基于MATLAB的機床液體靜壓導軌油膜厚度控制系統研究

張振東王 菲胡 建

（1 安徽工程大學機電學院，安徽 蕪湖 241000）

（2 安徽工程大學機械與汽車學院，安徽 蕪湖 241000）

（3 哈特機器人研究院，安徽 蕪湖 241000）

基于MATLAB的機床液體靜壓導軌油膜厚度控制系統研究

張振東1王 菲2胡 建3

（1 安徽工程大學機電學院，安徽 蕪湖 241000）

（2 安徽工程大學機械與汽車學院，安徽 蕪湖 241000）

（3 哈特機器人研究院，安徽 蕪湖 241000）

設計了液體靜壓導軌油膜厚度的控制系統，據此進行了普通PID控制器和模糊PID控制器仿真分析，結果表明，模糊PID控制器的動態響應性能和控制精度比普通PID控制器更好，更能滿足機床開式液體靜壓導軌油膜厚度控制的要求。

開式導軌；油膜厚度；PID控制；模糊控制；MATLAB

引言

本文通過對導軌—油液數學模型的建立運用MATLAB分析導軌油膜控制的穩定性，設計出普通PID控制器和模糊PID控制器并分別進行了仿真分析，提出了由變頻器、電動機、變量泵構成的液體靜壓導軌改進型供油系統，推導了其數學模型［1］。該系統使用變頻器控制異步電動機轉速，電動機轉速的改變帶動變量泵的流量發生改變，使得導軌的油膜厚度隨之改變，直至趨于恒定值。其工作原理如圖1：

圖1中：1—變頻器，2—變量泵，3—過濾器，4—進油口，5—動導軌，6—油箱，7—過濾器，8—節流閥，9—溢流閥。

圖1 靜壓導軌油膜厚度控制系統原理圖

變量泵將已過濾的油液經節流閥輸送到導軌油腔中，油壓和中心油腔產生的壓力場共同組成承載壓力，用來平衡外負載力。當導軌油腔中的壓力足以平衡外負載力時，上支撐導軌被浮起，此時油液經過上、下支承的間隙流出，壓力降為零。當浮起量大于支承上、下兩個平面的表面粗糙度時，即形成純液體摩擦。如果上支撐表面的外負載W增大時，那么上支撐則會出現下沉的趨勢，油膜被壓縮，導致導軌面之間的油液外流的液阻增加。節流閥具有調壓的作用，使油腔壓力增加，平衡外界負載。最終實現油膜厚度的控制。

機床靜壓導軌油膜厚度控制系統主要由計算機、D/A、變頻器、電機、泵、導軌和傳感器等。靜壓導軌油膜厚度控制框圖如圖2所示，理想油膜厚度h和位移傳感器測量的實際油膜厚度h1相比較形成誤差△h，對△h經過計算器進行控制算法計算，D/A把數字量信號轉化成變頻器可以接受的模擬信號，控制變頻器的頻率，變頻器可以改變電機的轉速從而改變泵的轉速，使泵輸出的油液流量跟隨油膜厚度的變化而變化。本文主要從導軌油膜厚度控制系統和流量控制系統研究油膜厚度。

圖2 靜壓導軌油膜厚度控制系統框圖

1 導軌—油液數學模型的建立

油膜厚度控制系統模型包括被控對象泵-導軌模型和導軌—油液控制模型兩部分，其核心是導軌—油液控制模型。

1.1 導軌—油液耦合模型

導軌—油液的數學模型主要由導軌流量方程和導軌受力方程組成。導軌流量主要由體積壓縮導致的填充流量和間隙流量組成，導軌流量方程是在縫隙流動的原理上建立的，其流量方程如式（1）所示：

式中：q—進入導軌的流量；

v1—油液體積（mm3）；

βe—油液體積彈性模量（k/MPa）；

b—導軌寬度（mm）；

h—油膜厚度（μm）；

μ—動力粘度（Pa·s）；

l—導軌長度（mm）；

p—導軌間隙壓力。

將流量方程在理想油膜厚度h0處利用泰勒公式展開并進行拉氏變換可得式（2）：

在此控制系統中動導軌主要受自身重力、切削力、油液對動導軌的摩擦力和液體對導軌的作用總力。在分析動導軌的受力方程時，不妨假設油腔縫隙流動為層流，液體對導軌的壓力是線性分布，則其受力方程為：

