一類有理遞歸序列的簡單性態(tài)

曾曉云，孫慧靜（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

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一類有理遞歸序列的簡單性態(tài)

曾曉云，孫慧靜
（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

摘要：在Alaa E.Hamza和A.MorsAlaa等有關(guān)有理遞歸序列的穩(wěn)定性研究的基礎(chǔ)上，對時滯為k的情形做了進一步討論，研究了有理遞歸序列的全局性和有界性，得到了關(guān)于該遞歸序列穩(wěn)定性的幾個判定定理。

關(guān)鍵詞：有理遞歸序列；有界性；局部漸近穩(wěn)定

1　問題的提出

近幾十年來，有理遞歸序列性態(tài)的研究一直是微分方程領(lǐng)域的熱點問題[1-6]。Alaa E.Hamza和A.Mors在文獻[7]中對有理遞歸序列

做了詳盡的討論并得到了比較好的結(jié)論，式中，α∈(0,+∞ )，k是一個正整數(shù)。但對于時滯為k的一般情形，Alaa E.Hamza和A.Mors并沒有更進一步討論。

本文將討論下列有理遞歸序列

的穩(wěn)定性。式中，α∈(0,+∞ ), k、m是正整數(shù)，初值-k,-k+1,…,-1,0是任意正實數(shù)。

設(shè)I?R是一有界區(qū)間，并且假設(shè)f:I×I→I是一連續(xù)可微函數(shù)。對于每一組初值{-k,0}?I，差分方程有唯一解

相應(yīng)地得到方程

為了證得本文的主要結(jié)論，引入以下定理。

定理1[8]：I）如果式（4）的所有根都位于開盤|λ|<1中，那么方程（2）的平衡解ˉ是局部漸近穩(wěn)定的。II）式（4）的所有根都位于開盤|λ|<1中的充分必要條件是|p| <1+q<2，此時平衡解ˉ是局部漸近穩(wěn)定的。III）式（4）的所有根都位于開盤|λ|<1之外的充分必要條件是|q| >1且|p| >|1-q |，此時平衡解ˉ是不穩(wěn)定的，平衡解ˉ稱為一個排斥點。IV）特征方程（4）有一個絕對值等于1的根的充分必要條件是|p| =|1-q |或q=-1且|p|≤2，此時平衡解ˉ稱為一個非雙曲點。

2　有理遞歸序列的有界性和全局性

本節(jié)研究下列有理遞歸序列的有界性和全局性：

為了得到本文的主要結(jié)論，首先證明下列3個引理。

情形1：01。

情形2：m>1。因為g在區(qū)間[0,∞ )上單調(diào)遞增，g(1 ) =-α<0且li→m∞g() =+∞，那么g有唯一平衡解ˉ>1。

證明：由方程（1）、（2）和定理1，有f(u,v ) =α+u-mv。則。

如果α>1，同理可以證得：

通過上述3個引理的結(jié)論，可以證得本文的主要結(jié)論定理2。

3　結(jié)束語

參考文獻：

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[7]ALAA E HAMZA，MORSA. On the recursive sequence[J]. Applied Mathematics Letters，2009，22：91-95.

[8]KOCIC V L，LADAS G. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications[M]. London：Kluwe Academic Publishers，1993：11-37.

A Simple State of Rational Recurrence Sequence

Abstrraacctt:: On the base of the studof Alaa E.Hamza and A.MorsAlaa about the stabilitof the recursive sequence, the general case that delais k was investigated, the global stabilitand boundness of the re?cursive sequencewas studied, and some judgment theorems of recursive sequence stabilitwere obtained.

作者簡介：曾曉云（1969-），女，副教授，碩士。

收稿日期：2014-09-24；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.018

文章編號：1673-1522（2015）02-0178-03

文獻標志碼：A

中圖分類號：O175.1

修回日期：2015-01-15