兩個（2+1）維長水波方程組的精確解

詹 雨，呼家源

（1.河套學院發展規劃與教育評價中心，內蒙古巴彥淖爾 015000；2.河套學院理學系，內蒙古巴彥淖爾 015000）

兩個（2+1）維長水波方程組的精確解

詹 雨1，呼家源2

（1.河套學院發展規劃與教育評價中心，內蒙古巴彥淖爾 015000；2.河套學院理學系，內蒙古巴彥淖爾 015000）

以齊次平衡原則為基礎，利用計算軟件Mathematica對（2+1）維耗散長水波方程組和（2+1）維色散長水波方程組的精確解進行研究，并對擬解的形式加以推廣，從而得到兩個長水波方程組的新的精確解，其解的結構和性質與相關文獻的結論比較起來更加豐富全面。

長水波方程組；精確解；齊次平衡法

［DOI］10.3969/j.issn.1672-2345.2015.12.001

非線性偏微分方程的精確解問題一直是非線性科學研究的熱點問題之一〔1〕，這些精確解可以準確描述所對應的非線性現象，因此很多學者熱衷于尋找典型的非線性偏微分方程的精確解。文〔2〕應用齊次平衡法獲得了（2+1）維色散長水波方程組的Bücklund變換和一個線性偏微分方程，在此基礎上獲得了（2+1）-維色散長波方程的多孤子解和單孤子解；文〔3〕利用一般多線性分離變量法對（2+1）維耗散長水波方程組進行求解，得到了含有任意函數的一般多線性分離變量解；文〔4〕利用拓展（G′/G）-展開法，引入非行波變換，得到了（2+1）-維耗散長水波方程的帶獨立變量任意函數的非行波解。本文利用齊次平衡原則〔5-8〕，通過擬解的4種不同推廣形式，對這兩個長水波方程組進行了精確求解，得到了更為豐富的含有任意函數的精確解。

1 齊次平衡法簡述

下面先以一個未知函數、兩個自變量的情形為例，概述齊次平衡法的基本思想和步驟，對于多個未知函數和自變量的方程組，表述方法類似。

已知非線性偏微分方程

其中P是變元u，ux，ut，uxx，uxt，utt，L的多項式。函數φ=φ（x，t）滿足下面的條件時，稱為是方程（1）的擬解：

如果存在單變元的函數 f=f（φ），使得 f（φ）關于x，t的一些偏導數的適當的線性組合，精確地滿足（1），

即

其中 f~（φ）是關于x和t的低于m+n階偏導數的適當的線性組合；也可將上式改寫為

其中～φ（x，t）是以各種偏導數為變元的低于m+n次的一個多項式，可以使得（1）成立。

式（2）及（3）中的非負整數m，n，單變元函數 f（φ）以及函數φ=φ（x，t）都待定，可通過下述步驟得以確定：

步驟一 使最高階偏導數項和非線性項中包含的關于φ（x，t）的偏導數的最高冪次相等，確定m和n的值，一般情況下是整數。

步驟二 合并φ（x，t）的偏導數的最高冪次項，令其系數為零，得到 f（φ）滿足的常微分方程，解之可得f=f（φ），通常是對數函數 f=rlnφ。

步驟三 用 f（φ）高階導數替換 f（φ）的各階導數的非線性項，合并 f（φ）的各階導數項后，令其系數為零，得到φ=φ（x，t）的齊次型的超定偏微分方程組

通常可以設φ=φ（x，t）有下面形式解

其中m，n為待定常數。

本文在（2+1）維方程組的情形下，對φ=φ（x，y，t）的形式進行了以下推廣：

其中α及a（t），b（t），c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）為待定常數和函數。

把φ代入H（φ）=0，可得待定常數滿足的代數方程組和待定函數滿足的微分方程組，它們一般都是可以求解的。

步驟四 若前3步的解答是肯定的，將結果代入（3），即可得到（1）的精確解。

2 （2+1）維耗散長水波方程組的精確解

對于（2+1）維耗散長水波方程組

先利用齊次平衡原則求其行波解。設

平衡方程（10）與（11）的最高偏導數項uxx與非線性項（uv）x，（v2）xy，得m1=1，n1=1，l1=0，m2=1，n2=0，l2=0，因而可設方程組具有以下形式的解

其中c1，c2為常數，φ=φ（x，y，t）是關于x，y，t的函數。

將（14）、（15）代入方程（10）、（11），整理后得到

令（16）、（17）式中φ3xφy的系數為零，得到常微分方程

和

當g=f時，設方程（18）和（19）有形式解：f=rlnφ，r為待定常數，代入方程（18）或（19）后，可解得r=1，即

同時還可以求得下列關系式：

將（18）、（19）、（20）代入方程（16）和（17）的左端，整理后得到方程

和

令方程（22）和（23）中 f的各階導數的系數為零，得到方程組

假設

其中m，n，l為待定常數，ξ0為任意常數，將（24）代入（25）中，化簡后可得待定常數m，n，l滿足的方程組

解得

將（20）、（25）、（27）代入（14）、（15），得（2+1）維耗散長水波方程組的第一組精確解（行波解）

其中m，n，l和ξ0均為任意常數。

設（14）和（15）中的常數c1=c2=0，經過與上面相同的過程，可以得到φ的各階偏導數所滿足的關系式

顯然，當

時，（30）式成立。

1）設 φ=c1（y）x2+c2（y）t+c3（y）x+c4（y）（其中 c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）為待定函數），代入（31）式，可解得c2（y）=2c1（y），因而

