在數學活動的海洋里快樂暢游

杜毅祥

一、 案例背景

“三角形的內角和是180°”是三角形的一個重要性質，也是“空間與圖形”領域的重要內容之一。學好它有助于理解三角形內角之間的關系，同時也是進一步學習幾何的基礎。在學習本課之前，學生已經掌握了角的分類、度量及三角形的認識和分類。這些都為進一步研究三角形的內角和做了知識儲備和心理準備。

筆者在教學設計時，結合當前課改的要求，真實地從學生已有的知識經驗出發，圍繞教學目標，力圖讓每一位學生通過具體實際的動手操作、比較思考，參與到問題研究中，在特定活動中積累豐富的數學活動經驗，經歷由感性認識到理性認識的思維磨煉過程。

二、案例描述

【片段一】對于三角形的內角和，我到底想了解什么？

師：認識三角形家族的三兄弟嗎？

生：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

（課件動畫演示）銳角三角形：“我的個頭大 ，我的內角和最大！”

鈍角三角形：“我有一個鈍角，我的內角和最大！”

直角三角形：“難道我的內角和最小嗎？”

師：它們在比什么呀？

生：內角和。

師：你知道什么是三角形的內角嗎？ 誰能上來指指鈍角三角形的內角在哪嗎？

生邊指邊說：三角形里面的角就是它的內角。

師：伸出小手，跟老師一起指指銳角三角形的內角：∠1、∠2、∠3。

問：三角形都有幾個內角？現在你知道什么是三角形的內角和了嗎？

生：三角形三個內角的度數和。

師：三兄弟在比誰的內角和大呢，誰來評判一下？

生：它們的內角和一樣大，都是180°。

師：你們覺得呢？咦，這節課還沒學呢，你們是怎么知道的？

生1：我們上學期認識角的時候老師給我們介紹過啊！

生2：我早就知道啦！我爸爸告訴我的。

生3：我在課外輔導班學過了！

……

師：那對于這個結論你還有什么想了解的？

生1：是不是所有三角形的內角和都是180°呢？

生2：為什么三角形的內角和會是180°呢？

生3：我們有什么辦法能證明是180°嗎？

……

師：咱們中國有句古話是這樣說的：紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。意思是說：雖然我們已經知道這個結論了，但只有自己親身去實踐、去驗證，才能更深入地理解這個知識。三角形的內角和到底是不是180°，為什么是180°，想不想親自驗證一下？

生齊聲說：想！

【反思一】

在本課設計之初，我就在思考這個問題：對于三角形的內角和，學生到底想了解些什么？教材設計是預設學生不知道三角形的內角和是多少，希望通過一系列操作活動的探索來得出結論。事實上對于“三角形內角和是180°”這個結論，學生并不陌生。我在不同學校若干四年級班級做調查，幾乎所有學生都能清楚地說出三角形三個內角的和是180°，但是他們卻不知道怎樣才能證明三角形的內角和是180°。因此，我的教學設計圍繞學生真正想了解的 “怎么證明是180°”等問題順勢而為：交流質疑—動手驗證—得出結論。

【片段二】 ?為什么我的三角形內角和不是180°？

師：好，還記得剛才爭論的三兄弟嗎？它們正等著大家幫忙驗證內角和是不是180°呢！想一想，怎樣驗證？

生：用量角器量。量完以后再把三個角度加起來看看是不是180°。

師：你們覺得這個方法可行嗎？好，接下來同桌合作驗證，任意選擇一個三角形，像這樣先標出這個三角形的三個內角，然后一人量角，一人記錄數據并計算。

同桌合作并匯報三種三角形的測量結果和內角和，師板書記錄：

銳角三角形：43°+65°+68°=176°

直角三角形：90°+35°+55°=180°

鈍角三角形：125°+35°+20°=180°

師：和你們的結果一樣嗎？有沒有不一樣的？

記錄其他組的內角和結果：178°、182°……

生：難道我的三角形內角和不是180°嗎？這是怎么回事呀？

師：老師剛才發現個別小組一邊量一邊改數據，就想湊到內角和是180°。而大部分小組非常誠實地記錄下測量的數據，都是嚴謹的小數學家！觀察一下，有幾十度嗎？有200多度嗎？這些數據都有什么共同點？

