采用有限差分求解高壓直流輸電線路空間離子流場的新方法

喬 驥 鄒 軍 袁建生 李本良

（1. 清華大學電力系統國家重點實驗室 北京 100084 2. 國網北京經濟技術研究院 北京 102209）

1 引言

直流電暈產生的離子會在輸電線路空間形成離子流，該離子流在很大程度上影響輸電線路的標稱電場。計算空間離子流場和合成電場是分析直流輸電線路電磁環境的基礎。國外很早就針對高壓直流輸電線路電磁環境進行了大量的實驗研究[1,2]，國內也對特定線路進行了電磁環境的測量[3,4]。

早在20世紀60、70年代，Sarma等人提出計算空間離子流場的一維模型，基于Deusth假設，認為空間離子流場只影響標稱電場的大小，不影響其方向，為工程設計提供了大量的理論依據[5,6]。另外，有部分學者將理論計算與大量實驗數據結合，給出計算電暈損耗的半經驗公式[7]。到20世紀70年代末，由Janischewskyj等人提出有限元法計算空間離子流場[8]，之后又由更多學者進行了改進[9,10]。近些年國內各研究所和高校也進行了較為深入的研究[11-14]。總體來看，基于Deusth假設的研究引入了較多假設，計算精度較低，但計算速度相對較快；有限元等數值計算方法能夠考慮較多因素，提高了計算精度，但計算效率較低。

本文采用 Sarma等人提出的模型進行仿真計算。該方法的基本思路是將求解離子流場的二維空間問題轉化為沿電力線求解的一維問題，建立電力線弧長坐標系下的微分方程組及邊界條件。求解該微分方程組的方法目前有兩類。第一類是對微分方程組進行積分，求解離子濃度和合成場強的解析表達式。該方法計算速度快，但只適用于單極性空間離子流的求解，對于雙極性空間離子流計算模型，無法得到解析解；第二類是通過優化方法求解微分方程組，該方法能夠適用于單極性和雙極性空間離子流計算，但是計算不易收斂。綜合計算精度、計算效率及適用性的考慮，本文提出采用有限差分將微分方程組轉化為非線性代數方程組進行求解。

2 空間離子流場與合成電場的計算原理

2.1 空間離子流場計算的數學模型

為便于說明，各符號含義如下：

E—— 空間合成電場強度（V/m）；

E′—— 空間標稱電場強度（V/m）；

ξ—— 合成場強與標稱場強幅值比；

Φ—— 合成電場電動勢（V）；

φ—— 標稱電場電動勢（V）；

ρ—— 離子濃度（C/m3）；

ρ+,ρ-—— 正、負離子濃度（C/m3）；

J—— 離子流密度（A/m2）；

j+,j-—— 正、負離子流密度（A/m2）；

k—— 離子遷移率（m2/（V·s））；

k+,k-—— 正、負離子遷移率（m2/（V·s））；

ε0—— 真空介電常數（F/m）；

R—— 正、負離子復合速率系數（m3/s）；

U—— 導線運行電壓（V）；

U0—— 導線起始電暈電壓（V）；

Ec—— 導線起始電暈場強（V/m）；

Ec+,Ec-—— 正、負導線起始電暈場強（V/m）。

進行離子流場建模需要考慮以下幾個方面進行數學描述：①泊松方程：電場由導線電荷及空間離子共同產生，用泊松方程描述空間合成場強；②電流密度方程：建立空間離子流密度與電荷濃度及合成場強的關系；③電流連續性方程：當離子流場達到穩態后，空間電場認為是恒定電場，電流滿足連續性條件；④正負離子復合方程：對于雙極性輸電線路離子流計算模型，正負離子會發生復合反應，用復合方程進行數學描述。

基于上述方程，分別對單極性和雙極性輸電線路離子流場建立描述空間場量的方程組。

單極性空間離子流場數學模型

雙極性空間離子流場數學模型

2.2 一維離子流場計算簡化模型

為對上述數學模型進行簡化，需引入以下基本假設：①Deutsch假設：空間中的帶電離子只影響標稱場強的幅值，不影響其方向；②Kaptzov假設：線路發生電暈后，線路表面的電場強度大小基本維持在起暈場強值不變；③離子運動模型簡化：不考慮離子的擴散作用；認為離子遷移率為常數，采用離子遷移率的統計平均值；帶電離子沿著標稱電場的電力線運動，不發生偏移；不考慮風及空間懸浮顆粒對于離子運動的影響；④電離區簡化：相對于線路空間的漂移區，電離區厚度可以忽略不計，認為電離區的邊界與導線表面重合。

