部分相干雙曲余弦高斯光束在湍流中的等效曲率半徑

湯明玥，陳曉文，王宇峰

(1． 川北醫(yī)學(xué)院基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院;2． 川北醫(yī)學(xué)院影像學(xué)院，四川 南充 637000)

激光束在湍流大氣中的傳輸特性是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外熱點(diǎn)話題之一，其與衛(wèi)星遙感、光學(xué)雷達(dá)、監(jiān)測(cè)、遠(yuǎn)距離光通訊等緊密相關(guān)［1］．湍流環(huán)境相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，因而要求科研工作者們?cè)诤?jiǎn)化的物理模型下進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，力求得到與實(shí)驗(yàn)更為相近的結(jié)果．近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外諸多科研人員利用多種湍流模型研究了各類(lèi)激光束在湍流中的傳輸特性，如:光束擴(kuò)展、相干性、方向性、光強(qiáng)分布等，并研究證實(shí)了部分相干光較完全相干光受湍流的影響更小［2-7］．然而，迄今為止，對(duì)于湍流對(duì)激光束等效曲率半徑的影響方面的研究并不多見(jiàn)，文獻(xiàn)［8 -9］研究了部分相干平頂光束、厄米-高斯光束通過(guò)湍流傳輸?shù)牡刃拾霃剑?/p>

另一方面，厄米正弦類(lèi)高斯光束它代表了一大類(lèi)光束，如正(余)弦高斯光束和雙曲正(余)弦高斯光束［10］．這些光束攜帶有限能量，可由特殊的切趾光闌或光腔產(chǎn)生．因而，對(duì)于部分相干雙曲余弦高斯光束的研究是有一定實(shí)際意義的．

本文采用更為貼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果的非-Kolmogorov 湍流模型，并選用部分相干雙曲余弦高斯(ChG)光束作為激光模型，理論分析了湍流參量和光束參數(shù)對(duì)等效曲率半徑的影響，得到了一些有意義的結(jié)果．

1 理論模型

設(shè)部分相干雙曲余弦高斯(ChG)光束在源場(chǎng)(z=0)處的交叉譜密度函數(shù)表示為［10］

其中，w0和σ0分別為z=0 處光束的束腰和相干長(zhǎng)度，Ω0為與雙曲余弦有關(guān)的光束參數(shù)［10］．

根據(jù)廣義惠更斯-菲涅爾原理，光束通過(guò)自由空間傳輸?shù)钠骄鈴?qiáng)表示為［11］:

其中，k 是波數(shù)(k=2π/λ)，λ 為波長(zhǎng)．

光束沿x 方向的空間二階矩的定義為［11］:

將(2)式代入(3)式，并引入新的變量．經(jīng)過(guò)復(fù)雜的積分運(yùn)算可得部分相干ChG 光束在自由空間中傳輸時(shí)沿x 方向的空間二階矩為:

上式中

其中，β=σ0/w0為光束相干參數(shù)，δ=Ω0w0為光束離心參數(shù)．

若光束在湍流中傳輸，則二階矩〈x2〉與〈xθx〉可寫(xiě)為［12］

其中T 為表征湍流的參量，表達(dá)式為［13］

由于利用非-Kolmogorov 湍流模型的理論研究結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更為接近，本文采用非-Kolmogorov 統(tǒng)計(jì)，Φn(κ，α)可表示為［13］

上式中，κm=c(α)/l0，κ0=2π/L0，l0和L0分別為湍流的內(nèi)尺度及外尺度，為廣義折射率結(jié)構(gòu)函數(shù)(單位為m3-α)，α 為湍流廣義指數(shù)．若即簡(jiǎn)化為常規(guī)Kolmogorov 功率譜．

等效曲率半徑可用二階矩定義為［14］

因而，部分相干ChG 光束在湍流中傳輸?shù)牡刃拾霃浇馕霰磉_(dá)式為

上式表明，部分相干ChG 光束通過(guò)湍流傳輸?shù)牡刃拾霃絉x(z)與光束參數(shù)(w0、β、δ、λ)及湍流參數(shù)相關(guān)．

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

對(duì)部分相干ChG 光束通過(guò)湍流傳輸?shù)牡刃拾霃絉x(z)及相對(duì)等效曲率半徑Rx/Rxfree隨各參量的變化情況進(jìn)行了數(shù)值分析，依據(jù)實(shí)際激光束在湍流中傳輸時(shí)各參數(shù)取值范圍，令計(jì)算參數(shù)λ=1．06 ×10-6m、w0=0．05m、β=0．1、δ=2、z=10km、L0=20m、l0=0．01m．

圖1 為等效曲率半徑Rx(z)隨折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)的變化，其中令α=11/3．圖1 說(shuō)明等效曲率半徑Rx(z)隨湍流的增強(qiáng)而逐漸減少，即湍流使得光束的等效曲率半徑減小．圖2 為Rx(z)隨湍流廣義指數(shù)α 的變化情況，Rx(z)隨α 的增大而先減小后增大，且在α =3．11 時(shí)存在Rx(z)的極小值．這是因?yàn)镽x(z)與湍流的大小相關(guān)，而湍流對(duì)廣義指數(shù)α 的非線性變化必然直接影響其Rx(z)隨α 的變化趨勢(shì)．

已有文獻(xiàn)［8-9］對(duì)等效曲率半徑隨光束參數(shù)的變化展開(kāi)了研究，但離心參數(shù)對(duì)等效曲率半徑的影響尚未涉及．圖3 給出了自由空間及湍流中部分相干ChG 光束等效曲率半徑Rx(z)隨離心參數(shù)δ 的變化情況(其中，，實(shí)線表示自由空間，虛線表示湍流空間．可以看出不論在自由空間或湍流中，Rx(z)都隨δ 的增加而增加，但湍流使得其變化更加緩慢．為更直觀呈現(xiàn)湍流對(duì)等效曲率半徑的影響，引入相對(duì)等效曲率半徑Rx(z)/Rxfree隨δ 作圖，見(jiàn)圖4．圖4 表明Rx(z)/Rxfree隨δ 的增加而減小(湍流使得等效曲率半徑變小)，這說(shuō)明δ 越大，湍流對(duì)Rx(z)的影響越大，但不同δ 值的光束Rx(z)受湍流影響的差別不大．

圖1 Rx(z)隨 的變化Fig．1 Rx(z) versus

圖2 Rx(z)隨α 的變化Fig．1 Rx(z) versus α

圖3 Rx(z)隨δ 的變化Fig．1 Rx(z) versus δ

圖4 Rx(z)/Rxfree 隨δ 的變化Fig．1 Rx(z)/Rxfree versus δ

3 結(jié) 論

基于非-Kolmogorov 湍流模型，給出了部分相干ChG 光束在非-Kolmogorov 湍流中的等效曲率半徑解析表達(dá)式，并研究了湍流參量與光束參數(shù)對(duì)等效曲率半徑的影響．研究指出:部分相干ChG 光束在湍流中的等效曲率半徑Rx(z)隨湍流的增強(qiáng)而逐漸減小;隨湍流廣義指數(shù)α 的增大而先減小后增大，且在α=3．11 時(shí)存在Rx(z)的極小值．

部分相干ChG 光束傳輸于自由空間或湍流中，等效曲率半徑Rx(z)都隨離心參數(shù)δ 的增加而增加，但湍流使得其變化更加緩慢．此外，引入相對(duì)等效曲率半徑Rx/Rxfree研究發(fā)現(xiàn)，δ 越大，湍流對(duì)Rx(z)的影響越大，但不同δ 值的Rx(z)受湍流影響的差別不大．

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