冷發射裝備對地載荷作用下預設場坪的動力響應研究

張震東，馬大為，任杰，何強，朱忠領

（南京理工大學機械工程學院，江蘇南京210094）

冷發射裝備對地載荷作用下預設場坪的動力響應研究

張震東，馬大為，任杰，何強，朱忠領

（南京理工大學機械工程學院，江蘇南京210094）

為了研究冷發射裝備對地載荷作用下場坪的動力響應，將對地載荷視為多圓均布動載荷，基于赫茲接觸理論獲得對地載荷的表達式。以Winkler地基上雙層板的控制微分方程為基礎，引入雙參數地基模型中的地基反力，給出雙參數地基模型上雙層板的運動微分方程。采用級數分解與傅里葉變換相結合的方法推導單個圓形載荷下場坪撓度的解析式，利用線性疊加方法，得到多個圓形均布動載荷下場坪下沉量的表達式。在ADAMS中建立含場坪的發射裝備動力學模型與Simulink進行聯合求解，獲得各個接觸區域圓心處的場坪下沉量，分析結果表明：底座處的場坪下沉量較大且對后兩個支撐盤處下沉量產生很大影響；支撐盤之間下沉量的相互影響很小，可忽略。

兵器科學與技術；發射裝備；多圓均布動載荷；雙參數地基上雙層板模型；聯合求解；場坪下沉量

0　引言

冷發射裝備對地載荷通過支撐盤、底座傳遞至發射場坪，場坪在動載荷下的響應又會影響到發射裝備的穩定性，最終對導彈出筒姿態產生干擾，甚至可能導致導彈發射失敗，由此可見場坪在動載荷下的響應具有很高的研究價值和實用價值。

對于預設導彈發射陣地，多為多鋪層的水泥混凝土結構，可采用彈性地基上的矩形板理論分析其在動載荷下的響應。針對彈性地基上板的動力響應問題，國內外學者開展了許多研究，Fryba［1］分析了移動荷載作用下無限大板撓度的解析解；孫璐等［2］、蔣建群等［3］采用積分變換的方法研究了無限大板在移動載荷作用下的積分形式解，但只分析了單層板的動力響應；李皓玉等［4］將路面視為粘彈性地基上無限大雙層板，從而獲得了車輛載荷作用下路面動力響應解析解。上述文獻中的研究均采用積分變換的方法推導Green函數，然后通過Duhamel積分求得板撓度的解析解，這種方法一方面比較復雜，很難實現工程應用，另一方面將道路視為無限大板與路面實際結構不符。為了彌補上述不足，顏可珍等［5］將路面視為無限長地基板，分析了運動常值均布載荷和簡諧載荷作用下板的動力響應。在矩形板動力響應方面，鄭小平等［6］、顏可珍等［7］采用級數分解的方法研究了粘彈性地基上矩形板運動載荷的動態響應問題。

以上研究只分析了常幅值載荷或簡諧激勵載荷等特殊載荷作用下地基板的動力響應，均沒有對多個任意幅值動載荷下場坪的動力響應進行分析。本文給出了雙參數地基上的雙層矩形板的運動微分方程，采用級數分解和傅里葉變換的方法，結合線性疊加理論，推導了多個圓形均布動載荷下場坪撓度的表達式。在ADAMS軟件中建立了含場坪的發射裝備動力學模型并與Simulink進行聯合求解，實現了發射裝備與場坪的耦合，得到彈射過程中接觸面圓心處場坪的下沉量，討論了各個對地載荷對下沉量的影響。

1　基本理論

1.1板的運動微分方程

發射場坪采用粘彈性雙參數地基上雙層矩形板模擬。所建立的含場坪效應的發射裝備仿真模型，如圖1（a）所示。

發射裝備對地載荷作用面，如圖1（b）所示，a、b分別為矩形板的長度、寬度，用L1、L2、L3確定各接觸面的位置關系。

圖1　計算模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation model

將場坪上、下面層簡化為上、下兩層Kirchhoff薄板并假設兩層薄板之間的接觸狀態為完全連續。

文獻［8］推導了Winkler地基上雙層板的控制微分方程為

式中：W為地面的下沉量；mb=ρ1h1+ρ2h2為雙層板的單位面積質量，ρ1、ρ2、h1、h2分別為上、下板的密度與厚度；P（x，y，t）為地基反力；D、Dxy為板的彎曲剛度，DK為板的扭轉剛度，表達式［8］分別為

式中：E1、E2分別為上下板的彈性模量；ν1、ν2為上、下板的泊松比；h0為雙層板的中性層距板上表面的距離，表達式［8］為

對于雙參數地基模型，地基反力［9］為

式中：Kh、Kv分別為水平、豎直方向的地基剛度；Hb為雙層板底部至中性面的距離，Hb=h1+h2-h0.

