隨機利率和分數跳-擴散過程下的冪期權定價

鄧小華，馮世強

(1．四川廣播電視大學，四川 成都 610073 ;2．西華師范大學數學與信息學院，四川 南充 637009)

1 引 言

隨著數理金融的蓬勃發展，期權定價問題逐漸成為計量經濟學和金融數學研究的熱點．已經從經典的B-S 模型，發展到歐式期權、亞式期權、實物期權的研究．一方面，偏差因素的隨機性越來越高，無限地貼近交易市場的實際情形，如標的資產的價格、預期收益率、波動率和利率從常數轉變為時間t 的隨機函數．另一方面，誕生了越來越多的新型期權．冪期權就是其中一種典型的新型期權．冪期權根據到期日的執行條件不同分為兩類，每一類都有看漲和看跌兩種情形．它與標準期權的主要區別在于:持有人在期權到期日不僅可以得到一個標準的價值損益，還能將這個價值損益提高到它的n 次冪． 如:在到期日，看漲冪期權的價值為-K(其中，K 是執行價格，ST是到期日標的資產的價格，n∈N*)．由此，兩類冪期權在到期日的價格可以表示為如下形式［1］:

1)第一類冪期權:

2)第二類冪期權:

冪期權的研究受到國內外學者們的廣泛關注．Blenman，Clark［2］考慮了B1ack-schok 模型下冪式交換期權的價值;趙?。?］提出用測度變換方法解決隨機冪式期權的定價模型;蘇小囡等［4］假設標的資產價格服從跳-擴散過程，市場利率滿足Vasicek 模型，當隨機利率與資產價格相關時，通過測度變換的方法，選取不同的概率測度，給出冪式期權的價格公式并得到幾種特殊情況時的結論;李超［5］假定股票價格服從分數O-U過程，利率服從分數Vasicek 利率模型，利用風險中性定價公式及隨機分析理論等，給出兩類歐式冪型看漲、看跌期權的定價公式;筆者［6］也曾在隨機利率環境下，研究了標的資產價格服從分數O-U 過程的冪期權定價問題，得到相應的定價公式．上述模型中，標的資產的價格大都基于Brown 運動．但在現實市場中，突發事件是不可避免的，如:自然災害，政府政策變化等．它們會對金融市場產生巨大影響，導致股價、匯率等出現大幅度的跳躍．Merton 于1976年首次引入跳-擴散模型［7］，在幾何Brown 運動上加入刻畫市場突發事件引起標的資產價格波動的復合Poisson 過程．實證研究表明，跳-擴散模型更切合實際．同時，標的資產的對數收益率服從一種“尖峰厚尾”的分布，存在長期相關的分形特征．

本文假設期望收益率和波動率均為關于時間t 的非隨機函數，在擴展的Vasicek 利率模型和分數跳-擴散模型下，導出了兩類冪期權的看漲(看跌)定價公式．

2 模型介紹

2．1 分數Brown 運動下的積分定義

分數Brown 運動具有長期依耐性、自相似性等特征，是一個連續的Gauss 過程{BH(t)，t∈R}，BH(0)=0，E(BH(t))=0，CH(t，s)=(|t|2H+ |s|2H- |t-s|2H)/2 ．其中，0 ＜H ＜1，H 稱為Hurst 指數．當H =0．5 時，BH(t)即為幾何Brown 運動B(t);當H≠0．5，{BH(t)，t∈R}既不是馬氏過程，也不是半鞅，因此不能用通常的隨機積分理論來分析．文獻［8］用Wick 積和分數噪聲理論定義了H ＞0．5 時的一種隨機積分:

其中，◇為Wick 積．

2．2 Vasicek 利率模型

在分數風險中性測度Q 下，假設利率r(t)滿足如下的隨機微分方程:

其中:a(t)描述利率的長期水平，b(t)是調整短期和長期關系的均值回復率;BQ(t)為風險測度Q 下的幾何Brown 運動，記其與分數Brown 運動的相關系數為ρ，σr(t)是波動率．這就是擴展的Vasicek 模型［6］．

2．3 分數跳-擴散模型

若把跳-擴散模型中的幾何Brown 運動B(t)擴展為分數Brown 運動BH(t)，就得到分數跳-擴散模型．即標的資產價格過程{S(t):t≥0}滿足隨機微分方程:

其中，{BH(T)，0≤t≤T}為概率空間(Ω，F，P)上的分數Brown 運動，r(t)是t 時刻的短期利率，它等于期望收益率，σ(t)是t 時刻的波動率;Qt為標的資產價格在時間段［0，t］內發生隨機跳躍的次數，它是服從參數為λ 的Poisson 過程，J(t)表示跳躍的相對高度，θ=E［J(t)］且ln(1 +J(t))～N(ln(1 +θ)-δ2/2，δ2)，

