匹配濾波器失配下的雙基地多輸入多輸出雷達(dá)多目標(biāo)角度估計(jì)

黃中瑞，張劍云，周青松，牛朝陽(yáng)

（電子工程學(xué)院，安徽合肥230037）

匹配濾波器失配下的雙基地多輸入多輸出雷達(dá)多目標(biāo)角度估計(jì)

黃中瑞，張劍云，周青松，牛朝陽(yáng)

（電子工程學(xué)院，安徽合肥230037）

提出了基于匹配濾波器失配的雙基地多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)多目標(biāo)角度估計(jì)算法。建立了存在時(shí)延、多普勒頻率補(bǔ)償誤差情形下的雙基地MIMO雷達(dá)模型。采用交替迭代的思想，將發(fā)射角、時(shí)延補(bǔ)償誤差和多普勒頻率補(bǔ)償誤差的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題并求解出發(fā)射角。用ESPRIT算法估計(jì)目標(biāo)的接收角，并且實(shí)現(xiàn)了收發(fā)角度的自動(dòng)配對(duì)。仿真實(shí)驗(yàn)證明了ESPRIT算法的有效性。此外在附錄中推導(dǎo)了本文信號(hào)模型下的克拉美羅界。

雷達(dá)工程；雙基地多輸入多輸出雷達(dá)；匹配濾波器失配；二次規(guī)劃；克拉美羅界；ESPRIT算法

0 引言

近年來(lái)，多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)作為一種新體制雷達(dá)受到人們的廣泛關(guān)注［1-6］。然而多數(shù)文獻(xiàn)都是基于理想（如點(diǎn)目標(biāo)、噪聲背景為復(fù)高斯白噪聲，無(wú)陣列誤差等）情況下的雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)問(wèn)題。在實(shí)際情況下，目標(biāo)可能為相干目標(biāo)或分布式目標(biāo)，噪聲背景多為復(fù)雜噪聲背景，陣列之間存在互耦、陣列位置誤差和幅相誤差等，如還用傳統(tǒng)的方法，其估計(jì)性能將急劇下降。

對(duì)于陣列存在互耦效應(yīng)的情形，文獻(xiàn)［7］利用Kronecker積的性質(zhì)，把發(fā)射、接收端的互耦系數(shù)與發(fā)射、接收端的導(dǎo)向矢量分離，采用MUSIC-Like算法估計(jì)出目標(biāo)的發(fā)射角（DOD）、接收角（DOA）和互耦系數(shù)，當(dāng)互耦自由度較大時(shí)，文獻(xiàn)［7］算法的角度估計(jì)性能較差，存在相位模糊［8］。針對(duì)文獻(xiàn)［7］的不足，文獻(xiàn)［9］根據(jù)互耦矩陣的對(duì)稱Toeplitz結(jié)構(gòu)，分別提取出發(fā)射和接收旋轉(zhuǎn)不變因子，在得到收發(fā)角度的基礎(chǔ)上，通過(guò)求解線性約束二次優(yōu)化問(wèn)題獲得互耦參數(shù)的估計(jì)值，該方法雖然不存在相位模糊，但是有效陣列孔徑隨著互耦自由度的增加而下降，導(dǎo)致估計(jì)性能下降。針對(duì)陣列通道之間的不一致性問(wèn)題，文獻(xiàn)［10］利用三迭代最小二乘算法聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)的DOD、DOA和收發(fā)陣列的幅相誤差系數(shù)。由于優(yōu)化問(wèn)題是高度非線性優(yōu)化，該算法并沒(méi)有對(duì)其收斂性進(jìn)行證明，而且在低信噪比（SNR）時(shí)，噪聲對(duì)擬合數(shù)據(jù)的影響較大。同時(shí)三迭代算法僅估計(jì)出含有誤差的收發(fā)陣列流型，其每一列方向矢量存在周期為2π的相位模糊，需要對(duì)其進(jìn)行解纏繞處理。針對(duì)文獻(xiàn)［10］計(jì)算復(fù)雜度高和相位模糊等問(wèn)題，文獻(xiàn)［11］提出了ESPRIT-Like算法，基于輔助陣元法（ISM）分別提取出發(fā)射端與接收端的旋轉(zhuǎn)不變因子，最后將求解DOD、DOA和幅相誤差系數(shù)求解轉(zhuǎn)化為線性約束二次優(yōu)化問(wèn)題。該算法只要兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)校正的輔助陣元即可實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)角度估計(jì)，但是ESPRIT-Like算法在低SNR時(shí)估計(jì)性能較差。為了進(jìn)一步提高估計(jì)精度，文獻(xiàn)［12］提出了降維MUSIC算法，將二維估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為兩個(gè)一維估計(jì)問(wèn)題，利用MUSIC-Like算法估計(jì)目標(biāo)的DOD與DOA，并實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的自動(dòng)配對(duì)。