生：都在180°左右！

師追問：你知道為什么嗎？

生：在測量時可能會產生一些誤差。

師追問：你們怎么知道是誤差而不是錯誤？

生：這些結果都在180°左右，是由于誤差造成的！

師：那你根據結果能完全肯定三角形的內角和是180°嗎？

生想了想，搖搖頭。

師：那你們來評價一下用測量的方法來驗證好不好？有沒有其他更好的方法呢？

【反思二】

對于學生而言，要驗證三角形的內角和是180°最容易想到的方法就是用量角器測量每個內角的度數，再把它們加起來。在動手操作前幾乎所有學生對這個方法都是非常認可并認為一定能證明三角形的內角和是180°。然而在實際動手操作、記錄數據的過程中有的學生就發現了一些問題：他的三角形內角和不是180°！這個與已知結論矛盾的結果激起了學生思維的碰撞，他們迫切地希望去探究背后的原因，進而發現原本覺得天衣無縫的證明方法其實是有缺陷的，進而產生了對其他更完善的驗證方法的思考和探究。做中學、做中思、做中得！我相信“測量可能會產生誤差”這個道理已深深地印在了學生的腦海中，也將廣泛運用于他們后續的學習中。

【片段三】為什么我的三角形三個角折不到一起？

師：還有什么更好的方法？

生：把角剪下來拼到一起。

問：怎么會想到要把三個內角拼到一起？

生：看看拼出來的是不是一個平角。

師：為什么要拼成平角？

生：因為平角是180°。

師：如果我不想破壞這個三角形，還有什么方法能把三個角拼到一起呢？

生：把三個角折到一起。

（生動手折）

師：在折的時候遇到了什么困難嗎？

生1：不太好把三個頂點折到一起去。

生2：我折完以后三個角之間還有很大的縫隙！

（這句話引起了其他同學的共鳴。）

師引導：其實，要是能找到三個角的頂點最后重合的這個點就好了，是嗎？

生點頭表示同意。

問：那有什么好辦法能找到這個點呢？討論討論。

生在小組中一邊討論一邊思考一邊動手實踐。

最后終于有一名同學邊折邊想出了一個好方法，投影操作演示：

先找出三角形最長的一邊，折出這條邊上的“高”，找到對應的“垂足”;這個垂足就是最后拼成的平角的頂點。然后將三個內角的“頂點”分別對準“垂足”進行折疊，就容易多啦！

【反思三】

在教學設計時就覺得這個問題很難處理，有老師建議我省掉這一環節，或者是我做一個示范就可以了，不要學生動手折，這樣就不會出現問題了。但是如果不給學生動手的機會，他們就不會發現在折的時候會出現的困難和問題。教師不能為了上課而上課，回避學生容易出現的問題。我想這正是我和學生一起學習和研究的好機會，于是我保留了這個環節，放手讓學生動手折一折，體驗直觀性。我覺得這個辦法已經超出了這個年齡段學生的能力，我甚至做好了方法講解的課件。最后證明我還不夠相信學生，相信他們在動手操作中的靈光一閃，相信他們無窮無盡的潛力和智慧！

三、結語

沒有親歷的數學活動就談不上經驗。正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說：“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的?！?因此，數學教學更重要的是過程的教學，有效的數學課堂教學要給出充分的時間與空間，結合具體內容讓學生在數學學習活動中去“經歷過程”，留給他們充裕的時間，放手讓學生去操作、實驗、計算、推理、想象。在“做”數學中體驗數學，感悟數學，積累數學活動經驗。我這節課最大的收獲就是勇于放手讓他們自由地去做，去悟，給他們更充分的實踐時間、更廣闊的思維空間，讓他們在數學活動的海洋里快樂地暢游！