將（3）式代入（1）式并計入地基阻尼的影響，得到雙參數地基上雙層板的運動微分方程為

式中：C為地基阻尼系數。

1.2對地載荷數學模型

發射裝備對地載荷通過圓形支撐盤、底座傳遞至發射場坪，因此載荷作用面為圓形。為簡化計算，認為載荷在圓形區域內均勻分布。故本文視發射裝備對地載荷為多圓形均布動載荷，可用（5）式表示：

式中：fj（t）為均布載荷時變規律；H（x，y）為Heaviside階躍函數；rj為第j個圓的半徑；xj、yj為第j個圓的圓心坐標。

1.3發射裝備—場坪接觸模型

根據赫茲非線性阻尼彈簧接觸模型，圓柱體與彈性半空間體相互接觸的兩個物體可用一個彈簧與一個非線性阻尼模型器模擬接觸［10］：

式中：rj為第j個接觸區域的半徑；，E0、ν0分別為支撐盤和底座的彈性模量、泊松比；φ為恢復系數；λ為非線性阻尼冪指數。

為了簡化計算，假設支撐盤、底座與場坪完全接觸且接觸力在接觸區域內均勻分布，由（6）式可計算出第j個均布載荷時變規律fj（t）為

式中：Aj為第j個接觸面的面積。

1.4邊界條件

將場坪視作四邊簡支地基板，則邊界條件可表示為

2　微分方程求解

2.1單圓均布動載荷下板的撓度

為滿足邊界條件，文獻［12］將第j個載荷引起的板的撓度Wj（x，y，t）表示為三角級數形式：

式中：qmn（t）為展開系數；

將載荷函數同樣展開成三角級數［12］：

利用三角函數的正交性，求得

將（5）式代入（11）式，根據Heaviside階躍函數的性質進行簡化得到：

將（10）式、（11）式代入（4）式，得到下列微分方程：

將（14）式代入（13）式，進一步簡化得到：

對（15）式進行傅里葉變換，可得

將（16）式進一步簡化，得到：

式中：

將（18）式代入（17）式并進行逆傅里葉變換，得

將（19）式代入（10）式可得第j個圓形均布動載荷作用下的板的撓度：

2.2多圓均布載荷下板的撓度

板中某點處的撓度應是各個均布載荷下板的動力響應線性疊加的結果，采用線性疊加方法可得到某點的下沉量為

Wj（x，y，t）為第j個對地載荷作用下某點的下沉量。由于本文為5個圓形均布動載荷，故取l=5.作者在Simulink軟件中分別求出各個載荷（5個圓形均布動載荷）作用下某個圓心處場坪的下沉量，并在Simulink軟件中添加求和模塊，將每個時刻各個載荷引起的該圓心處的下沉量進行線性疊加，可得到每個時刻該圓心處總的下沉量。其余4個圓心處總的下沉量的求解方法與上述過程相似。

為計算方便進行坐標變換，新坐標系O1uvw與原坐標系Oxyz坐標軸方向一致，原點位于圓心O1處，則兩坐標系間存在如下關系：

在新坐標系O1uvw下，（22）式可化為

3　算例分析

為了驗證本文所推導的多圓動載荷下雙層板撓度解析式的適用性，選取算例進行分析。

3.1計算參數

本文所需的參數及其取值，如表1所示。

3.2聯合求解

由于對地載荷很難用解析式表示且撓度表達式解析解求解困難，故采用ADAMS軟件與Simulink軟件聯合求解的方法進行分析。圖2中表示了圓心O1處場坪下沉量的求解過程，其他4個圓心處的撓度求解過程與之類似。

