基于GPC和DOB的直驅(qū)XY平臺(tái)魯棒跟蹤控制

趙希梅 趙久威 李洪誼

（1. 沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 沈陽 110870 2. 中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所 沈陽 110016）

1 引言

近些年來，高精度定位技術(shù)在數(shù)控加工領(lǐng)域得到了飛速發(fā)展，特別是以XY精密平臺(tái)為代表的平面定位系統(tǒng)，是數(shù)控加工設(shè)備的重要組成部分，廣泛應(yīng)用于工業(yè)制造業(yè)[1]。由于現(xiàn)代工業(yè)對(duì)位置定位系統(tǒng)的定位精度要求越來越高，其定位精度已從過去的毫米級(jí)提升到微米級(jí)。因此，隨著定位精度要求的提高，位置定位系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)也越來越困難[2]。

為了保證XY平臺(tái)的伺服性能，一方面，要保證系統(tǒng)有快速精確的跟蹤能力，另一方面，要對(duì)未知的擾動(dòng)信號(hào)有較強(qiáng)的魯棒性[3]。目前廣泛應(yīng)用的PID控制器很難滿足其需要，提出了許多現(xiàn)代控制算法，如魯棒控制，預(yù)測(cè)控制，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，滑模變結(jié)構(gòu)控制等[4]。

GPC是20世紀(jì)80年代提出的一種現(xiàn)代控制算法，與其預(yù)測(cè)控制相比，該算法基于參數(shù)模型，模型參數(shù)少[5]。GPC是在自適應(yīng)控制中發(fā)展起來的，它保留了自適應(yīng)控制的一些優(yōu)點(diǎn)。在具體實(shí)現(xiàn)上，采用多步預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正策略，系統(tǒng)具有很好的跟蹤性能，適合工業(yè)生產(chǎn)過程控制[6,7]。在具體實(shí)現(xiàn)上，廣義預(yù)測(cè)控制方法多應(yīng)用慣性大的機(jī)械運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)。本文采用GPC作為直驅(qū)XY平臺(tái)伺服系統(tǒng)的前饋控制器來提高系統(tǒng)的跟蹤能力，對(duì)于XY雙軸之間存在的系統(tǒng)參數(shù)不確定性以及各種非線性擾動(dòng)，采用DOB進(jìn)行抑制。DOB的設(shè)計(jì)思想是，將外部力矩干擾及模型參數(shù)變化造成的實(shí)際對(duì)象與參考模型輸出差異等效到控制的輸入端，即觀測(cè)出等效干擾。在控制中引入等效的干擾補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的抑制。

2XY平臺(tái)伺服系統(tǒng)輪廓誤差分析

直驅(qū)XY平臺(tái)是由兩臺(tái)進(jìn)給方向相互垂直的直線永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)組成，通過對(duì)兩臺(tái)電機(jī)的控制來完成平面位置定位，XY平臺(tái)輪廓誤差示意圖如圖1所示。

圖1XY平臺(tái)輪廓誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of theXY table contour error

圖1中的圓弧為系統(tǒng)的參考軌跡，P為被控系統(tǒng)的實(shí)際位置，Pref為其參考位置，由于系統(tǒng)在雙軸上都會(huì)有慣性延遲效應(yīng)，因此會(huì)產(chǎn)生跟蹤誤差，圖中P到Pref的距離e就定義為系統(tǒng)的跟蹤誤差，主要指動(dòng)態(tài)誤差，其中ex為其在X軸方向的分量，ey為其在Y軸的分量。

另外，擾動(dòng)與XY雙軸間的耦合，也是造成XY平臺(tái)位置誤差的主要因素，其體現(xiàn)為系統(tǒng)的輪廓誤差，也就是系統(tǒng)的位置誤差，如圖中PP'所示，為了便于計(jì)算，可以用P來等效為輪廓誤差，用字母ε表示，其中εx為其在X軸上的誤差分量，εy為其在Y軸的誤差分量。

因此，減小XY平臺(tái)位置誤差的方法有兩種，一種是通過減小跟蹤誤差來間接地減小輪廓誤差，另外一種是通過抑制擾動(dòng)和解耦直接減小輪廓誤差。本文所采用的GPC是通過提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度來減小跟蹤誤差，同時(shí)用 DOB抑制系統(tǒng)的外部擾動(dòng)等不確定性因素的影響。