式中：m—動導軌質量；

c—油液阻尼系數；

k—比例系數；

A—導軌與油液接觸面積；

Fg—重力及切削力。

對式（3）進行拉氏變換并代入（2）式，可得：

通過實驗優化，式（4）中相關參數值如表1所示［2］：

表1 靜壓導軌油膜控制系統參數值

表1中的相關參數帶入式（4）中，經化簡可得導軌—油液的數學模型：

式（5）是靜壓導軌油膜控制系統導軌—油液的數學模型，建立此數學模型，需要對該數學模型的穩定性和控制系統的性能進行進一步的分析研究。

1.2 靜壓導軌油膜控制系統穩定性分析

靜壓導軌油膜控制系統穩定性的判斷方法有很多種，例如：李雅普諾夫定理、根軌跡法、解析法、Nyquist圖和bode圖的方法等。本文主要采用根軌跡法、Nyquist圖法分析該控制系統的穩定性，根軌跡法表明如果數學模型中所有特征根落在S的左半平面，則此控制系統穩定。Nyquist法表明如果數學模型Nyquist曲線不包圍（-1，j0）點，則此控制系統穩定。

根據MATLAB編程的相關知識，得到靜壓導軌油膜控制系統模型的零極點圖和Nyquist圖如下：

圖3 零極點圖

圖4Nyquist圖

由圖3可知靜壓導軌油膜控制系統特征方程的根全部落在了S的左半平面，該系統穩定，但是由于該系統特征方程的共軛復根-0.00531±0.758i的實部接近于零，且由圖4知，（-1，j0）點在Nyquist曲線上，故系統穩定性偏差。

1.3 靜壓導軌油膜控制系統PID仿真

由于上述靜壓導軌油膜控制系統的模型穩定性較差，為改善其穩定性，需對該系統增加控制器，本文選用PID控制器，PID控制器中比例環節起著減少控制系統的偏差的作用，積分環節有消除控制系統的靜態誤差，提高其無差度的作用；微分環節主要是提高控制系統的動態性能。

在系統加入PID控制前后，利用MATLAB中的simulink對系統進行仿真，其模型圖5所示：

圖5 加入PID前后靜壓導軌油膜控制系統導軌—油液的數學模型

按照PID中三個參數的調節規律，對各個系數進行不斷的調整，得出最佳的三個參數值分別是，kp=-160 ki=-8 kd=-9.6。經過simulink仿真，可得圖6所示的加入PID前后靜壓導軌油膜控制系統的單位階躍響應圖：

圖6 加入PID靜壓導軌油膜控制系統單位階躍響應圖

由圖6可知：加入PID后靜壓導軌油膜厚度控制系統的超調量，得到很大改善，當輸入單位階躍信號時，靜壓導軌油膜控制系統的輸出能達到理想的輸出信號要求，與輸入信號基本吻合，輸出信號稍有波動，由此可得，加入PID控制后使靜壓導軌油膜控制系統的性能得到一定的提高。

2 靜壓導軌流量控制模型建立

對靜壓導軌流量控制系統的研究主要是指對變頻器、電機和泵的控制系統的研究。圖7是靜壓導軌流量控制系統框圖

圖7 靜壓導軌流量控制系框圖

由圖7可知：輸入信號r與經過模數（A/D）轉換后的數字量之差為Δe，數字量Δe經計算機的優化，經過數模（D/A）轉換器將數字信號轉化成模擬信號，此模擬信號能使變頻器頻率發生改變，從而引起電機的轉速發生變化，帶動泵的轉速發生變化，達到改變泵的流量Qp的目的。