然而，上述文獻(xiàn)均沒(méi)考慮匹配濾波器失配情況下的雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)問(wèn)題。在實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)中要想實(shí)現(xiàn)接收信號(hào)的理想匹配濾波，必須對(duì)匹配濾波器組中的時(shí)延補(bǔ)償和多普勒頻率補(bǔ)償值進(jìn)行預(yù)先設(shè)定，然而在實(shí)際情形中，這兩個(gè)值是未知的，要準(zhǔn)確地估計(jì)出目標(biāo)的時(shí)延和多普勒頻率是十分困難的。因而研究匹配濾波器失配下的多目標(biāo)角度估計(jì)是一個(gè)具有重要意義的研究課題。

但是目前國(guó)內(nèi)外有關(guān)這方面的研究文獻(xiàn)比較少。文獻(xiàn)［13］推導(dǎo)了該問(wèn)題下的信號(hào)模型，通過(guò)觀察其信號(hào)模型可知，由于時(shí)延補(bǔ)償誤差和多普勒頻率補(bǔ)償誤差的影響，雙基地MIMO雷達(dá)的導(dǎo)向矢量發(fā)生扭曲，如還采用經(jīng)典的子空間類算法進(jìn)行角度估計(jì)，將會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)誤差。主要原因是經(jīng)典的子空間類MUSIC和ESPRIT算法是利用接收陣列接收信號(hào)的時(shí)延差，即接收陣列之間的相位差進(jìn)行角度估計(jì)。當(dāng)存在時(shí)延補(bǔ)償誤差和多普勒頻率補(bǔ)償誤差時(shí)，其接收數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生誤差相位，且與目標(biāo)角度的相位信息耦合在一起。如不做校正處理，在估計(jì)目標(biāo)角度會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)誤差。在仿真實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證了這一觀點(diǎn)。但是文獻(xiàn)［13］并沒(méi)有提出相應(yīng)的校正算法。本文基于文獻(xiàn)［13］出發(fā)，簡(jiǎn)化了其信號(hào)模型。在估計(jì)DOD時(shí)，采用交替迭代的思想，將估計(jì)目標(biāo)的DOD、時(shí)延補(bǔ)償誤差和多普勒頻率補(bǔ)償誤差轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次規(guī)劃（QP）問(wèn)題，最終估計(jì)出目標(biāo)的DOD，而且在仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)僅通過(guò)3～5次迭代即可實(shí)現(xiàn)收斂；在估計(jì)DOA時(shí)，利用經(jīng)典的ESPRIT算法即可實(shí)現(xiàn)高精度估計(jì)；并且本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)收發(fā)角度的自動(dòng)配對(duì)。仿真實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了所提算法的有效性，并得出了相應(yīng)的結(jié)論。

1 信號(hào)模型

為了便于表述，本文先考慮單目標(biāo)的信號(hào)模型，繼而再考慮多目標(biāo)的信號(hào)模型。如圖1所示，雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的收發(fā)陣列均是均勻線陣（ULA）配置，發(fā)射、接收陣列分別由M、N個(gè)陣元組成，且發(fā)射、接收陣元之間的間距分別為dt、dr，并假設(shè)dt=dr=λ/2，λ為波長(zhǎng)。發(fā)射、接收陣列之間的基線距離為D，且D?λ.在空域中存在某個(gè)獨(dú)立目標(biāo)，其DOD、DOA分別記為θ與φ，其中：；目標(biāo)的時(shí)延和多普勒頻率分別記為τ與fd.假設(shè)發(fā)射陣列同時(shí)發(fā)射M個(gè)窄帶正交波形，當(dāng)?shù)趖時(shí)刻的發(fā)射信號(hào)經(jīng)目標(biāo)散射，到達(dá)接收陣列時(shí)，接收端的接收信號(hào)矢量可表示為