代入（14）和（15），可得（2+1）維耗散長水波方程組的第二組精確解

其中c1（y），c3（y），c4（y）是變量y的任意可導函數。

2）設φ=a（t）c1（y）cosαx+b（t）c2（y）sinαx+c3（y）x+c4（y）（其中α為待定常數，a（t），b（t），c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）為待定函數），代入（31）式，可解得a（t）=b（t）=e-α2t，因而

代入（14）和（15），可得（2+1）維耗散長水波方程組的第三組精確解

其中α是任意實數，c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）是變量y的任意可導函數。

3）設φ=a（t）c1（y）coshαx+b（t）c2（y）sinhαx+c3（y）x+c4（y）（α為待定常數，a（t），b（t），c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）為待定函數），代入（31）式，可解得a（t）=b（t）=eα2t，因而

代入（14）和（15），可得（2+1）維耗散長水波方程組的第四組精確解

其中α是任意實數，c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）是變量y的任意可導函數。

4）設φ=c4（y）+ec1（y）x+c2（y）t+c3（y）（其中c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）為待定函數），代入（31）式，可解得c2（y）=c21（y），因而

代入（14）和（15），可得（2+1）維耗散長水波方程組的第五組精確解

其中c1（y），c3（y），c4（y）是變量y的任意可導函數。

第二至五組精確解為非行波解。

3 （2+1）維色散長水波方程組的精確解

對于（2+1）維色散長水波方程組

經過與（2+1）維耗散長水波方程組相似的計算過程，也可以得到以下4種形式的精確解。

1）第一組精確解為

其中c1（y），c3（y），c4（y）是變量y的任意可導函數。

2）第二組精確解為

其中α，d是任意實數，c1（y），c2（y），c3（y）是變量y的任意可導函數。

3）第三組精確解為

其中α是任意實數，c1（y），c2（y），c3（y），c4（y）是變量y的任意可導函數。

4）第四組精確解為

其中c1（y），c3（y），c4（y）是變量y的任意可導函數。

這4組精確解均為非行波解。

4 結語

在利用齊次平衡原則求解（2+1）維耗散長水波方程組和（2+1）維色散長水波方程組時，對擬解的形式加以推廣，獲得了一些包含任意函數的非行波解，通過選取適當的函數，可以得到很豐富的孤子結構，使其解系更加豐富了，為進一步研究這兩個方程組所反映的非線性現象提供了基礎。

〔1〕套格圖桑.論非線性發展方程求解中輔助方程法的歷史演進〔M〕.北京：中央民族大學出版社，2012.

〔2〕夏鐵成，張鴻慶.（2+1）維擴散長水波方程的衰變解和其它精確解〔J〕.甘肅工業大學學報，2003，29（1）：124-127.

〔3〕包志華，斯仁道爾吉，包來友.（2+1）維耗散長水波方程的一般多線性分離變量解〔J〕.內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），2010，39（1）：18-21.

〔4〕何曉瑩，趙展輝.（2+1）-維耗散長水波方程的非行波解〔J〕.西北師范大學學報（自然科學版），2013，49（5）：43-46.

〔5〕WANG Mingliang.The Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations〔J〕.J Physics Letters A，1995（199）：168-172.

〔6〕王明亮，李志斌，周宇斌.齊次平衡原則及其應用〔J〕.蘭州大學學報（自然科學版），1999（3）：8-15.

〔7〕李志斌.非線性數學物理方程的行波解〔M〕.北京：科學出版社，2008.

〔8〕郭玉翠.非線性偏微分方程引論〔M〕.北京：清華大學出版社，2008.

Exact Solutions of Two（2+1）-dimensional Long Water Wave Equations

Zhan Yu1，Hu Jiayuan2
（1.Center of Development Planning and Education Evaluation，Hetao College，Bayannur，Inner Mongolia 015000，China；2.Department of Science，Hetao College，Bayannur，Inner Mongolia 015000，China）

On the basis of the homogeneous balance principle，the exact solutions of（2+1）-dimensional dissipative long wave equation and the（2+1）-dimensional dispersive long wave equation are studied with the aid of Mathematica software.Moreover，by generalizing the form of quasi-solution，new exact solutions of two long wave equations are obtained，and the structure and properties of these solutions are more comprehensive than the conclusions in relevant literature.

long wave equations；exact solution；homogeneous balance method

O156.4

A

1672-2345（2015）12-0001-06

（責任編輯 袁 霞）

內蒙古高等學校科學研究自然科學一般項目（NJZY265）

2015-10-27

詹雨，副教授，主要從事符號計算及應用研究.