本文在ADAMS軟件中建立含場坪的冷發射裝備動力學模型，4個支撐盤、底座處分別建立場坪，并將每處場坪與ADAMS軟件默認的固聯坐標系間分別設置直線驅動器。調整發射裝備與場坪的接觸參數（接觸剛度、接觸阻尼），利用ADAMS求解發射裝備與場坪的接觸力，即對地載荷。在Simulink軟件中建立所推導的撓度解析表達式（見（20）式），將ADAMS中4個支撐盤、底座與場坪的接觸力輸出至Simulink軟件中，通過Simulink軟件分別求出5個圓形動載荷作用下的每個接觸面圓心處的撓度，然后將每個載荷下（本文共有5處）每個時刻某個圓心處的撓度進行疊加，就可得到該圓心處每個時刻總的下沉量（同理可得到其余4個圓心處總下沉量），最后將每個時刻的總下沉量反饋到含場坪的發射裝備動力學模型中，具體是將下沉量輸入到ADAMS軟件的直線驅動器中，驅動場坪做直線運動，以模擬場坪的動力響應，這樣就會產生新的接觸力，利用新的對地載荷進行下一步求解，經過ADAMS與Simulink間不斷的數據交換，可求解場坪在發射裝備對地載荷下的響應。同時也可以看出，上述方法實現了發射裝備與場坪的耦合。

3.3結果分析

由于篇幅限制，本文只給出了圓心O1、圓心O2、圓心O3處場坪撓度變化規律，并未提供圓心O4、圓心O5處場坪下沉量時程曲線。

表1　參數取值Tab.1 Parameter values

圖2　聯合仿真流程圖Fig.2 Flowchart of co-simulation

3.3.1各圓處對地載荷

圖3～圖5給出了各個接觸圓處發射裝備對地載荷的時程曲線。

圖3　圓1處對地載荷時程曲線Fig.3 Time-history curve of load at circular region 1

圖4　圓2、圓3處對地載荷時程曲線Fig.4Time-history curves of loads at circular regions 2 and 3

通過分析圖3～圖5可得出以下結論：

1）由圖4可知，圓2、圓3處對地載荷在0～0.1 s區間內急劇下降，這是因為導彈起豎后待發射時，彈重基本上全部由后兩個支腿承受，致使0 s時后兩個支撐盤對地載荷很大，然而當導彈開始運動后彈重不再由支腿承受，故對地載荷很快就下降至較小值，此后載荷變化平穩且圓2、圓3處對地載荷差別較小。

2）由于發射裝備結構的對稱性，圓4、圓5處對地載荷變化規律相近，在0.2～0.4 s區間內圓5處對地載荷變化比較劇烈，可能由發射裝備建模時的誤差引起。

3.3.2圓心O1處場坪下沉量

圖6～圖8分別是5個接觸圓處發射裝備對地載荷作用下圓心O1處場坪下沉量，同時圖8給出了5個對地載荷下O1處5種下沉量疊加后的曲線。

由圖6～圖8可得出以下結論：

1）通過分析圖6～圖8，結合圖3～圖5可知：場坪下沉量的變化規律與對地載荷變化規律一致；

圖5　圓4、圓5處對地載荷時程曲線Fig.5 Time-history curves of loads at circular regions 4 and 5

圖6　圓2、圓3處載荷作用下圓心O1處場坪下沉量Fig.6 Settlement of launching site at circle center O1under loads 2 and 3

圖7　圓4、圓5處載荷作用下圓心O1處場坪下沉量Fig.7 Settlement of launching site at circle center O1under loads 4 and 5

圖8　未疊加與疊加后圓心O1處場坪下沉量對比Fig.8 Comparision of unsuperposed settlement and superposed settlement at circle center O1

2）由于距離較遠，圓4、圓5處對地載荷作用下圓心O1處場坪下沉量很小（3～7 μm），對O1處的影響可以忽略；

3）雙參數地基模型中考慮了水平方向的地基反力，場坪發生彎沉時，在水平力作用下場坪有抬升的趨勢，距離對地載荷較遠處水平力對場坪的抬升量可能大于對地載荷引起的下沉量，故圓4、圓5對地載荷作用下圓心O1處場坪下沉量為負值，但抬升幅度很小；

4）圓1處場坪下沉量最大值達到6.2 mm，圓2、圓3距圓心O1較近，對地載荷對O1處下沉量的貢獻本應很大，但由于圓2、圓3載荷幅值較小并且接觸面積不大，影響有限，引起的最大下沉量僅為0.46 mm.