3XY平臺(tái)伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基于GPC和DOB的XY平臺(tái)系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。GPC要在離散條件下設(shè)計(jì)，因此，需要將直線電機(jī)模型和擾動(dòng)觀測(cè)器進(jìn)行離散化處理，圖中yr(k)為參考輸入值，H、F、pT和Δ為GPC的參數(shù)，u(k)為 GPC的輸出。P(z-1)為被控對(duì)象的離散形式，Pn(z-1)為DOB中被控對(duì)象的參考模型，Q(z-1)為低通濾波器，ξ(k)為系統(tǒng)外部擾動(dòng)，y(k)為系統(tǒng)輸出。

圖2 基于GPC和DOB的XY平臺(tái)系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Block diagram ofXY table control system based on GPC and DOB

3.1 GPC設(shè)計(jì)

由于系統(tǒng)存在著輸出滯后的問題，為了提高系統(tǒng)跟蹤響應(yīng)速度，采用GPC來設(shè)計(jì)前饋控制器。由于GPC對(duì)模型要求低，同時(shí)克服了傳統(tǒng)自適應(yīng)中極點(diǎn)配置對(duì)階數(shù)不確定性敏感以及最小方差需要試湊控制量加權(quán)系數(shù)的缺點(diǎn)。其主要步驟包括：預(yù)測(cè)模型建立、滾動(dòng)優(yōu)化、反饋校正。

預(yù)測(cè)模型是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的基礎(chǔ)模型，在GPC中采用的是受控自回歸積分滑動(dòng)平均模型（CARIMA）。由于 CARIMA模型是離散的形式，因此，首先要將被控系統(tǒng)進(jìn)行離散化得

CARIMA模型可以表示為

式中，u(k)和y(k)表示被控對(duì)象的輸入和輸出；ξ(k)表示隨機(jī)變量；Δ表示差分算子，其值為Δ=1-z-1，并且有

于是根據(jù)單軸直線電機(jī)的傳遞函數(shù)有：A=1+a1z-1+a2z-2、B=b0+b1z-1，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，取C=1。

由于直線電機(jī)伺服系統(tǒng)輸入是可知的，所以為了使輸出y(k)平穩(wěn)到達(dá)設(shè)定值yr(k)，選擇一階濾波器

設(shè)計(jì)GPC的目的就是要使系統(tǒng)的輸出值y(k+j)更靠近yr(k+j)。

目標(biāo)函數(shù)的選擇如下：

式中n——最大預(yù)測(cè)長(zhǎng)度；

m——控制長(zhǎng)度；

λ(j)——加權(quán)系數(shù)。

在選擇這些參數(shù)時(shí)，既要保證系統(tǒng)有效，又要使其便于運(yùn)算，當(dāng)最大預(yù)測(cè)長(zhǎng)度、控制長(zhǎng)度和加權(quán)系數(shù)確定后，要使用丟番圖（dioaphantine）方程來預(yù)測(cè)超前j步的輸出為

式中

根據(jù)式（2）、式（5）和式（6）得

將其改寫成向量形式為

定義

則目標(biāo)函數(shù)可以重新表示為

將式（8）代入式（9）后，計(jì)算J的最小值，即?J?Δu=0 ，得

GPC的控制率可寫為

式中，pT為 (GTG+λI)-1GT的第一行。

在GPC中，雖然沒有直接給出反饋或閉環(huán)，但每一步，都要檢測(cè)實(shí)際輸出并與預(yù)測(cè)值比較，以便修正預(yù)測(cè)的不確定性。當(dāng)系統(tǒng)存在非線性、時(shí)變、擾動(dòng)時(shí)，這種反饋能及時(shí)修正預(yù)測(cè)值，這樣就降低了對(duì)基礎(chǔ)模型的要求。本文選擇n=m=2，設(shè)置加權(quán)系數(shù)λ(j)=0.001，則 GPC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖 3所示。

圖3 GPC控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 The structure diagram of GPC control system

