航空發動機葉尖間隙數學模型的建立與驗證

陳 研，呂天波，張 生，張 鐳

（1.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽110015；2.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽110819）

0 引言

先進的氣動設計與試驗方法使航空發動機壓氣機和渦輪的效率已經達到很高水平，為了進一步提高其效率，除注重氣流參數選擇外，還應減小葉尖間隙損失。這種損失是由轉子葉片和機匣間的間隙造成的。雖然可用計算機模型來預測葉尖間隙，但這種預測必須由試驗數據來驗證和細調。所以在航空發動機研制過程中，葉尖間隙是1個基本的測量參數。葉尖間隙過大，會降低發動機的效率，增加耗油率；但葉尖間隙也不能過小，因為過小的間隙有可能危及發動機的安全。因此必須嚴格控制葉尖間隙和測量葉尖間隙，使發動機處于最佳的運行狀態。目前，對發動機葉尖間隙研究主要采用通過測試設備測得發動機工作時的葉尖間隙值的試驗分析方法，近年來國內航空研究機構開發了多種間隙測量方法，常用的有火花放電法、渦電流法、激光光學法、電容法、微波法、超聲波法以及光纖法等。

但是目前國內的研究還停留在測量葉尖間隙數據層面上，還沒有針對測得的葉尖間隙數據處理開展相關研究工作。本文在國內率先進行了葉尖間隙數據處理的理論研究，并建立了相關數學模型。

1 葉尖間隙單傳感器單步法數學模型的建立

1.1 葉尖間隙單傳感器單步法概述

航空發動機葉尖間隙的形成和大小主要受機匣表面輪廓半徑方向變動量、幾何中心位置、轉子的回轉中心變動量以及轉靜子平均半徑差等因素影響，有效地將這些因素進行分離對間隙的形成和變化規律的研究有非常關鍵的作用。

若要實現各要素的真正分離，目前可采用頻域法和時域法。這2種方法都要求在采樣過程中測量數據的冗余，即要求通過多傳感器1次轉位或單傳感器多次轉位獲取采樣數據。然而，由于目前實際硬件只能提供單傳感器跟隨轉子旋轉1周測量發動機葉尖間隙數據的測試條件，既無法將所有要素完全真正分離，所以在建立數學模型之前，認為靜子機匣為理想輪廓，發動機轉靜子葉尖間隙僅由轉、靜子的中心位置和平均半徑差以及轉子的回轉誤差構成。

1.2 葉尖間隙最小二乘中心法數學模型的建立

在單傳感器單步法中，要求得到最主要的1個參數是最小二乘圓心對回轉中心的偏移量，即偏心值。偏心值的大小直接決定發動機轉靜子裝配是否合格，具有實際工程意義。下面基于最小二乘中心法來建立葉尖間隙的數學模型，如圖1所示。以測量時被測截面的回轉中心Ol為圓心，將被測實際圓分成m個彼此相等的角度，于是得到m個從Ol算起的實際圓半徑ri（i=1，2，…，m）。這m個半徑與被測實際圓的交點為Pi（i=1，2，…，m）。在以Ol為極坐標系的圓點的極坐標系中，令最小二乘圓的圓心為O，半徑為R，最小二乘圓圓心與回轉中心的偏離量為e，各離散采樣點Pi到最小二乘圓之徑向偏離量為εi（i=1，2，…，m），各等分采樣點Pi至回轉中心Ol的連線OlPi與極坐標軸的夾角為θi（i=1，2，…，m）。

在ΔOOlP 中，Pi=εi，OlPi=ri，OPi=R+εi，則

圖1 最小二乘中心法原理

因為

所以

已知

故而

由此可得

根據最小二乘原理有

分別求Q 對R，a，b 的偏導數并令其等于零，可得

數據的結構矩陣為

正規方程組的系數矩陣為

又因為A-1A=E

所以

令

則正規方程組的常數項矩陣為

即

設P=|R a b|T則AP=B

所以

即

從理論上講，按上式可求得最小二乘圓的半徑R和最小二乘圓圓心坐標分量a、b，令Δri=ri-r0，（i=1，2，…，m），其中r0為任意選定的常量，則有

將式（13）代入式（12），即可求出最小二乘圓半徑

最小二乘圓圓心的坐標分量為

將式（13）和（14）代入式（4），可得

上式表明，若可測得被測圓上各等分離散采樣點的半徑增量Δri和相應角度θi，便可求得各采樣點相對于最小二乘圓的偏差εi。所以最小二乘評定法的圓度誤差為

在上面的推導過程中，回轉中心與最小二乘中心不重合，所以存在偏心OOl=e，公式εi=ri-R-acos θi-bsinθi是用R+εi代替得到的，下面具體分析由此引起的誤差問題。