3.3.3 圓心O2、圓心O3處下沉量

圖9～圖12分別是5個接觸圓處發射裝備對地載荷作用下圓心O2、O3處場坪下沉量變化規律，并且圖11、圖12中給出了5個對地載荷下圓心O2、O3處5個下沉量疊加后的曲線。

分析圖9～圖12可知：

1）由于發射裝備結構的對稱性及支撐盤處對地載荷的對稱性，圓心O2、圓心O3處撓度變化規律相似；

2）由圖11、圖12得到：（1）由于距離較近且圓1有較大半徑，故圓1處對地載荷對接觸圓2、圓3處下沉量影響很大，最大值達到2.1 mm；（2）圓2、圓3各自區域內所受載荷產生下沉量只有0.2 mm，支撐盤處圓形動載荷間距離較遠，相互之間的影響較小，故可忽略；

3）圖9、圖10中圓5處對地載荷作用下圓心O2處場坪下沉量為負值，圓4處對地載荷作用下圓心O2處場坪下沉量也為負值，其原因與3.3.2節中結論3相似；

4）由圖11、圖12結合圖3、圖8可知，雖然后兩個支撐盤處的對地載荷變化規律初始幅值較大，但由于作用面積較小，產生的對地載荷亦較小，故下沉量并不明顯，最大值僅為0.7 mm左右。

圖9　圓3、圓4、圓5載荷作用下圓心O2處場坪下沉量Fig.9 Settlement of launching site at circle center O2under loads 3，4 and 5

圖10　圓2、圓4、圓5載荷作用下圓心O3處場坪下沉量Fig.10 Settlement of launching site at circle center O3under loads 2，4 and 5

圖11　圓1、圓2載荷作用下及疊加后圓心O2處場坪下沉量Fig.11 Settlement of launching site at circle center O2under loads 1 and 2 and superposed settlement

圖12　圓1、圓3載荷作用下疊加后圓心O3處場坪下沉量Fig.12 Settlement of launching site at circle center O3under loads 1 and 3 and superposed settlement

4　結論

1）推導了多圓均布動載荷作用下雙參數地基上雙層彈性薄板的撓度解析式及發射裝備對地載荷的表達式，在ADAMS中建立了含場坪的發射裝備仿真模型并與Simulink聯合求解，實現了發射裝備與場坪的耦合，為分析導彈發射動力學問題提供了良好的研究平臺。

2）給出了發射裝備對地載荷下場坪的下沉量，通過分析得到：

（1）相對于4個支撐盤對地載荷作用下場坪下沉量而言，底座處場坪下沉量最大，且底座對地載荷顯著影響后兩個支撐盤處的場坪彎沉；

（2）支撐盤間的距離較遠，使得某個支撐盤的對地載荷在其余支撐盤處引起的場坪下沉量很小，可忽略；

（3）雙參數地基模型中考慮了水平方向的地基反力，發生彎沉時在水平力作用下場坪有抬升的趨勢，且距離對地載荷較遠處，水平力對場坪的抬升量可能大于對地載荷引起的下沉量，最終使得場坪表現為微量抬升。

（

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Dynamic Response of Cold Launching Equipment to Prepared Launching Site Subjected to Loading

ZHANG Zhen-dong，MA Da-wei，REN Jie，HE Qiang，ZHU Zhong-ling
（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

In order to research the dynamic response of old launching equipment to prepared launching site subjected to loading，the loading is regarded as multi-circle distributed force，and the expression of force is derived based on Hertz contact theory.Based on the governing differential equation of Winkler foundation model，the differential equations of two-layer plate are improved by adding the subgrade reaction into the two-parameter foundation model.Then the expression of launching site deflection under single-circle distributed force is deduced by using Fourier integral transformation and triangular series methods.The analysis formula of settlement under multi-circle distributed force could be got by using linear superposition method.For the sake of settlement of launching site，a co-simulation dynamic model of launching equipment including site is built by ADAMS software and Simulink software.Analysis results of the settlement of circle center in every contact area show that the settlement of contact area at the base is larger and has great impact on the deflections of the latter two contact areas of support disk，the settlement interact between support disks should be ignored because of small order magnitude.

ordnance science and technology；launching equipment；multi-circle distributed dynamic force；two-layer plate model on two-parameter foundation；co-simulation；settlement of launching site

TJ768

A

1000-1093（2015）02-0279-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.013

2014-05-26

國防基礎科研基金項目（B2620110005）

張震東（1988—），男，博士研究生。E-mail：zzd1157@163.com；馬大為（1953—），男，教授，博士生導師。E-mail：ma-dawei@mail.njust.edu.cn