式中：β為目標(biāo)的散射系數(shù)；a（θ）=［1，ejπsinθ，…，ejπ（M-1）sinθ］T∈CM×1為發(fā)射端導(dǎo)向矢量；b（φ）=［1，ejπsinφ，…，ejπ（N-1）sinφ］T∈CN×1為接收端導(dǎo)向矢量；（·）T為矢量的轉(zhuǎn)置運(yùn)算；為表述方便，記a（θ）=a，b（φ）=b；s（t-τ）=［s1（t-τ），s2（tτ），…，sM（t-τ）］T∈CM×1為發(fā)射的正交信號(hào)構(gòu)成的矢量；v（t）為噪聲矢量，假設(shè)其服從零均值、方差為σ2的復(fù)高斯白噪聲隨機(jī)過(guò)程，即v～Nc（0，σ2IN）.接收信號(hào)矢量通過(guò)一組匹配濾波器，其時(shí)延和多普勒頻率補(bǔ)償設(shè)為τ0與fd0，那么通過(guò)匹配濾波器后的信號(hào)矢量可表示為

圖1 雙基地MIMO雷達(dá)示意圖Fig.1 Schematic diagram of bistatic MIMO Radar

式中：e-j2π（fd0-fd）τ與散射系數(shù)β相乘可以看成新的散射系數(shù)，因此

式中：Δτ=τ0-τ為時(shí)延補(bǔ)償誤差；Δfd=fd0-fd為多普勒頻率補(bǔ)償誤差。再對(duì)接收信號(hào)矢量Y進(jìn)行矢量化操作可得

式中：vec（·）為矢量化運(yùn)算；?為Kronecker積；

對(duì)于經(jīng)過(guò)匹配濾波器后的噪聲矢量，其仍然服從復(fù)高斯白噪聲隨機(jī)過(guò)程，這是因?yàn)?/p>

又因?yàn)関～Nc（0，σ2IN），信號(hào)矢量s為正交信號(hào)，即

因此Rw=σ2INM.其中（5）式就是單目標(biāo)的信號(hào)模型。

接下來(lái)考慮多目標(biāo)的信號(hào)模型。假設(shè)在空域中存在P個(gè)獨(dú)立目標(biāo)，第p（p=1，2，…，P）個(gè)目標(biāo)的DOD、DOA分別記為θp與φp，其中，；第p個(gè)目標(biāo)的散射系數(shù)記為βp，第p個(gè)目標(biāo)的時(shí)延和多普勒頻率分別記為τp與fdp.那么，根據(jù)（5）式可得其信號(hào)模型為

為了研究的方便，本文僅考慮多個(gè)目標(biāo)相對(duì)收發(fā)陣列的時(shí)延和多普勒均相同的情形，因此可重寫（9）式：

式中：A=［a1，a2，…，aP］∈CM×P為發(fā)射端方向矢量；B=［b1，b2，…，bP］∈CN×P為接收端方向矢量；β=［β1，β2，…，βP］T∈CP×1為散射系數(shù)構(gòu)成的矢量；⊙表示Khatri-Rao積。（10）式即為本文的信號(hào)模型。

2 算法描述

2.1 矩陣C（Δτ，Δfd）的討論

觀察（4）式可發(fā)現(xiàn)，C（Δτ，Δfd）與發(fā)射的正交信號(hào)s、時(shí)延補(bǔ)償誤差Δτ、多普勒頻率補(bǔ)償誤差Δfd有關(guān)。本文正交信號(hào)選用文獻(xiàn)［14］中的頻率擴(kuò)展信號(hào)（FS），其表達(dá)式為

根據(jù)文獻(xiàn)［14］可知，只要滿足Δf?T-1即可認(rèn)為信號(hào)是正交的。因此，發(fā)射信號(hào)為FS時(shí)，矩陣C（Δτ，Δfd）為對(duì)角矩陣，即C（Δτ，Δfd）=diag（c），c=［c1，c2，…，cM］T∈CM×1，diag（·）為對(duì)角化運(yùn)算。

2.2 DOD的估計(jì)

考慮發(fā)射Q個(gè)脈沖，那么可得數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

2.4 DOD與DOA的參數(shù)配對(duì)

由（20）式和（25）式可分別估計(jì)出目標(biāo)的DOD和DOA，但是由于估計(jì)DOD和DOA時(shí)需要兩次獨(dú)立的特征值分解，特征向量的排序可能不同，那么特征值就不能一一對(duì)應(yīng)，即無(wú)法保證收發(fā)角度配對(duì)到同一目標(biāo)上。對(duì)此本文采用如下方法實(shí)現(xiàn)DOD和DOA自動(dòng)配對(duì)。對(duì)進(jìn)行特征值分解，記為

