類牛頓擺球式碰撞裝置的創新性結構設計

謝玄， 劉波， 代恒， 鄭華生

（武漢科技大學機械自動化學院，武漢430081）

0 引言

本設計源于2015年第四屆湖北工程訓練綜合能力競賽“單擺球-滾道永動器”項目組，該競賽要求以單擺重力勢能轉換為動能驅動小球沿軌道運動，小球沿軌道滾到最高點回落再將單擺打到最高點，總尺寸（包括運動部分）長不大于200 mm（平行地平面）,寬不大于40 mm（平行地平面），高不大于180 mm（垂直地平面）。材料主要選擇鋁合金和鋼。除標準件外，所有零件應該自己設計制造，其中，擺桿直徑為5 mm的實心剛性桿件，擺錘和滾球必須為等質實心體，擺錘應能拆裝以便稱重，否則不予參加比賽。軸承可以設計為滾動、滑動、頂針、電磁和氣浮等形式，軌道可以設計為圓形、橢圓形、擺線形、直線與曲線組合形等多種形式。根據動量定理和能量守恒定理，質量相等的小球發生正碰（其中1個小球初始速度為零），其速度將會互換。基于此，單擺與軌道上的小球相碰后，單擺理應靜止，而小球將沿弧形軌道運動。當小球返回到軌道最低點，再與單擺正碰，小球靜止而單擺開始擺動，在單擺上升的過程中，其動能轉化為重力勢能，到達最高點后再下降，重力勢能又轉變為動能，并在最低點與小球再次碰撞，如此循環往復。理論上講，裝置可以無限循環往復運動，但事實上，由于摩擦及碰撞引起的機械能損失，真正的“永動機”是不存在的。盡管如此，本作品設計的目的是期望在限定單擺初始高度的條件下探究裝置往復運動的總時間以及碰撞次數。其研究的意義在于探尋制作一種碰撞實驗教具和能量轉換教具，探尋影響能量轉換過程中碰撞實驗能量損耗的主要因素，從而有助于對節能減排的探索。

1 軌道設計

1.1 滑槽的設計有以下三種方案

方案一：在圖1（a）中小球與軌道理想為兩點接觸，其受力情況為垂直于兩斜坡面指向球心，因為碰撞后小球的速度方向不是理想的切線方向，若與理想的切線方向有角度的偏移，可能會發生干涉。

方案二：圖1（b）中小球與軌道為理想的單點接觸，其受力情況垂直于底面向上，小球在運動的過程中與軌道始終保持單點接觸，實現理想的純滾動，這對于減少能量損失有幫助。

圖1（c）中小球與軌道的接觸理想為單點接觸，其摩擦力比圖1（a）和圖1（b）小一點，但是軌道截面形狀的參數不易求解，加工實施困難。

圖1 滑槽設計方案圖

因此綜合以上三種的方案的比較分析，方案二更有利于加工和減少能量的損失，從而滑槽選擇方案二更適宜。

1.2 球與滾道之間的摩擦力分析

當斜面下滑時（如圖2），重力勢能轉換形式：

圖2 球滾道示意圖

式中：h為斜面最高點的高；Vc為小球沿斜面下滑的速度；m為小球的質量；Jc為小球對球心的轉動慣量；ω為小球自轉的角速度；R為小球的半徑。其中：

球與滾道之間的摩擦可分為滑動摩擦和滾動摩擦，滑動摩擦因數一般較大，摩擦的能量損失也較大，球在軌道上滑動的整個過程中產生的損失也最大，而整個過程中滾動摩擦力只是把平動動能轉化為轉動動能，因為轉動動能在碰撞過程中大部分損失，所以為了減小碰撞的整個運動過程中能量的損失，必須盡可能地減小平動動能轉化為轉動能，較好的方法就是通過增加軌道和滾球的剛度，從而減小滾動摩擦因數μ以及正壓力f。由f=μmgcosθ可知，滾槽的水平傾角θ越大，正壓力越小。因此，θ越大，小球與滑槽之間的摩擦力越小。

1.3 軌道基本軌跡的確定

由于能量的損耗效率，V圓弧=W圓弧/T圓弧＞V直線=W直線/T直線。

綜上，對于該單擺球滾道“永動器”的軌道路徑設計為圓弧-直線的組合式軌道，如圖3（b）所示選用直線形軌跡，由于希望保持對心碰撞，軌跡底部加工出一段小水平直線，且該段直線的粗糙度較大，便于在小球碰撞擺錘時，小球將轉動能轉化為較大的摩擦力作用在擺錘上。考慮到命題要求以及工程上的因素，我們選用的軌道為圓弧-直線式組合軌道，其示意圖如圖4所示。直線軌道的周期:T2= R2/g

