數量關系：小學生數學思維發展的蹊徑

周琦

數學是研究數量關系和空間形式的科學，“數量關系”是指在同一類數學問題中總結出的規律性的揭示數量間的本質關系。數量關系具有高度的抽象性和廣泛的適用性，它是從紛繁復雜的現實世界中發現總結提煉出來的，同時又能普遍應用于現實問題的解決，在解決實際問題中具有重要意義。學生對數量關系運用水平的強弱在某種程度上顯示著其數學水平的高低，數量關系是幫助他們快速有效地解決數學問題的指南針，為他們指明方向，提供方法支持。我們要把數量關系的運用教學當作小學數學教學的核心任務，注重數量關系在小學數學教學中的運用，促進學生對數量關系的理解與運用，彰顯數量關系的育人價值。

一、感悟價值，重視數量關系

數量關系的價值不言而喻，它有助于學生形成數學模型，提高解題能力。數學問題一般將數量關系融入有關情境，而數量關系的剖析是尋求問題答案的關鍵因素，我們要在平時教學中引領學生在問題的解決中感悟價值，重視數量關系的構建，發揮數量關系的功效。

例如，在教學蘇教版教學四年級上冊第二單元《兩、三位數除以兩位數》中的例4時，我在情境中出示了例題：“圖書室的兩個書架一共放了224本書，每個書架各有4層，平均每個書架每層放了多少本書？”我讓學生分小組探討數量關系，合作解決問題。在巡視過程中，我發現學生有這樣三種解答方法：（1）4×2=8（層），224÷8=28（本）;（2）224÷2=112（本），112÷4=28（本）;（3）224÷4=56（本），56÷2=28（本）。前面兩種方法是正確的，可第三種解答方法明顯是錯誤的，雖然得數是對的，可是在數量關系上是說不通的，是顯然沒有道理的，看來還有少部分學生沒有能夠正確梳理出數量關系。于是，我就調整教學中心，把分析、梳理數量關系作為重點。我首先邀請個別小組代表展示匯報解題思路，在交流中我引導學生：“找出題目中有聯系的兩個條件，根據這兩個有聯系的條件可以先算什么？”然后要求歸納概括出它們之間的數量關系。在討論第三種算法時，我讓用這種方法列式解答的學生代表回答：“224÷4中的兩個數量各表示什么？兩者之間有聯系嗎？可以相除嗎？”“224表示兩個書架中所放書的總本數，4表示一個書架有4層，而不是代表兩個書架總共有4層，所以224和4之間沒有聯系。”看到那個做錯的學生一時沒有想通，另一個反應靈敏的學生幫忙解了圍。“你的回答真棒，在解決問題中，我們首先要找出有聯系的兩個條件，根據有聯系的兩個條件確定先算什么，搞清楚它們之間是哪種運算關系。”我適時總結，“我們只有科學理清數量關系，方能正確解決問題。”

通過詳細的探討分析，學生們深深懂得數量關系的重要性，感知領悟到合理的數量關系在解決實際問題中的價值，正確數量關系的指引，能夠讓我們有效地找到正確的解答方法。

二、建構方法，研煉數量關系

高爾基說過：“學習并不等于就是模仿某些東西，而是掌握技巧和方法。”我們的關鍵任務是引導學生學會科學的方法，在解決問題的過程中清晰地研究提煉數量關系，在頭腦中形成一定的有效確立數量關系的策略。

在教學蘇教版數學四年級下冊第三單元《常見的數量關系》一課時，為了讓學生循序漸進，我首先帶領學生回顧生活中的常見問題，讓他們口頭列式，讓他們感受到數量關系廣泛存在于日常生活中，數量關系有助于我們分析、解決問題。接著出示了例2情境圖，讓學生觀察并從情境圖中收集相關數學信息。有些學生將圖中的無關信息也找了出來，我沒有反對，將他們發現的每一個信息都一一板書出來。接下來，我引導學生從眾多的信息中提取與問題有關的數學信息，學生很快排除了無關信息，找到有效數學信息：“鋼筆每支12元，練習本每本3元;要買4支鋼筆和5本練習本。”然后我讓學生在這些有用信息中尋找有聯系的兩個信息，將具體數量轉化為抽象為“單價”“數量”“總價”概念，使學生知道“購買單件物品所用的錢叫作單價”“購買全部物品所需的錢就是總價”。在學生認識理解了基本概念后組織探討它們之間的運算關系，構建常見數量關系。學生依據生活經驗和原有知識基礎，概括出：“單價×數量=總價”“總價÷數量=單價”“總價÷單價=數量”三種數量關系。有了清晰的數量關系，在接下去的學習過程中，學生可以根據數量關系快速求出其中任意一個數量，便捷解決有關單價、總價之類的實際問題。

數量關系的提煉就如一個抽絲剝繭的過程，要有耐心和細心，從紛繁的情境內容中探尋有效信息，透過表象看本質，去粗取精，去偽存真，方能撥開云霧見青天。

三、靈活運用，累積數量關系

“重復是學習之母。”狄更斯曾如是說。數量關系的運用教學必須在反復實踐中運用、累積，為靈活解決各種基本乃至復雜的數學問題積淀知識基礎和解題經驗，拓寬數學思維，提高綜合運用水平，提升解決問題的能力。

我們要在每一次教學中潛移默化地滲透數量關系的教學，把學生的每一次練習當作有意義的實踐應用，在實踐中有意識地歸納積累各種常見的基本數量關系。如在教學中抽象概括出的“單價×數量=總價”“工作效率×工作時間=工作總量”“速度×時間=路程”等基本數量關系具有較高應用價值，我們可以利用這些積累的基本數量關系稍作變化，舉一反三，變化出更多的數量關系，產生滾雪球效應。在各類解決問題的策略的教學中，我們都可以將列表、畫圖、從條件想起等策略與數量關系的運用相結合，讓兩者共同聯合為解決問題服務，在此過程中靈活運用數量關系，豐富數量關系的內涵。例如，在教學蘇教版數學四年級上冊《列表的策略》一課時，我在指導學生根據問題選擇條件并用列表的方法整理條件后，為了凸顯用表格整理數據清楚直觀、便于分析的優點，我引領學生依托表格分析數量關系，確定可以先算什么。學生一目了然地發現依據表中對應的“桃樹3行，每行7棵”可以用“每行的棵數×行數”計算出桃樹的總棵數，根據“梨樹4行，每行5棵”可以計算出梨樹的總棵數。在此，我又有意引導學生概括出“每行的棵數×行數=總棵數”這一基本數量關系式。

數量關系的教學不是一朝一夕的事，我們要在平時的教學中不失時機地滲透數量關系的運用教學，給學生創造靈活運用的機會，積累基本數量關系，為形成解決問題的模型奠定基礎。

“數量關系”占據了數學研究總內容的“半壁江山”，我們要重視數量關系在小學數學教學中的運用，讓學生在充分感悟數量關系的價值中研煉方法、靈活運用，不斷豐富解決問題的經驗，提升解決問題的能力。