差ΔP22；FP23為接合處平面平行度許可偏差ΔP23；FP24為內孔輪廓許可的表面粗糙度Ra……

在構思結構方案的過程中，殼體的結構方案分割性質是不同的，如整體性程度不同，結構材料不同，毛坯可能的形式不同等。在這個階段借助于生產工藝準備模型和生產模型，進行殼體工藝性評價，生產工藝準備模型能夠評價生產工藝準備的時間長短，生產模型則能夠擴展評價制造產品所需的勞動消耗。

針對各種不同的生產過程，對應有不同的殼體結構方案，如圖 1 中（b）～（e）所示。整體式殼體，如圖 1（b）所示，這種殼體可由金屬鑄造或者由非金屬材料壓制成型，并需要外圓表面和兩端面加工；雙半殼體組合的焊接殼體，如圖1（c）所示，這種殼體是由兩個鍛件經輾壓得到的，并需要外圓表面和兩端面加工與焊接；焊接外殼和法蘭組合的焊接殼體，如圖1（d）所示，它是由兩個法蘭和一個外殼組成，主要的聯接工序是焊接及其后的外圓表面加工；非金屬外殼和金屬法蘭組合的殼體，如圖1（e）所示，它是由一個非金屬外殼和兩個金屬法蘭組成，并需要外圓表面的加工和法蘭的緊固聯接。

圖1 產品殼體結構方案

殼體的數學模型用一組輪廓描述［4］：

以殼體的部分結構元素和工藝性指標為例，其析取形式的輪廓矩陣為

對應的表格模型如圖 2 所示。FP1.1、FP1.2、FP1.3、FP1.4代表產品的結構元素，FP2.1、FP2.2、FP2.3、FP2.4代表產品的工藝性指標元素，“●”代表產品結構元素有相應的工藝性指標要求［5］。

圖2 析取輪廓矩陣的表格模型

這組輪廓還包括具體的結構方案輪廓，如結構材料的牌號、聯接的形式、質量、壁厚等，甚至還包括描述生產系統特點的輪廓，如毛坯的形式、定位方式等。

2.2 合取形式建模

在草圖設計階段，研究分析殼體的結構示意圖、組成以及輪廓。為了評價產品的工藝性，如圖3所示，引入殼體法蘭的接合處（圖 3（a））和它的對接孔的典型截面（圖 3（b））。

輪廓FM（A）組成用等級結構來描述，FM1.1、FM1.2、FM1.3、FM1.4、FM1.5、…都是法蘭接合部分的輪廓，FM2.1、FM2.2、FM2.3、FM2.4、…這些是需加工表面，FM2.11、FM2.12、FM2.13、…是精加工表面。既然殼體的法蘭必需保證互換性和相容性，那么在這個階段為了接合處的加工，從不同過程和工裝的觀點，提出接合處工藝性評價。

同樣，以殼體接合處的輪廓表面元素和需加工的表面元素，生成合取形式的輪廓矩陣

圖3 殼體法蘭

圖4所示為輪廓矩陣對應的表格模型，“●”代表需要加工或精加工的殼體接合處輪廓表面。

圖4 合取輪廓矩陣的表格模型

為了實現產品設計方案的優化，在設計階段便對殼體的結構元素進行分析。如圖3所示的殼體法蘭，為評價其工藝性，選擇一個與安裝的對接螺釘相匹配的殼體空腔。從圖中可以清楚地看到，空腔可能是圓柱形的，或者是長橢圓形的（A向視圖示）。前一種情況，空腔只能由鉆和锪來實現。但為了螺釘頭能固定在空腔壁上，必須把孔锪到對接螺釘的下方；第二種情況，不要求锪孔，空腔用不少于二道的工序加工完成，即鉆和銑。在設計階段，確定工藝性的任務包含在產品結構元素加工工序和工步方案的評價之中，解決這個任務需借助于基于工序、工步和具體類型設備和工裝水平上的生產系統數學模型。

3 結語

產品設計方案的優化方法有多種，借助于數學模型，在草圖設計和結構、功能設計等階段，建立析取或合取形式的數學模型，模型簡單、直觀，便于進行數學模擬，進而達到設計方案優化的目的。

［1］ 董立立，趙益萍，梁林泉，等.機械優化理論方法研究綜述[J].機床與液壓，2010，38（15）：114-119.

［2］ 張永春.自動化工藝設計中切削用量的優化 [J].機械工程師，2007（2）：73-74.

［3］ 羅忠，田洪海，林琳，等.現代機械產品智能優化設計方法研究綜述[J].機床與液壓，2009，37（3）：165-168.

［4］ Павлов В В.CALS-технологии в машиностроении［M］.математические модели.М.:МГТУ“Станкин”，2002：328.

［5］ 張永春，Павлов В В.自動化制造系統中的產品制造過程數學模擬[J].機床與液壓，2007,35（6）：71-73.