3.2 DOB設(shè)計(jì)

XY平臺(tái)在運(yùn)行過程中，兩軸間會(huì)互相影響，同時(shí)系統(tǒng)也會(huì)受到其它未知擾動(dòng)，這里采用 DOB加以消除或削弱。DOB的基本思想是將外部干擾和參數(shù)變化等所產(chǎn)生的實(shí)際對(duì)象與參考模型的輸出之間的差異等效到輸入端，即觀測(cè)出等效干擾，在控制中加入等效干擾補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)對(duì)誤差的抑制[8,9]。DOB原理框圖如圖4所示。

圖4 DOB原理框圖Fig.4 The principle diagram of DOB

P(s)為被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，Pn(s)為其參考模型，d為等效干擾，為觀測(cè)出的干擾，y為控制器輸出，u為被控系統(tǒng)的輸入，Q(s)為一低通濾波器。從圖中可以看出，在通入低通濾波器之前的值為

然而在系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中還存在一些問題，被控系統(tǒng)的精確模型無法得到，參考模型不能與系統(tǒng)模型完全一致；測(cè)量噪聲也會(huì)影響 DOB的性能。由于存在這些問題，需要在 DOB中引入一個(gè)低通濾波器Q(s)是非常重要的，Q(s)的性能好壞直接決定著DOB的動(dòng)態(tài)性能。當(dāng)其階數(shù)越高、帶寬越寬時(shí)，DOB的響應(yīng)速度越快，抑制擾動(dòng)的能力越強(qiáng)，但是對(duì)擾動(dòng)的靈敏度會(huì)降低，因此，要保證Q(s)的階數(shù)要不小于Pn(s)的階數(shù)。由于被控對(duì)象為二階系統(tǒng)，因此Q(s)采用三階進(jìn)行設(shè)計(jì)。其表示如下：

帶寬要在魯棒性和抗擾動(dòng)能力之間尋求折中，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取τ=0.000 1。

4 系統(tǒng)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)采用的是北京慧摩森科技公司生產(chǎn)的LM22-26系列直驅(qū)XY平臺(tái)，控制系統(tǒng)采用兩套Elmo數(shù)字驅(qū)動(dòng)控制器、深圳固高公司的 GE-200-SG-PIC-G型兩軸高性能運(yùn)動(dòng)控制卡、MII1600光柵編碼器。XY平臺(tái)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Experimental structure diagram

為驗(yàn)證所提出方案的有效性，將所提出的方法同PID控制相比較，對(duì)XY平臺(tái)的雙軸分別輸入幅值為 1頻率為π的正弦和余弦信號(hào)，將預(yù)測(cè)魯棒控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，GPC中取λ=0.001，DOB中取τ=0.000 1，PID選擇Kp=200、KI=0.3。通過對(duì)X軸和Y軸進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)，得到基于PID控制的系統(tǒng)跟蹤誤差曲線如圖 6和圖 7所示，基于 GPC和DOB的系統(tǒng)跟蹤誤差曲線如圖8和圖9所示。從圖中可以看出，基于GPC和DOB控制的系統(tǒng)的位置誤差非常小，具有更好的控制效果，表明系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能和魯棒性能。

圖6 基于PID控制的X軸位置跟蹤誤差曲線Fig.6 Position tracking error curve ofX axis based on PID control

圖7 基于PID控制的Y軸位置跟蹤誤差曲線Fig.7 Position tracking error curve ofY axis based on PID control

圖8 基于GPC和DOB控制的X軸位置跟蹤誤差曲線Fig.8 Position tracking error curve ofX axis based on GPC and DOB control

圖9 基于GPC和DOB控制的Y軸位置跟蹤誤差曲線Fig.9 Position tracking error curve ofY axis based on GPC and DOB control

5 結(jié)論

針對(duì)直驅(qū)XY平臺(tái)伺服系統(tǒng)采用 GPC和 DOB相結(jié)合的控制方案，GPC通過模型建立，滾動(dòng)優(yōu)化，反饋校正，來提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，同時(shí)加入DOB提高系統(tǒng)魯棒性并將XY軸之間的耦合視為擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，通過GPC和DOB的結(jié)合，提高了XY平臺(tái)的位置定位精度。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法對(duì)提高控制系統(tǒng)的控制精度具有良好效果。

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