大型潛水電機(jī)混合偏心時(shí)轉(zhuǎn)子副臨界振動(dòng)的研究

鮑曉華 李福英 方 勇 王漢豐 程志恒 狄 沖 梁 娜

（合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院 合肥 230009）

1 引言

大型潛水電機(jī)主要用于大型礦山排水、城市污水處理系統(tǒng)以及搶險(xiǎn)救災(zāi)、地表灌溉等場(chǎng)合。隨著潛水電機(jī)制造業(yè)的發(fā)展，潛水電機(jī)的需求數(shù)量不斷增長(zhǎng)，在潛水電機(jī)的設(shè)計(jì)和制造過(guò)程中，由于材質(zhì)的不均勻性，或是機(jī)械加工和裝配上的誤差，使得定轉(zhuǎn)子存在一定的偏心。大型潛水電機(jī)常年工作于深水之下，其特殊的工作環(huán)境對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)提出新的挑戰(zhàn)，又由于其檢修工作的困難，這要求潛水電機(jī)擁有極高的運(yùn)行穩(wěn)定性。正確計(jì)算和預(yù)測(cè)故障下的轉(zhuǎn)子振動(dòng)狀態(tài)，不僅可以?xún)?yōu)化電機(jī)設(shè)計(jì)，還為今后電機(jī)安全高速運(yùn)行奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。N. M.Elkasabgy等學(xué)者指出，80%定轉(zhuǎn)子偏心源于機(jī)械裝配，而60%的機(jī)械故障源于偏心[1-3]。因此偏心下電機(jī)性能參數(shù)研究是必要的。

根據(jù)偏心幾何的特征，氣隙偏心可以分為軸向均勻偏心和軸向不均勻偏心兩種基本類(lèi)型。其中，軸向均勻偏心又可分為靜態(tài)偏心（SE）、動(dòng)態(tài)偏心（DE）以及混合偏心（ME）[4,5]，軸向不均勻偏心即斜偏心（IE）[6]。靜偏心指定轉(zhuǎn)子不同心，轉(zhuǎn)子以自身幾何軸心為旋轉(zhuǎn)軸。動(dòng)偏心指定轉(zhuǎn)子不同心，但轉(zhuǎn)子以定子的幾何軸心為旋轉(zhuǎn)軸。混合偏心指靜偏心和動(dòng)偏心的組合，即定轉(zhuǎn)子不同心，轉(zhuǎn)子以正常電機(jī)定轉(zhuǎn)子的幾何中心為旋轉(zhuǎn)軸（見(jiàn)圖1）。目前國(guó)內(nèi)針對(duì)電機(jī)氣隙偏心的研究相對(duì)國(guó)外較少，氣隙偏心研究多為靜態(tài)偏心、動(dòng)態(tài)偏心和混合偏心特征量[7-8]的提取，很少涉及偏心下轉(zhuǎn)子振動(dòng)問(wèn)題。實(shí)際上，靜態(tài)偏心總是和動(dòng)態(tài)偏心同時(shí)存在。由于制造和安裝的誤差，即使新制造的電機(jī)也會(huì)存在固有的靜態(tài)偏心[9]。且在電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中，轉(zhuǎn)子受到初始單邊磁拉力的影響而彎曲，又產(chǎn)生一定的動(dòng)偏心。

根據(jù)電機(jī)設(shè)計(jì)及電磁基礎(chǔ)理論，電機(jī)振動(dòng)可大致歸類(lèi)為三種：電磁振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)和空氣動(dòng)力振動(dòng)。其中電磁振動(dòng)和機(jī)械振動(dòng)一直是國(guó)內(nèi)外電機(jī)學(xué)者們研究的重要課題，并且取得了一定的研究成果。姚志遠(yuǎn)等人針對(duì)桿截面的突變會(huì)降低波傳播效率的問(wèn)題，提出基于連續(xù)變截面蘭杰文振子的設(shè)計(jì)方法，以此優(yōu)化電機(jī)的輸出性能[10]。莫岳平等人通過(guò) ANSYS有限元模態(tài)分析，闡述了最優(yōu)振動(dòng)模態(tài)的選擇[11]。K.N.S等人建立定轉(zhuǎn)子三維模型，采用3D FEA方法，分析了由多種因素引發(fā)的電機(jī)振動(dòng)[12]，但并未考慮轉(zhuǎn)子副臨界共振對(duì)電機(jī)的安全運(yùn)行的影響。

由轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)可知，由于轉(zhuǎn)子非對(duì)稱(chēng)剛性或是轉(zhuǎn)子重力的影響，致使電機(jī)轉(zhuǎn)子工作在某一轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子撓度達(dá)到峰值，此時(shí)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大小為臨界轉(zhuǎn)速大小的一半，這樣的轉(zhuǎn)速被稱(chēng)為副臨界轉(zhuǎn)速，或稱(chēng)為次臨界轉(zhuǎn)速以及亞臨界轉(zhuǎn)速。副臨界轉(zhuǎn)速時(shí)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子共振現(xiàn)象簡(jiǎn)稱(chēng)為副臨界振動(dòng)。

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展及仿真軟件的完善，在電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)[13]，偏心建模[14,15]，偏心仿真[16,17]，偏心檢測(cè)[18,19]等方面國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了很多研究。Kyung-Ho-Ha等人分析了不平衡電磁力對(duì)轉(zhuǎn)子渦動(dòng)軌跡的響應(yīng)，通過(guò)預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的機(jī)械動(dòng)力性能降低振動(dòng)，優(yōu)化電機(jī)性能[20]。在非對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)子副臨界轉(zhuǎn)速理論計(jì)算分析方面，林富生等人理論分析并實(shí)驗(yàn)研究了帶初始彎曲的剛度不對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)，提出副臨界現(xiàn)象的存在[21]。針對(duì)某種特種電機(jī)進(jìn)行具體的副臨界共振分析，尤其是定轉(zhuǎn)子偏心狀態(tài)下，卻研究甚少。本文針對(duì)大型潛水電機(jī)，基于副臨界轉(zhuǎn)子振動(dòng)對(duì)電機(jī)的影響，分析副臨界轉(zhuǎn)速的部分影響因素，闡述副臨界轉(zhuǎn)速與額定轉(zhuǎn)速的關(guān)系和副臨界共振機(jī)理的發(fā)生條件。

大型潛水電機(jī)由于其較大的轉(zhuǎn)子質(zhì)量，以及其特殊的工作環(huán)境，使其轉(zhuǎn)子共振性能不同于一般的感應(yīng)電機(jī)和高速電機(jī)。為了避免共振，降低轉(zhuǎn)子撓度，更好的優(yōu)化電機(jī)性能，只研究臨界轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子的共振現(xiàn)象是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。本文引入轉(zhuǎn)子副臨界狀態(tài)下的共振概念，分析了混合偏心對(duì)轉(zhuǎn)子副臨界共振的影響，研究了副臨界轉(zhuǎn)速與偏心量的關(guān)系，探討了副臨界轉(zhuǎn)速與潛水深度的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了對(duì)存在混合偏心電機(jī)的諧波共振的部分研究。最后以一個(gè) 4 000kW，4極潛水電機(jī)為例進(jìn)行驗(yàn)證。

2 混合偏心轉(zhuǎn)子模型的建立

基于混合偏心轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)特性，建立了混合偏心轉(zhuǎn)子仿真模型和計(jì)算模型，如圖1所示。本文的計(jì)算仿真分析均建立在圖1所定義的坐標(biāo)系上。

圖1 混合偏心轉(zhuǎn)子計(jì)算模型Fig.1 The calculation model of mixed eccentricity

由圖1可知?dú)庀堕L(zhǎng)度表達(dá)式可以表達(dá)為

式中δ0——平均氣隙長(zhǎng)度；

δa,δb——靜態(tài)偏心，動(dòng)態(tài)偏心量；

α——定子空間角度；

ωr——轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度；

氣隙長(zhǎng)度的逆表達(dá)式可以表示為

由此式（2）可大致表示為

表1 分析模型指標(biāo)和材料屬性Tab.1 The index and material properties for analysis model

本文針對(duì)4 000kW，電機(jī)氣隙為3.5mm的大型濕式潛水電機(jī)進(jìn)行仿真，分析其混合偏心轉(zhuǎn)子狀態(tài)下的電機(jī)轉(zhuǎn)子性能。表1列舉了仿真模型的性能參數(shù)和材料屬性。實(shí)際應(yīng)用中可以通過(guò)套筒的方法實(shí)現(xiàn)混合偏心，即在軸承內(nèi)外圈均裝配套筒，繼而通過(guò)調(diào)節(jié)套筒的厚度實(shí)現(xiàn)混合偏心的效果[22]。