設誤差

將f（e）展開成泰勒級數

求得

則

所以

因為sin2（θi-α）≤1，且R+εi=OPi，所以Δmax=即由此引起的誤差極小，可以忽略不計，同時證明了求解偏心的數學模型的正確性和可行性。

1.3 葉尖間隙相關特征參數理論模型的建立

如前所述，發動機轉、靜子葉尖間隙僅由轉、靜子的中心位置和平均半徑差以及轉子的回轉誤差構成。在實際測量中，測得的間隙值是相對回轉中心的靜子采樣點到轉子端面的距離，即上述模型中的Δri，相對于回轉中心的最大間隙值Δrimax，相對于回轉中心的最小間隙值Δrimin?；?.2節所建立的數學模型建立葉尖間隙數學模型

最大跳動量

靜子內凹點到理想圓的最大值

IMP相位即為相對回轉中心的最小間隙值即Δrimin的相位。

最小二乘圓心的坐標分量為

通過坐標值即可求得偏心距和偏心角度。

相對于最小二乘圓心的實際間隙值=

相對最小二乘圓心的最大間隙值=

相對最小二乘圓心的最小間隙值=

相對最小二乘圓心的實際間隙變化量=

1.4 下沉量修正模型的建立

航空發動機在裝配結束后進行間隙測試時分為垂直和水平2種測試狀態。在發動機水平放置進行測試時，由于受重力作用整體有1個下沉量，但發動機轉子在實際高速旋轉時基本與垂直位置比較接近，因此在低速測量數據時，需要排除下沉量對最終數據的影響。

在模型的建立過程中，發動機水平放置時的下沉量為軸承游隙的一半，固其為已知量，根據測得的未修正間隙值和下沉量可計算出修正后即消除下沉量影響的間隙值，數學模型推導過程如下。

修正下沉量原理如圖2所示。從圖中可見，此時應測量的是轉子端面B 點到靜子機匣A 點的間隙值Δr'i（O1為下沉前轉子回轉中心），但由于發動機轉子的下沉，測量的實際間隙值為下沉后的轉子端面C點到靜子機匣A 點的間隙值Δri（O2為下沉后轉子回轉中心）。下沉量為d，回轉中心到轉子端面距離為r，即圖中的O1B 和O2C 對應A 點的采樣角度為α。

在三角形O1O2A 中，由圖中幾何關系可得

圖2 修正下沉量原理

即

因為

所以

修正后的間隙值為

即在發動機水平測試時，需將測得的數據帶入上式進行修正后才能帶入之前敘述的各模型中來求解其他未知量。

2 航空發動機葉尖間隙數學模型的驗證

基于以上數學模型，在LabVIEW平臺上開發設計了葉尖間隙數據處理系統軟件，具有實時處理數據、自動保存、報表打印、數據查詢及間隙放大圖等功能（如圖3所示）。

將測得的葉尖間隙數據（采樣角度－采樣間隙值）帶入所開發的軟件中進行數據處理，可以準確計算出轉、靜子間的最大和最小間隙值、最大跳動量FIR、采樣輪廓內凹點到最小二乘輪廓的最大偏差IMP、最小二乘輪廓中心的坐標分量以及偏心距ECC、相對于最小二乘輪廓中心的實際間隙值以及下沉量修正值等，以及上述各參數的相位角值。將多組數據的計算結果與采用國外成熟軟件Linipot的計算結果進行對比分析，絕對誤差均小于0.001，相對誤差均小于0.005%。其誤差的原因均可被認為是計算處理過程中的舍入誤差，對最終結果的影響可以忽略。因此，可以斷定所進行的理論研究結果正確，所建立的各理論數學模型與國外Linipot軟件對應的數學模型一致。

圖3 葉尖間隙數據處理主界面

3 結論

葉尖間隙數學模型的建立能夠準確計算出最大跳動量FIR、IMP、偏心矩ECC以及下沉量修正值等相關參數，這些參數對于判斷發動機轉、靜子裝配是否合格起著關鍵性作用。通過與國外成熟軟件Linipot計算結果進行對比分析，絕對誤差均小于0.001，相對誤差均小于0.005%?？梢詳喽ㄋM行的理論研究結果正確。

本文方法是國內首次掌握了葉尖間隙數據處理的基本方法，為以后更深入地開展該領域的研究工作奠定了基礎。

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