2.2.1單極性空間離子流場一維模型

以正極性輸電線路空間離子流計算模型為例，如圖1所示。

圖1 單極性空間離子流計算模型示意圖Fig.1 Calculation model of ion current in unipolar region

對于一條從正極性導線表面出發，終止于大地的電力線，以導線表面的電力線出發點作為坐標原點，沿電力線建立弧長坐標系，則電力線上的比例系數ξ、空間離子濃度ρ、合成電場電動勢Φ以及合成電場場強E都可表示為弧長S的函數ξ(S)、ρ(S)、Φ(S)、E(S)。另外，在該電力線上，標稱電場的電動勢φ與弧長S具有一一對應的關系，因此比例系數ξ、空間離子濃度ρ、合成電場電動勢Φ以及合成電場場強E也可表示為標稱電場電動勢的函數ξ(φ)、ρ(φ)、Φ(φ)、E(φ)。

建立沿電力線求解單極性離子流微分方程組

該計算模型的邊界條件為

式（11）的含義為在大地或無限遠處，標稱電場和合成電場的電動勢始終為零。式（12）的含義為在導體表面標稱電場和合成電場電動勢為線路的運行電壓U。式（13）的含義為當導體表面發生電暈時，根據Kaptzov假設，導體表面的合成電場強度始終保持在起暈場強不變，此時的合成場強可由Peek公式直接給出。

2.2.2雙極性空間離子流場一維模型

在分析雙極輸電線路的空間離子流場時，可將空間區域劃分為兩部分：單極性離子漂移區和雙極性離子漂移區，如圖2所示。

圖2 雙極性空間離子流計算模型示意圖Fig.2 Calculation model of ion current in bipolar region

在單極性離子漂移區內，由于假設帶電粒子始終沿電力線軌跡移動，因此從導線到大地或導線到無限遠處的電力線上只存在單極性離子，仍可按單極性空間離子流計算模型進行分析；從正極性導線到負極性導線的電力線需要考慮雙極性空間離子流場計算模型。建立沿電力線求解雙極性空間離子流的微分方程組。

該計算模型的邊界條件為

式（15）、式（16）的含義為在正、負極性導線表面，標稱電場和合成電場的電動勢為運行電壓U+/-。式（17）、式（18）的含義為當導體表面發生電暈時，根據Kaptzov假設，導體表面的合成電場強度始終保持在起暈場強不變，此時的合成場強可由Peek公式直接給出。

3 有限差分求解空間離子流微分方程組

3.1 采用有限差分轉化微分方程組的基本原理

在上述單極性和雙極性空間離子流一維計算模型中，對于某一電力線，邊界條件分別位于電力線的兩端，因此構成了典型的兩點邊值問題。本文采用有限差分將原微分方程組轉化為非線性代數方程組進行計算。以單極性空間離子流計算為例，其原理如圖3所示。

對于從導線表面出發終止于大地的電力線，取其上的N個離散點。第一個點位于導線表面，第N個點位于大地，每個點的未知量設為ξn、ρn、Φn(n=1,2,3,…,N)。用離散點的有限差商近似代替微分，以前向差分公式為例，最終將原微分方程組轉化為

圖3 有限差分轉換離子流微分方程組原理圖Fig.3 Finite difference method to discrete the differential equations

由邊界條件得

N個離散點共有3N個未知數，式（19）、式（20）共建立了 3N個方程，且該方程組直接滿足了邊界條件。對于雙極性空間離子流計算的微分方程組，也可采用類似的方法進行轉換，不再贅述。

3.2 歸一化差分方程

觀察各未知量的數量級，對于實際工程的直流輸電線路，Φ的數量級最大可達105V，ξ的數量級在100左右，ρ的數量級在10-9～10-7C/m3之間，數量級上相差非常大。如果采用最小二乘法原則求解該非線性代數方程，很可能會由于未知量數量級相差太多而使迭代過程無法收斂，無法找到最優解。本文采用的方法為將變量先進行歸一化處理，使得求解的變量盡量保持在同一數量級，從而增加求解的準確度。

3.3 選取差分方程初值

計算非線性代數方程組時，需要給出待求解變量的初始迭代值。初值的選取極大影響迭代過程的收斂速度以及計算結果的準確度。本文采用的初值給定方法如下：

（1）對于變量Φn(n=1,2,3,…,N)，初值選取相應離散點的標稱電場電動勢φn(n=1,2,3,…,N)。

（2）對于變量ξn(n=1,2,3,…,N)，由于其值一般在1附近，所以選取初值為1。

（3）對于變量ρn(n=1,2,3,…,N)，在單極性空間離子流計算模型中，以ρm作為初值能夠較好保證初值數量級在真值附近，ρm的計算公式由下式給出

對于雙極性離子流計算模型，由于還沒有相應的估算方法，而且其大小隨線路幾何參數和運行電壓的變化而差別很大，因此先以離子濃度一般的數量級10-8C/m3作為初值，計算得到一組解，再利用該解估算相應數量級作為第二次計算的迭代初值，這樣即可得到較為準確的解。