3 混合偏心對(duì)轉(zhuǎn)子副臨界共振的影響

由于混合偏心轉(zhuǎn)子的影響，電機(jī)氣隙磁導(dǎo)發(fā)生變化，產(chǎn)生不平衡電磁拉力，極大程度的影響了電機(jī)系統(tǒng)的電磁剛度，這不僅增加了轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定撓度，降低了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，還影響了轉(zhuǎn)子的共振點(diǎn)和共振狀態(tài)，危及電機(jī)的安全運(yùn)行。

3.1 混合偏心時(shí)的不平衡電磁力

轉(zhuǎn)子混合偏心時(shí)，由于氣隙磁導(dǎo)的變化，定轉(zhuǎn)子氣隙間不平衡磁拉力也發(fā)生了變化。本文建立了電機(jī)模型，采用有限元方法對(duì)氣隙間磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行仿真。并通過(guò)場(chǎng)計(jì)算器對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行后處理，實(shí)現(xiàn)氣隙間電磁力的仿真及分析。根據(jù)工程電磁場(chǎng)理論可知

式中，A為矢量磁位。

假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率無(wú)限大，其定轉(zhuǎn)子間磁感應(yīng)強(qiáng)度如圖2所示。

圖2 氣隙磁通密度圖Fig.2 The flux density for air-gap

由于假設(shè)的偏心量比較小，因此氣隙磁通密度變化不明顯。圖2為1%的靜偏心（SE）、1%動(dòng)偏心（DE）時(shí)的混合偏心氣隙磁通密度變化圖。由于齒槽諧波、剖分等因素，磁通密度變化與標(biāo)準(zhǔn)的正弦波存在一定的誤差，影響電磁力的幅值，但是不改變其頻率成分及變化趨勢(shì)。

為適應(yīng)氣隙長(zhǎng)度的變化，有限元計(jì)算中氣隙網(wǎng)格變化如圖3a所示，圖3b為定子電流變化圖。

圖3 定子電流圖Fig.3 Plot mesh of air-gap and stator current

根據(jù)Maxwell應(yīng)力張量法，電機(jī)定轉(zhuǎn)子氣隙間徑向電磁力矢量可表示為

式中l(wèi)——鐵心長(zhǎng)度；

R(α,θr)——平均氣隙半徑（見(jiàn)圖1），其可表示為

式中，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角度θr=ωrt。

假設(shè)徑向氣隙電磁力全由徑向磁通密度產(chǎn)生，即忽略切向磁通密度，則在一個(gè)電周期內(nèi)，不同混合偏心下氣隙電磁力的時(shí)間諧波的傅里葉分解如圖4所示，從圖中可以得到不同混合偏心下的各種諧波頻率，其中存在接近于轉(zhuǎn)子固有頻率（見(jiàn)表 2）的諧波頻率。

圖4 傅里葉分解圖Fig.4 Fourier decomposition

圖5描繪了0.4s時(shí)不同混合偏心度下轉(zhuǎn)子固有頻率與同等條件下諧波頻率的對(duì)比，其中諧波頻率是由非線性磁拉力所產(chǎn)生，從圖中可以得出，作用于轉(zhuǎn)子上的激振力頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率比較接近，可能激起轉(zhuǎn)子共振。（注：圖中的點(diǎn)為該偏心量下接近固有頻率的激振頻率值。）

圖5 固頻和激頻的關(guān)系Fig.5 The frequency relation between nature and excitation

3.2 混合偏心時(shí)的副臨界特性

電機(jī)作為一個(gè)機(jī)電耦合系統(tǒng)，是一個(gè)磁與力的綜合體。當(dāng)轉(zhuǎn)子存在混合偏心時(shí)，其不僅影響了氣隙磁場(chǎng)、系統(tǒng)性能，還改變了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，影響轉(zhuǎn)子的副臨界特性。考慮到實(shí)際潛水電機(jī)應(yīng)用中采用的是滾動(dòng)軸承, 可以假設(shè)電機(jī)支承方式為剛性支承。

副臨界轉(zhuǎn)速的求解一般采用解析法和有限元法，其解析法表達(dá)式如下：

式中k——臨界轉(zhuǎn)速的階數(shù)；

l——轉(zhuǎn)軸在兩個(gè)支點(diǎn)間的長(zhǎng)度；

E0——基準(zhǔn)彈性模量；

Δi——位置函數(shù)；

Ii——各軸段截面慣性矩；

qi——各軸段質(zhì)量線密度；

fi——各軸段磁拉力線密度。

根據(jù)電機(jī)設(shè)計(jì)原理，考慮實(shí)際情況下的電機(jī)類(lèi)型、磁場(chǎng)分布等影響，其各軸段鉛垂方向磁拉力總和可表示為Fi=0 .3πDlefδe/δ/ 2μ0，為保持fi和qi單位的一致性，其各軸段磁拉力線密度總和可表示為