下面建立靜壓導軌流量控制系統的數學模型，靜壓導軌流量控制系統的數學模型就是變頻器、電機和泵的數學模型的有機結合。

2.1 靜壓導軌流量控制變頻器的數學模型

由變頻器的相關知識可知，在不考慮低頻工作時轉矩的補償電壓的情況下，電源頻率f1和電機的相電壓u1的表達式為［3］：

式中：uc—變頻器輸入電壓（v）；

kint—電壓頻率系數（Hz/v），由于uc為0-10v，f1為0-50Hz，則取kint為5Hz/v；

kf—轉換系數，kf=4.4v/Hz。

將式（6）經過拉氏變換可得變頻器的數學模型為：

2.2 靜壓導軌流量控制電機的數學模型

根據電機的知識可知，電機可以簡化為三個環節，兩個慣性環節和一個延時環節，經過實驗可知電機簡化的傳遞函數為［4］：

式中：K—為系統增益常數

T1—慣性常數

T2—慣性常數

τ—為滯后時間常數

由相關資料和實驗可知K=1，T1=32.8s，T2=0.2s

可得電機控制模型為：

2.3 靜壓導軌流量控制泵的數學模型

根據泵的知識可知，恒壓變量泵的流量與轉速成正比，有：

式中：Q1—泵的額定流量（m3/s），；

Q2—泵的實際輸出量（m3/s）；

n1—電機的額定轉速（r/s）；

n2—電機的實際轉速（r/s）。

ka為定值，令ka等于1

對式（10）進行拉氏變換可得泵的數學模型：

故此靜壓導軌流量控制系統數學模型為：

2.4 靜壓導軌流量控制系統穩定分析

控制系統穩定性的分析方法多種多樣，本文采用解析法對靜壓導軌流量控制系統穩定進行分析，令s=jω，帶入式（12）可得靜壓導軌流量控制系統的頻率特性為：

則靜壓導軌流量控制系統總的對數幅頻特性為：

靜壓導軌流量控制系統總的對數相頻特性為：

式中：ωc—剪切頻率；

ωg—相角穿越頻率。

由式（14）解得：ωc=0.6642，ωg=0.9441

經過剪切頻率ωc和相角穿越頻率ωg可以求出相角裕度γ和幅值裕度Kg（dB）分別為：

由上述可知，靜壓導軌流量控制系統的相角裕度和幅值裕度都大于0，故此控制系統穩定。

2.5 靜壓導軌流量控制系統PID仿真

為了研究靜壓導軌流量控制系統需對其控制模型進行簡化，將簡化后所得的靜壓導軌流量控制系統與加入PID控制后的靜壓導軌泵流量控制系統進行比較，比較模型如圖8所示：

圖8 加入PID前后靜壓導軌泵流量系統框圖

利用MATLAB中的simulink對系統進行仿真，其運行結果如圖9。

由圖9可知：未加PID前系統穩定時間在40s左右，加入PID后系統在15s內達到穩定。由此可知，加入PID控制后靜壓導軌流量控制系統的性能很大改善。

2.6 靜壓導軌流量控制系統模糊PID仿真

由于PID校正存在一定的局限性且PID參數需人為校正，十分費時，如果調試者缺乏經驗很難整合出合理的參數［1］，即使能調出合理的參數，隨著環境和系統運行時間的推移，PID參數也需重新調整。由此本文引入模糊PID控制理論。

模糊PID控制結合了普通PID控制和模糊控制的優點。圖10是靜壓導軌泵流量控制系統的模糊PID控制器結構圖，由圖10可知，偏差E和偏差變化率EC是模糊PID控制器的輸入量，Kp、Ki、Kd是模糊PID控制器的輸出量，它可以在線調節出PID最佳的三個控制參數，從而提高靜壓導軌泵流量控制系統的性能［5-7］

圖9 加入PID前后靜壓導軌泵流量控制響應曲線

圖10 靜壓導軌泵流量控制系統的模糊PID控制器結構

由圖10可知：PID的三個控制參數由偏差e和偏差變化率ec決定。在本文中，輸入變量以及輸出變量的語言值可以分為7個語言值，即NB、NM、NS、0、PS、PM、PB，也就是負大、負中、負小、0、正小、正中和正大［8］。模糊PID控制器對PID中的三個參數進行在線整定，可以求解出最佳的三個控制參數。偏差e和偏差變化率ec的論域取｛-3～3｝，輸出量Kp的論域取｛-0.3～0.3｝，Ki的論域取｛-0.06～0.06｝，Kd的論域取｛-3～3｝，則偏差e、偏差變化率ec、輸出量Kp、Ki、Kd的隸屬度函數如圖11至15所示：