3.4 差分方法的取點方式及其收斂性

離散點的選取個數會直接影響方程的個數，而方程個數又影響求解的準確度及求解速度。假設已繪制的輸電線路空間中某根電力線由N′個離散的繪制點擬合而成，即在該電力線的弧長坐標系上已有N′個離散點，在選取有限差分離散點時，可直接利用這些點求取。本文的取點原則為：

（1）導線附近電場強度變化速度較快，為了較準確描述導體表面附近的信息，需要選取較多的離散點。對于單極性離子流計算模型，先選取N′個離散點中離導線表面最近的N1=10個點；對于雙極性離子流計算模型，分別選取電力線上離正、負極性導線表面最近的N1=10個點，共 2N1=20個點。

（2）剩余的N′-N1個離散點中，根據相鄰離散點標稱電動勢差相等原則選取N2個點，該N2個點的弧長坐標、標稱電場強度以及標稱電場電動勢根據N′-N1個離散點的數據，采用插值方式進行計算。

圖 4為葛-上線單回雙極四分裂輸電線路地面離子流的計算結果。其中N2分別取 10、20、30、40?？梢钥闯觯S著離散點數的增加，計算結果逐漸收斂。當N2增大到20后，隨著離散點數的增加，計算結果的變化已經不明顯。因此，可以認為N2=20時，計算結果已經較為準確。線路參數：導線高度H=12.5m，極間距離D=14m，導線半徑r=1.185cm，分裂間距s=0.45m，運行電壓U=±500kV。

圖4N2不同時地面離子流計算比較Fig.4 Comparison of ion current density on the ground level with differentN2

表1為單極性離子流模型中N2取不同值時計算單根電力線離子流的平均時間。綜合考慮計算精度和計算時間，最終N2的取值為20。

表1N2取不同值時計算單根電力線離子流的時間Tab.1 Computing time of space charge density on one flux line with differentN2

（3）由于按照等電動勢差的原則選取N2個點，這會導致在電場強度幅值較小的位置選取的離散點之間的弧長距離過大，影響計算精度。因此需在弧長間距過大的兩離散點之間插入新的離散點。

3.5 有限差分計算方法驗證

為驗證有限差分計算方法的正確性，與文獻[6,12]比較單極性和雙極性空間離子流計算結果。文獻[12]采用積分解析法進行葛-上線地面離子流以及合成場強的求解，計算結果比較如圖5a、5b。文獻[6]給出了雙極性輸電線路，兩極之間的一根電力線的雙極性離子濃度計算結果，比較結果如圖6線路參數為：極間距離D=10.36m，導線半徑r=1.02cm，運行電壓U=±350kV。

圖5 單極模型有限差分法計算結果與文獻結果比較Fig.5 Comparison between the results of proposed method and previous ones in unipolar region

圖6 雙極模型有限差分法計算結果與文獻結果比較Fig.6 Comparison between the results of proposed method and previous ones in bipolar region

表2為不同方法計算單回輸電線路全空間離子流場的用時。可以看出，對于單極性和雙極性空間離子流模型的計算，本文方法的用時分別是優化方法的4.25%和2.6%，該方法大幅提高了計算速度。

表2 不同方法求解離子流場用時比較Tab.2 Computing time using different methods

4 雙回直流輸電線路離子流計算舉例

采用本文方法計算雙回水平排布和縱向排布直流輸電線路地面離子流場及合成電場。線路排布如圖7、8所示，計算結果如圖9、10所示。

圖7 雙回水平排布直流輸電線路排布結構Fig.7 Geometric configuration of a double-circuit DC transmission line

圖8 雙回縱向排布直流輸電線路排布結構Fig.8 Geometric configuration of a double-circuit DC transmission line

圖9 雙回直流輸電線路地面離子流Fig.9 Ion current density on the ground level of the double-circuit DC transmission line

圖10 雙回直流輸電線路地面合成場強Fig.10 Total electric field on the ground level of the double-circuit DC transmission line

另外，本文計算了雙回輸電線路空間離子流場分布。結果顯示水平排布方式空間離子濃度最大值約為2.5×10-6C/m3，縱向排布方式空間離子濃度最大值約為4×10-7C/m3，水平排布的整個空間離子濃度比縱向排布高一數量級。與水平排布方式相比，縱向排布對于限制地面最大合成場強并沒有優勢，但其可以有效降低線路外側的合成場強大小，節約線路占地面積。從限制地面離子流和合成場強的角度考慮，雙回直流輸電線路應采用縱向排布方式。

5 結論

本文提出采用有限差分方法計算直流輸電線路空間離子流場及合成電場，該方法直接滿足邊界條件，降低了方程求解難度，有效提高了計算速度，并且能夠適用于任意回數的單、雙極直流輸電線路空間離子流場的求解。對于差分方程的建立與求解，本文針對方程的歸一化方法、初值選取以及取點方式給出了一定的參考原則?；诒疚姆椒?，計算了雙回直流輸電線路的地面離子流場與合成電場。結果顯示雙回直流輸電線路應采用縱向排布方式。

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