基于保角變換法對V型槽電容傳感器中靜電場的相關計算

江昌龍

（黃山學院 信息工程學院，安徽 黃山245041）

0 引 言

文獻[1]研究了一種稱作為帶有V型槽的超聲波電容傳感器，傳感器如圖1（a），傳感單元如圖1（b）所示的，圖中是放大后的尺寸，實際尺寸是在微米數量級的。此傳感器的傳感單元通過發(fā)射超聲波并接收反射波，通過時間差來對障礙物的距離計算和定位，發(fā)射和接收超聲波的時候，都是要通過介質膜片的振動來實現的，而膜片的振動是由傳感器中兩電極之間的電場變化引起的。在傳感器的設計中為提高靈敏度和精度需要知道對傳感器傳感單元包括電容、電極電荷密度等在內的靜電場的精確計算，才能對膜片的振動彎曲作出正確的分析計算，為設計提供理論依據。

圖1 靜電超聲傳感器模型及傳感單元結構

對傳感器實驗測試結果[2]表明，理論計算還遠沒有達到要求。在各種理論計算方法中[3-4]，文獻[4]采用了平面極坐標系下的分離變量法計算該傳感器單元的靜電容，雖然分析了傳感單元內實際電場、電荷分布的特點，但是該算法計算氣隙部分的頂角處的電容時取的是一個扇形半徑，這對于電荷集中的“脊”部分電容誤差是很大的。為探討更好更有說服力的電容計算，本文通過保角變換法[5]給出另一種算法。

1 問題模型

分析圖1（b）中傳感器傳感單元的電場及電荷分布特點，在“脊”部分場強和電荷分布密度都比較大，而在氣隙中間部分場強和電荷分布密度都比較小，如圖2所示，并建立復平面z平面。為計算該傳感器傳感單元的靜電容，考慮到傳感單元的對稱性，取一半作為研究對象。設電介質厚度為h，電介質介電常數為εr(εr＞1)，將其做等效處理，即等效為空氣的厚度為h/εr。由于兩電極之間電介質比較薄，所以在傳感器傳感單元的“脊”部分可看作是平行板電容器，剩余部分是一個梯形電容器，整個傳感器單元相當于這兩部分電容并聯，如圖3所示，整個傳感單元的總電容為

圖2 傳感單元電場電荷分布特點

2 求解計算

設傳感單元的幾何尺寸標注在圖3當中，其中a=h/εr。平行板電容器EFGH單位長度的電容很好計算，計算式為，現在主要是梯形電容器ABCD的電容計算，根據形狀特點，我們做如下幾種形式的保角變換。

圖3 傳感單元電容分解

在梯形電容器ABCD的截面內，以兩極板CD和BA的延長線的交點為坐標原點O'，以極板DC的方向為y'軸，以垂直極板DC的方向為x'軸，從而建立一個復平面z'平面，如圖4所示。從z平面到z'平面的坐標變換關系為

圖4 復平面坐標系

作第一次變換

將z平面的梯形區(qū)域變換到ζ1平面的下半平面，如圖5所示，被變換的區(qū)域在圖5中用陰影部分表示。4個頂點的坐標變換到：A1(-4a4)，B1(-4(a+b)4)，C1((a+b)4)，D1(a4)

在ζ1平面內的兩極板之間的區(qū)域還是不方便求解，我們需要將電場區(qū)域變成一個圓環(huán)，也就是要使同一條電場線在各位置處的極徑相等，為此再作第二次變換

變換式中θ1為ζ1平面內各點的極角，θ為z平面內各點的極角。如圖6所示，在ζ2平面內4個頂點的坐標為：A2(-a4)，B2(-(a+b)4)，C2((a+b)4)，D2(a4)

這樣的話就將兩極板之間的電場區(qū)域變?yōu)橐粋€半圓環(huán)區(qū)域。最后再作變換

圖5 第一次保角變換

圖6 第二次保角變換

將ζ2平面內的圓環(huán)區(qū)域的電場變換到ζ 平面內的平行板區(qū)域A3B3C3D3，A3B3C3D3相當于一個平行板電容器，如圖7所示。4個頂點的坐標：A3(4lna,π)，B3(4ln(a+b)，π)，C3(4ln(a+b)，2π)，D3(4lna，2π)

圖7 第三次保角變換

綜合（3）、（4）、（5）3個式子得到總變換：

將（6）式分開表示為

由（2）式，得圖4中的坐標系O'x'y'與圖2中的坐標系Oxy之間的坐標變換關系為

將其代入（7） 得到ζ 平面與z平面的坐標變換式：

3 結 果

3.1 電容的計算

平行板電容器A3B3C3D3的電場只集中在兩平板之間的區(qū)域，沒有邊緣效應。由于保角變換不改變電容，故原梯形電容器在其單位長度上的電容為：

這樣整個傳感器單元的總電容：

這個結果與文獻中[4]的結果是一致的。

3.2 電勢和電場的計算

由平板電容器的電勢分布并結合（8）式得到梯形電容器ABCD在Oxy坐標系中電勢分布和電場分布：

電勢為u的等勢線方程：

各點總場強大小：

位置x0處的電場線方程：由得(a+b+x)2+y2=(a+b+x0)2

3.3 極板電荷密度的計算

極板電荷密度：

[1]葛立峰.微氣隙結構靜電超聲傳感器的理論模型[J].科學通報，1997，42（22）：2387-2390。

[2]PenttiMattila，Fabio Tsuzuki，Heli ??t?j?，and Ken Sasaki，Eleetroaeoustic Model for Electrostatic Ultrasonie Transdueers with V -Grooved BackPlates [J]，IEEE transactions on ultrasonies，Ferroelectries and frequeney control，1995，42（1）：1-7.

[3]Li-Feng Ge，Eleetrostatic airborne ultrasonic transdueers:modeling and charaeterization [J]，IEEEtransactions on ultrasonics，ferroeleetriesand frequeney control，1999，46 （5）：1120-1127.

[4]操文祥.V型槽靜電超聲傳感器靜電場不均勻性研究[J].傳感器世界，2006(3)：6-8。

[5]梁昆淼.數學物理方法（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1998：423-458.