對(duì)比（16）式和（26）式不難發(fā)現(xiàn)，Q和T-1都是由Ψt的特征向量構(gòu)成，只是位置順序可能不一樣，因此存在一個(gè)有限次列交換矩陣H，使得

將（27）式代入（26）式，并與（16）式對(duì)比發(fā)現(xiàn)：

進(jìn)一步構(gòu)造矩陣

并將（24）式和（27）式代入（29）式得

2.5 算法流程

1）根據(jù)（12）式計(jì)算協(xié)方差矩陣R并對(duì)其特征值分解得到信號(hào)子空間Es.再根據(jù)性質(zhì)得到置換矩陣，由此得到信號(hào)子空間最后分別從Es和中抽取相應(yīng)的行得到Est1、Est2、Esr1和Esr2.

3）根據(jù)（24）式、（29）式和矩陣Q即可得到目標(biāo)的DOA.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1：算法有效性驗(yàn)證。仿真條件：在復(fù)高斯白噪聲背景下，發(fā)射陣元數(shù)M=3，接收陣元數(shù)N= 3；發(fā)射信號(hào)為FS，T=600 μs，Δf=10/T；空域中存在3個(gè)相互獨(dú)立的目標(biāo)，其收發(fā)角分別為（-10°，40°）、（20°，0°）和（0°，-30°）；對(duì)應(yīng)的散射系數(shù)（β1，β2，β3）服從復(fù)高斯正態(tài)分布，脈沖數(shù)Q=100；匹配濾波器的時(shí)延補(bǔ)償誤差Δτ=0.2 μs，多普勒頻率補(bǔ)償誤差Δfd=1 kHz；，ξ=10-3.實(shí)驗(yàn)時(shí)Monte Carlo仿真次數(shù)為500次，SNR=10 dB.

圖2為算法的星座圖。由圖2可知，本文算法能實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)的DOD、DOA的估計(jì)，并且參數(shù)之間能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)配對(duì)。通過(guò)仿真得知，在估計(jì)目標(biāo)的DOD時(shí)，一般迭代3～5次即可實(shí)現(xiàn)收斂。

圖2 算法的星座圖Fig.2 Algorithm constellation

圖3、圖4為本文算法下目標(biāo)的DOD和DOA的RMSE、克拉美羅界（CRB）隨SNR的變化曲線。在附錄中，已詳細(xì)推導(dǎo)了本文信號(hào)模型下參數(shù)估計(jì)CRB的表示式。由圖3、圖4可知，本文算法隨著SNR的增加，RMSE下降，即估計(jì)精度提高。

圖3 目標(biāo)1的RMSE和CRB曲線Fig.3 RESE and CRB curves of Target 1

實(shí)驗(yàn)3：算法穩(wěn)健性分析1.為了探究時(shí)延補(bǔ)償誤差Δτ對(duì)角度估計(jì)的影響，而且由于時(shí)延補(bǔ)償誤差Δτ只對(duì)目標(biāo)的DOD存在影響，因此本實(shí)驗(yàn)研究不同Δτ下目標(biāo)DOD的RMSE隨Δτ的變化。仿真條件除了Δτ∈［0.01 μs，0.2 μs］之外，其余與實(shí)驗(yàn)1相同。

由圖5可知，隨著Δτ的變大，目標(biāo)DOD的估計(jì)精度將會(huì)變差。這說(shuō)明在時(shí)延補(bǔ)償誤差較大時(shí)，對(duì)目標(biāo)DOD的估計(jì)影響較大，而在時(shí)延補(bǔ)償誤差較小時(shí)，對(duì)目標(biāo)DOD的估計(jì)影響較小。在0.01～0.1 μs之間，各個(gè)目標(biāo)的RMSE曲線不再下降，由此可得出：1）當(dāng)時(shí)延補(bǔ)償誤差Δτ很小時(shí)，其對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的性能影響較小；2）在0.01～0.1 μs之間，是由于噪聲的影響使RMSE的值大約為0.1左右。

圖4 目標(biāo)2 RMSE和CRB曲線圖Fig.4 RESE and CRB curves of Target 2

圖5 目標(biāo)的DOD隨Δτ變化的RMSE曲線Fig.5 RESE curves of DOD vs Δτ

實(shí)驗(yàn)4：算法穩(wěn)健性分析2.為了探究多普勒頻率補(bǔ)償誤差Δfd對(duì)角度估計(jì)的影響，同樣由于Δfd只對(duì)目標(biāo)的DOD存在影響，故研究不同Δfd下目標(biāo)DOD的RMSE隨Δfd的變化，除Δτ=0.5 μs，Δfd分別為0.1 Hz、1 Hz、10 Hz、100 Hz、1 000 kHz外，其余仿真條件與實(shí)驗(yàn)1相同。