式中D——轉(zhuǎn)子外徑。

混合偏心氣隙長(zhǎng)度δe可以表示為

式中δs——靜偏心量；

δr——?jiǎng)悠牧浚?/p>

k——擬合系數(shù)（此處取0.32）。

將表達(dá)式（8）代入式（7），可以得出副臨界轉(zhuǎn)速具有時(shí)變特性（見(jiàn)圖6）。為減少仿真時(shí)間，節(jié)約資源，取電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域0.4～0.8s。

從圖6可以看出，副臨界轉(zhuǎn)速在穩(wěn)定區(qū)域0.4～0.8s間呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)。在不同的混合偏心度下，副臨界轉(zhuǎn)速變化的范圍也有所不同，而且靜態(tài)偏心的影響程度高于動(dòng)態(tài)偏心，動(dòng)態(tài)偏心受時(shí)間的影響度高于靜態(tài)偏心。

圖6 副臨界轉(zhuǎn)速與時(shí)間的關(guān)系Fig.6 The variation of sub-critical speed with time

圖6闡述了，當(dāng)轉(zhuǎn)子存在1%的靜偏心和1%的動(dòng)偏心時(shí)，轉(zhuǎn)子的副臨界轉(zhuǎn)速最接近的額定轉(zhuǎn)速，易發(fā)生副臨界共振現(xiàn)象，應(yīng)予以避免。

本文采用解析-有限元法，分析混合偏心度對(duì)副臨界轉(zhuǎn)速的影響。根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)，將不平衡磁拉力等效為作用于轉(zhuǎn)子上的電磁剛度，則其副臨界轉(zhuǎn)速可簡(jiǎn)化表示為

式中kf——電磁剛度；

k0——彎曲剛度（見(jiàn)圖7）；

m——轉(zhuǎn)子鐵心質(zhì)量；

k——等效后的轉(zhuǎn)子剛度，根據(jù)材料力學(xué)，等效轉(zhuǎn)子剛度可表示為

式中E——彈性模量；

J——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

l——鐵心段長(zhǎng)度；

a——仿真等效誤差系數(shù)，考慮到材料、長(zhǎng)度仿真等多種等效與誤差，本文中a=0.97（由圖7a解析得出）。

表2列出了不同轉(zhuǎn)子混合偏心度下固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速的數(shù)值，以0.4s時(shí)的數(shù)據(jù)為例，其他時(shí)刻變化趨勢(shì)一致。由該表格可以得出轉(zhuǎn)子固有頻率隨混合偏心度增加而降低，如圖7所示。

表2 固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比表Tab.2 The natural frequency and critical speed

圖7 三維仿真轉(zhuǎn)子模型Fig.7 3-D simulation model of rotors

圖7為轉(zhuǎn)子模型和轉(zhuǎn)子初始附加載荷值。不平衡磁拉力作用于圖中軸段z1～z2，所以可通過(guò)改變?cè)摱蔚牡刃мD(zhuǎn)子剛度以達(dá)到仿真的效果。

以0.4s、0.5s、0.6s時(shí)副臨界轉(zhuǎn)速隨偏心度的變化為例，分析副臨界轉(zhuǎn)速與偏心度的關(guān)系如圖8所示。由圖8和表格2可以得出，整體上副臨界轉(zhuǎn)速隨偏心度的增加而降低，但在混合偏心下，對(duì)比不同的靜偏心和動(dòng)偏心時(shí)（即被對(duì)比模型同時(shí)存在不同的靜偏心和動(dòng)偏心，例如本文中1%SE&2%DE與2%SE&1%DE，即圖中2和3位置處），由于仿真誤差，副臨界轉(zhuǎn)速幅值存在一定的波動(dòng)。由于解析計(jì)算（式（7）～式（9））中存在經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，使得理論計(jì)算值與仿真值之間存在一定的誤差（見(jiàn)圖8b）。

