Wilkinson定理擾動界的改進估計

劉丹，李彪（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

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Wilkinson定理擾動界的改進估計

劉丹，李彪
（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

摘要：Wilkinson定理是代數特征值問題中的一個經典定理，文章給出了Wilkinson定理的結果中關于擾動矩陣上界的另一種估計形式，并指出該形式對Wilkinson定理具有一定的改進。

關鍵詞：Wilkinson定理；ill-posed問題；條件數；Schur分解

特征值問題既是一個理論上非常有意義的問題，同時又有著廣泛的應用[1-2]。Wilkinson定理是代數特征值問題中的一個經典定理，在研究矩陣特征值的敏度等問題時，如矩陣特征值的條件數和矩陣到相應的ill-posed集[3]之間距離的關系，它是非常重要的理論工具。1972年，J.H.Wilkinson在其論文[1]中證明了下述定理。

定理1：設矩陣A∈?n×n，且A=λ，HA=λH，其中,∈?n且≠0，≠0。假設λ是矩陣A的一個單特征值，則λ的（絕對）條件數[3]是，如果C(λ)>1，則存在矩陣E∈?n×n使

得λ是矩陣A+E的一個重特征值，且

如果矩陣有重特征值，那么稱該矩陣關于特征值問題是病態的（ill-posed）[4]。

不難發現，Wilkinson定理實際上給出了一個矩陣A到其對應的ill-posed集之間距離的一個簡單上界，這一結論也成為該類問題后續研究工作中的一個基礎工具。1987年，J.W.Demmel在論文[5]中，將上述結果推廣到了其他幾類問題中，如矩陣逆問題、特征值和特征向量的計算問題、多項式求零點及線性控制系統的極點配置問題[6]中。值得注意的是，J.H.Wilkinson在其隨后發表的幾篇論文中特別指出，當時取得的關于特征值問題上下界的估計仍存在一定的不足，建議研究一種新的數值方法。本文借助矩陣Schur分解的方法，研究并給出關于Wilkinson定理中擾動矩陣上界的一種改進的估計形式。

1　預備知識

定義1[7]：若矩陣A∈?n×n，且λ是其特征值，則滿足A=λ的向量稱為A與特征值λ對應的右特征向量，而滿足HA=λH的向量稱為A與特征值λ對應的左特征向量。

定義2[7]：稱A的特征值λ具有代數多重度μ，若λ是特征多項式det(A-λI)=0的μ重根。若特征值λ的代數多重度為1，則稱該特征值為單特征值，非單的特征值稱為多重特征值。

定理2[8]：（Schur分解）若矩陣A∈?n×n，那么一定存在酉矩陣Q和上三角矩陣R，使得A=QRQH。

2　主要結果

首先證明以下2個引理。

引理1：設矩陣A∈?n×n，那么λ是矩陣A的一個重特征值，當且僅當存在非零向量,∈?n，使得A=λ，HA=λH，H=0。

由引理1，可進一步地證明引理2。

引理2：若存在矩陣E∈?n×n，使得λ是矩陣A+E的一個重特征值，則，其中非零向量,∈?n，且與H分別為矩陣A的對應于特征值λ的右和左特征向量。

證明：考慮矩陣E∈?n×n使得(A+E )=λ，H(A+E)=λH，H=0，對于非零向量,∈?n成立。

證畢。

假設λ?λ(A2)，則由文獻[8]知，的條件數是λ和A2的分離度的倒數，即，且。

這樣，就得到了下述定理。

定理3：若C(λ)>1，則存在矩陣E∈?n×n，使得λ是矩陣A+E的一個重特征值，且

上式說明，存在矩陣E∈?n×n，使得λ是矩陣A+E的一個重特征值，且

由矩陣A的Schur分解知，從而||E||2≤sepF(λ;A2)。

證畢。

定理表明，sepF(λ;A2)也是矩陣A到對應的illposed集之間距離的一個上界。

3結論

綜上所述，設矩陣A∈?n×n有如下Schur分解，其中Q∈?n×n為酉陣。取，此時

參考文獻：

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Reforming Estimation of the Perturbation Bound in Wilkinson Theorem

LIU Dan, LI Biao
（Department of Basic Sciences, NAAU,antai Shandong 264001, China）

Abstrraacctt:: Wilkinson theorem is a classical theorem in the problem of algebraic eigenvalue . In this paper, a new form of es?timation of the perturbation bound in Wilkinson theorem was given, and that it was a reforming result was proved.

作者簡介：劉丹（1982-），女，講師，碩士。

收稿日期：2014-08-10；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.01.020

文章編號：1673-1522（2015）02-0184-03

文獻標志碼：A

中圖分類號：O241.1

修回日期：2015-01-05

特征值的基本問題可以陳述為：給定一個n×n維矩陣A，確定λ的值，使得線性代數方程A=λ具有n×1非零解。這樣的λ稱為矩陣A的特征值，向量稱為與λ對應的特征向量。