由圖6可知，隨著Δfd的改變，目標(biāo)DOD的估計(jì)精度并沒(méi)有太大改變。這是因?yàn)椋簩⒈緦?shí)驗(yàn)選用的FS代入（4）式得

式中：k=1，2，…，M.因此

式中：a=e-j2πΔfdT-1/-j2πΔfdT∈C；CΔτ=diag（cΔτ）∈CM×M，cΔτ（k）=ej2πkΔfΔτ，k=1，2，…，M.再將（32）式代入（12）式中可得

式中：|a|2∈R，在后續(xù)的特征值分解中，并不影響特征值的相位值，只是隨著Δfd的變大；|a|2在減小，也就是只影響接收信號(hào)的信噪比。當(dāng)Δfd不太大時(shí)，信噪比的下降較小，因而對(duì)角度估計(jì)性能的影響較小。

圖6 目標(biāo)的DOD隨Δfd變化RMSE曲線Fig.6 RESE curves of DOD vs Δfd

4 結(jié)論

本文研究了基于匹配濾波器失配的雙基地MIMO雷達(dá)多目標(biāo)角度估計(jì)算法。分析了時(shí)延、多普勒頻率補(bǔ)償誤差對(duì)雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)性能的影響；在此基礎(chǔ)之上，分別利用迭代算法和ESPRIT算法對(duì)目標(biāo)的DOD、DOA進(jìn)行估計(jì)，并且實(shí)現(xiàn)了二者的自動(dòng)配對(duì)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了時(shí)延、多普勒頻率誤差對(duì)角度估計(jì)精度影響；隨著時(shí)延、多普勒頻率誤差的減小，目標(biāo)DOD的估計(jì)精度提高，當(dāng)時(shí)延誤差小到一定程度時(shí)，其對(duì)DOD估計(jì)精度的影響可以忽略，此時(shí)占主導(dǎo)因素的是噪聲功率，相對(duì)時(shí)延誤差來(lái)說(shuō)，多普勒頻率誤差主要影響接收信號(hào)的SNR，對(duì)發(fā)射導(dǎo)向矢量不會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，因而其對(duì)目標(biāo)DOD的影響較小。

附錄

在附錄中給出本文信號(hào)模型下的CRB的推導(dǎo)過(guò)程。重寫本文信號(hào)模型下的導(dǎo)向矢量，其中，K（θ，φ）=A⊙B.為了表述方便，記Kc（θ，φ）=Kc，K（θ，φ）=K.由（10）式可知，第q個(gè)發(fā)射脈沖下的接收信號(hào)yq～Nc（μq，σ2IMN），其中均值μq=Kcβq.在確定信號(hào)模型下CRB［9］可表示為

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Multitarget Angle Estimation for Bistatic MIMO Radar under the Missmatch of Matching Filter

HUANG Zhong-rui，ZHANG Jian-yun，ZHOU Qing-song，NIU Zhao-yang
（Electronic Engineering Institution，Hefei 230037，Anhui，China）

A new method for multitarget angle estimation for bistatic multiple-input multiple-output（MIMO）radar based on mismatch filter is proposed.A signal model is built for delay and Doppler frequency offset errors of bistatic MIMO radar.The parameter estimation of direction of departure（DOD），delay errors and Doppler frequency offset errors is converted into a quadratic programing（QP）problem and solved via the alternating iterative algorithm，and then the DOD can be estimated.The direction of arrival（DOA）is estimated via ESPRIT algorithm.The automatic pairing of DODs and DOAs can be realized without pairing algorithm.The efficiency of the proposed method is verified through the computer simulation.The Cramer-Rao bound（CRB）of the proposed MIMO radar signal model is derived in the appendix.

radar engineering；bistatic multiple-input multiple-output radar；mismatch filter；quadratic programing；Cramer-Rao bound；ESPRIT algorithm

TN958

A

1000-1093（2015）08-1487-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.08.016

2014-10-21

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61201279）；安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（1408085MF128）

黃中瑞（1988—），男，博士研究生。E-mail：18756073857@163.com；張劍云（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：zjy921@sina.com