圖11e隸屬度函數

圖12ec隸屬度函數

圖13Kp隸屬度函數

圖14Ki隸屬度函數

圖15 Kd隸屬度函數

模糊PID控制的核心是建立合適的模糊控制規則表，PID中的Kp、Ki、Kd三個參數的規則表［9］，如表2、表3、表4所示：

表2 Kp的模糊控制規則表

表3 Ki的模糊控制規則表

表4 Kd的模糊控制規則表

根據模糊PID控制和MATLAB編程的相關知識，對靜壓導軌泵流量控制系統進行編程仿真，圖16是模糊PID控制系統的階躍響應圖。

圖16 模糊PID控制系統的階躍響應圖

圖17 模糊PID控制系統的誤差圖

由圖16可知：靜壓導軌泵流量給定值為1，在7.5s時靜壓導軌泵流量控制系統達到穩定，與普通PID控制的靜壓導軌泵流量控制系統相比，模糊PID控制達到穩定所需要的時間很少。在15s給靜壓導軌泵流量控制系統加入干擾信號，在20s時此控制系統達到理想的穩定狀態，由此可知：模糊PID控制具有很強的抗干擾能力，它不僅提高了靜壓導軌泵流量控制系統的性能，同時也說明了模糊PID控制方法比普通PID控制方法更加優越。

圖17為模糊PID控制系統的誤差圖，由圖17可知：在6s左右靜壓導軌泵流量控制系統的誤差減小為0，在15s時給該控制系統加入干擾信號，在20s左右誤差再次減小為0，同樣證明了模糊PID控制具有抵抗外界干擾的能力。

模糊PID控制對PID的三個控制參數進行在線整定，可以得到最佳的Kp、Ki、Kd的控制參數，圖18至圖20是PID的三個控制參數仿真結果圖。

圖18 模糊PID控制的Kp系數在線整定圖

圖19 模糊PID控制的Ki系數在線整定圖

圖20 模糊PID控制的Kd系數在線整定圖

由圖18至圖20可知：模糊PID控制的3個參數經過在線整定均在5S內達到穩定。較之普通PID控制有了很好的改善，工作效率明顯提高。

3 結論

本文通過對導軌—油液控制系統和流量控制系統模型的建立，使用根軌跡和Nyquist圖的方法分析靜壓導軌油膜控制系統的穩定性并對其控制系統進行PID優化設計和Simulink仿真，使導軌—油液控制系統達到穩定，在流量控制系統模型的建立中，分別對變頻器、電機和泵進行了模型建立，得出流量控制系統模型，使用解析法分析其穩定性，對其系統進行普通PID和模糊PID優化設計，使系統穩定性進一步提升。導軌—油液控制系統和流量控制系統模型的建立能夠使變量泵輸出的油液流量穩定的隨油膜厚度變化而變化，改變動、支撐導軌間流體壓力，從而使導軌油膜厚度穩定。

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RESEARCH ON THE CONTROL SYSTEM OF OIL FILM THICKNESS FOR LATHE HYDROSTATIC RAIL BASED ON MATLAB

ZHANG Zhen-dong1WANG Fei2HU Jian3
（1 Anhui Polytechnic University，Mechanical&Electrical College，Wuhu Anhui 241000）
（2 Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000）
（3 Wuhu HIT Robot Technology Research Institute Co.，Ltd.，Wuhu Anhui 241000）

This paper is aimed at designing the control system of oil film thickness for the hydrostatic rail. General PID controller and fuzzy PID controller are simulated and analyzed，and the results shows that the fuzzy PID controller has better dynamic performance and higher precision than general PID controller， and it can meet the requirements of the oil film thickness control for open lathe hydrostatic rails.

open rails；oil film thickness；general PID controller；fuzzy controller；MATLAB

陳小舉

TH11

A

1672-2868（2015）03-0068-10

2015-01-11

張振東（1985-）男，安徽阜陽人。安徽工程大學，助教，碩士。研究方向：機械設計制造及其自動化。