圖3 軌道基本軌跡示意圖

圖4 軌道示意圖

2 擺系統設計

2.1 擺錘與滾球的選取

擺錘到達最低點與位于軌道上的小球發生正碰，由動量守恒定律，得

由動能守恒定律得

將兩方程聯立解得：

由式（5）可知，當 m1=m2時，v1′=v2，=v2′=v1。

因此，當擺錘以速度v1的速度正碰靜止的小球時，理想狀態下，擺錘和小球可達到速度交換，從而實現永動碰撞的效果。

當 3m1=m2時，由式（5）可推論

由此類推，小球的質量是擺錘的3倍時，依然可以實現速度交換，理論上，兩種方案都能實現速度交換，從而實現不斷碰撞，但由于碰撞能量損失和小球在軌道上滾動時的摩擦，因此擺錘和小球的速度不斷地交換下去實際上是不可能的。

當選用方案二時，通過碰撞的速度交換規律得知，擺錘與滾球在實際中更容易在碰撞后一起擺動。為了盡可能地實現擺錘與小球多次碰撞，應選用方案一，即小球的質量與擺錘的質量相等。

其擺錘和小球的參數為：小球直徑為20 mm，擺錘直徑為20 mm，二者都為實心鋼球。

2.2 擺錘與擺桿的連接

命題要求擺桿直徑為5 mm的實心剛性桿件，由于擺桿自身的重量從而影響擺錘與滾球發生質心碰撞，因此為盡可能減小這種影響，擺桿的材料采用鋁合金。擺錘的直徑為20 mm，考慮到擺球為剛性實心小球，其強度較大，不易攻螺紋孔，因此采用激光打通孔，在擺桿端部打一個M2.5的螺紋孔，通過緊固螺紋件將擺錘和擺桿相連。其三維設計圖如圖5所示。

圖5 擺錘與擺桿連接示意圖

3 螺桿軸的強度校核

根據圓軸在扭轉和彎曲組合變形下的強度條件［4］：其中。代入計算得MPa，滿足強度條件。

4 總體設計與調試

對于該裝置，我們已經討論得出其各個方面的大致情況，下面進行結構尺寸設計與調試。我們在調試中發現兩個小球的碰撞過程分離開的時間極短，經過少量的幾次碰撞后兩個小球就會在一起擺動，這對于運動時間的延長極為不利，現進行如下分析：1）運動的小球在軌道上的速度衰減量極大，且最后近似于單擺的簡諧運動，在空氣阻力的影響下，經過若干次的振動后近似趨于靜止。2）調試階段我們選取了桿套與滑動摩擦的部分進行分析，觀察發現其影響不大。且分析發現滑動轉軸的精度如果設計不夠好，會極大地損耗能量。3）擺錘與擺球的質量影響也比較大，且在運動的過程中我們發現，當大球碰撞小球時其運動過程較小球碰撞大球更易粘在一起運動。4）小球在軌道上下滾速度太快，致使擺錘與小球在第一次碰撞后運動過程無規律性，且最終的結果不太理想，這與周期有關。5）擺錘與小球碰撞點影響極大，因此在設計過程中需要能夠滿足支架和桿套可以進行一定的微調。

單擺-球滾道“永動器”總體設計的示意圖如圖6所示。

圖6 單擺-球滾道“永動器”總體設計圖

5 軌道工藝分析

為了防止軌道過于笨重，以及便于加工，軌道材料選用鋁合金相對比較適宜。滑槽為矩形槽，其加工有兩種方案［5］：

方案一：用四軸聯動的數控機床銑。

方案二：將軌道分成兩部分進行加工，即直接平面數控銑中間的滑槽面，另一邊的擋板再用螺栓固定。

但是方案一加工難度大，成本高，且滑槽面的精度不夠高，而方案二采用普通的數控銑機床就可以加工，因此，從工程管理上考慮優先采用方案二加工。

6 結語

類牛頓擺球式碰撞裝置的設計過程涉及理論的推理與分析，特別是軌道設計中的方案選取和各部件的尺寸參數的取值對于“永動”時間的影響較大，當然，在規定的尺寸約束條件下，工程計算的結果只能作為一個可行的有效解，理論計算與現實情況差別的進一步縮小，仍需要后續的深入研究探討。

［1］ 廖耀發，孫向陽，李云寶，等.大學物理教程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2011.

［2］ 朱長軍，翟學軍，薛兵．動量及能量轉換和守恒的互動式教學［J］.物理與工程，2010（3）：58-60.

［3］ 濮良貴，紀名剛．機械設計［M］.8版.北京：高等教育出版社，2010．

［4］ 劉洪文.材料力學［M］.5版.北京：高等教育出版社，2011.

［5］ 王先逵．機械制造工藝學［M］．2版.北京：機械工業出版社，2006．