圖8 副臨界和偏心度的關(guān)系Fig.8 The variation of sub-critical speed with eccentricity

隨著時(shí)間的增加，轉(zhuǎn)子副臨界轉(zhuǎn)速的變化區(qū)域位于0.4s上下波動(dòng)，即轉(zhuǎn)子副臨界轉(zhuǎn)速隨時(shí)間呈不規(guī)則的周期性變化。圖8中的0～4分別代表偏心度為 0%SE&0%DE、1%SE&1%DE、1%SE&2%DE、2%SE&1%DE、2%SE&2%DE。

4 潛水深度對(duì)副臨界共振的影響

大型潛水電機(jī)一般工作于水深1 000m以下，受到水壓的影響，電機(jī)性能發(fā)生變化，這不僅降低副臨界轉(zhuǎn)速，還引發(fā)轉(zhuǎn)子振動(dòng)。本文采用有限元-解析法對(duì)其進(jìn)行分析。

考慮到大型潛水電機(jī)特殊的工作環(huán)境，加入潛水深度的影響，式（6）可表示為

式（9）可表示為

式中hi,kh——水壓密度和等效的水壓剛度。

由于水下壓強(qiáng)未直接作用于轉(zhuǎn)子上，本文采用等效的方法，利用Ansys軟件仿真壓強(qiáng)對(duì)定子撓度的影響（見(jiàn)圖8），得到氣隙偏心量的表達(dá)式為

式中δh——壓強(qiáng)引起的氣隙偏心量（見(jiàn)圖 9），以最大撓度值為主，k取0.32。

圖9 定子撓度位移云圖Fig.9 The displacement nephogram of stator deflection

圖 10為副臨界轉(zhuǎn)速隨潛水深度和時(shí)間變化圖,從圖中可以得出轉(zhuǎn)子副臨界轉(zhuǎn)速隨潛水深度的增加而降低。但隨時(shí)間呈不規(guī)則變化，因此在電機(jī)投入工程運(yùn)行前，需要模擬多段時(shí)間值，確保電機(jī)的安全運(yùn)行。圖中時(shí)間范圍是0.4～0.6s，潛水深度范圍為0～5 000m。

圖10 副臨界轉(zhuǎn)速和潛水深度的關(guān)系Fig.10 The variation of sub-critical speed with diving depth

5 結(jié)論

隨著潛水電機(jī)高功率、高轉(zhuǎn)速的發(fā)展，轉(zhuǎn)子振動(dòng)問(wèn)題的研究迫在眉睫。與高速電機(jī)相比，大型潛水電機(jī)轉(zhuǎn)速相對(duì)較低，因此為了更好的利用轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)，分析低轉(zhuǎn)速區(qū)轉(zhuǎn)子渦動(dòng)軌跡等問(wèn)題，本文引入副臨界轉(zhuǎn)速，在比較全面考慮大型潛水電機(jī)定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)建了混合偏心下的定轉(zhuǎn)子模型及三維力學(xué)分析轉(zhuǎn)子模型。

根據(jù)工程電磁場(chǎng)理論，采用有限元方法，分析并仿真了大型潛水電機(jī)混合偏心下定轉(zhuǎn)子氣隙間磁通密度分布和氣隙電磁力激振頻率。又通過(guò)電磁剛度，耦合磁力效應(yīng)，分析在不同的混合偏心系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)子的副臨界轉(zhuǎn)速變化，得到了副臨界轉(zhuǎn)速與偏心度的關(guān)系：隨偏心度的增加而降低。當(dāng)定轉(zhuǎn)子達(dá)到一定的偏心度，副臨界轉(zhuǎn)速將接近于電機(jī)的額定轉(zhuǎn)速，又考慮到激振頻率的存在，易引發(fā)轉(zhuǎn)子的副臨界共振，危及電機(jī)安全運(yùn)行。

考慮到大型潛水電機(jī)特殊的工作環(huán)境，計(jì)算并仿真了潛水深度對(duì)轉(zhuǎn)子副臨界轉(zhuǎn)速的影響，得到潛水深度和副臨界轉(zhuǎn)速的關(guān)系以及副臨界轉(zhuǎn)速與時(shí)間的關(guān)系。

本文的研究可為工程中提高電機(jī)可靠運(yùn)行等方面提供一定的參考，同時(shí)為轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的進(jìn)一步應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

致謝本文中的樣機(jī)及相關(guān)數(shù)據(jù)由合肥恒大江海泵業(yè)股份有限公司研究院提供，在其研究院工作人員的大力支持下完成，在此向他（她）們表示衷心的感謝。

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