由式(2)兩邊同除以S(t)，有

由分數Brown 運動下的積分定義(1)，得到(詳見文獻［8］):

2．4 引理［6］:

3 期權定價公式及其證明

3．1 第一類冪期權的定價

定理1:假設利率滿足擴展的Vasicek 模型(2)，標的資產價格滿足分數跳-擴散模型(3)，且在［0，t］內發生n 次跳躍，若執行價格為K，到期日為T，則第一類看漲冪期權在到期前任意時刻t 的價格為:

N(·)表示標準正態分布的累積概率．

證明:根據無套利定價理論，第一類看漲冪期權在時刻t 的價格

記EQ［·］為分數風險中性測度Q 下的擬條件數學期望算子，，則有

式(7)中第一項的計算:由式(4)和引理，有

同理，可以計算式(7)中的第二項，如下:

將以上兩式的結果帶入式(7)，從而得到式(6)的結果．證明完成．

由看漲-看跌平價關系，很容易得到第一類看跌冪期權在到期前任意時刻t 的定價公式．

定理2:假設利率滿足擴展的Vasicek 模型(2)，標的資產價格滿足分數跳-擴散模型(3)，且在［0，t］內發生n 次跳躍，若執行價格為K，到期日為T，則第一類看跌冪期權在到期前任意時刻t 的價格為:

其中:N(·)表示標準正態分布的累積概率，

注:1)當J(t)=0，H=0．5 時，定理1 和定理2 就是隨機利率下第一類看漲(跌)冪期權的定價公式．2)當σr(t)=0，H=0．5 時，定理1 和定理2 就是跳擴散模型下第一類看漲(跌)冪期權的定價公式．3)當J(t)=0 時，定理1 和定理2 的定價公式與文獻［5］中隨機利率和分數布朗運動下冪期權的定價公式對應等價．

3．2 第二類冪期權的定價

定理3:假設利率滿足擴展的Vasicek 模型(2)，標的資產價格滿足分數跳-擴散模型(3)，且在［0，t］內發生n 次跳躍，若執行價格為K，到期日為T，則第二類看漲冪期權在到期前任意時刻t 的價格為:

證明:根據無套利定價理論，有

由引理，將式(4)代入，得到

將式(13)和式(14)代入式(12)，得到定理3 的結論．證明完成．

由看漲-看跌平價關系，很容易得到第二類看跌冪期權在到期前任意時刻t 的定價公式．

定理4:假設利率滿足擴展的Vasicek 模型(2)，標的資產價格滿足分數跳-擴散模型(3)，且在［0，t］內發生n 次跳躍，若執行價格為K，到期日為T，則第二類看跌冪期權在到期前任意時刻t 的價格為:

注:1)當J(t)=0，H=0．5 時，定理3 和定理4 就是隨機利率下第二類看漲(跌)冪期權的定價公式．2)當σr(t)=0，H=0．5 時，定理3 和定理4 就是跳擴散模型下第二類看漲(跌)冪期權的定價公式．3)當J(t)=0 時，定理3 和定理4 的定價公式與文獻［5］中隨機利率和分數布朗運動下冪期權的定價公式是對應等價的．

4 結 論

本文考慮利率的隨機性和標的資產價格的跳躍性，在隨機利率和分數跳-擴散過程下研究了兩類冪期權的無套利定價．運用無套利定價原理和隨機微分理論，導出并證明了兩類看漲(跌)冪期權的定價公式，使文獻［5］的結果得到了相應的擴展．

［1］ 趙佃立．分數布朗運動環境下歐式冪期權的定價［J］．經濟數學，2007，24(1):22 -26．

［2］ BLENMAN L P，CLARK S P． Power exchange options［J］．Finance Research Letters，2005 (2):97 -106．

［3］ 趙 巍，何建敏．基于測度變換方法的隨機型創新冪式期權定價［J］．中國管理科學，2009 ，17 (2):21 - 23．

［4］ 蘇小囡，王文勝．冪式期權在跳擴散模型下的定價［J］．華東師范大學學報，2011，5(3):12 -20．

［5］ 李 超．分數維Vasicek 模型下歐式冪型期權的定價公式［J］．中國科技信息，2014，2:167 -170．

［6］ 鄧小華，何傳江，方 知．隨機利率下服從分數O-U 過程的冪期權定價［J］．經濟數學，2009，26(1):64 -71．

［7］ MERTON R C． Option pricing when underlying stock return are discontinuous［J］．Journal of Economics，1976(3):125 -144．

［8］ HU Y，ФKSENDAL B． Fractional white noise calculus and applications to finance［J］． Infinite Dimensional Analysis，Quantum Probability and Related Topics，2003，6:1 -32．