淺談作物生長方程的研究與應用

李榮

摘 要 作物生長模型指根據作物生長規律對作物生長過程進行定量模擬，是對作物生理過程與其外部環境之間關系的抽象概括。探究了應用于作物生長模擬的5種生長方程的數學解析性，在模擬作物生長時各生長方程均表現出較好的模擬性。不同生長方程其模擬精度不同，Korf>Richards>Gompertz>Logistic>Mitscherlich；Korf方程比Richards方程能準確地解析作物生長的特性，更適宜用于探索作物生長的變化規律。

關鍵詞 作物生長方程；數學模型；應用

中圖分類號：S311 文獻標志碼：A 文章編號：1673-890X（2015）30-0-02

在對作物生理生態機理認知的不斷深入和計算機技術的應用的基礎上，作物生長模型的研究得到進一步的探究。作物生長模型是通過計算機進行量化研究和精確控制，采用數學模型來表達作物生理生態機理及生長規律[1]。作物生長方程類型主要包括Gompertz[2，3]、Mitscherlich（單分子式）[4，5]、Logistic[6，7]、Richards[8，9]和Korf[10，11]5種方程。本文對不同生長方程的解析式進行研究，探索各生長方程對作物生長的適用特征，篩選出能模擬作物生長的最佳方程，并推動其發展，從而得以科學地應用。

1 作物生長方程的研究進展

作物生長方程的建立是為研究在特定栽培措施下作物全生育期或某一生育期的某些生長特征變化過程的模擬，通過數量描述與作物生態及氣象因子進行綜合分析，來探究作物生長其內在規律。這既能預測作物在大田的生長狀況，又能為作物高產提供理論參考。如能結合本地區生產實際，可更好地采取相關措施指導農業生產。作物生長方程可分為兩大類[12]：（1）理論方程，其邏輯性強，方程參數意義明確，被應用于模型作物的生長狀況。Brody（1954）提出了作物生長前期自加速階段和生長后期自抑制階段，即生長曲線的二階段性，他用數學模型來描述作物生長曲線的二階性[13]。之后又有學者探索出Richards模型、Gompertz模型和Logistic模型[14]。Richards模型較少使用，主要是模型參數較多；而Logistic模型和Gompertz模型被廣泛采用，原因在于擬合作物生長效果好，在生長率、最大生長量等方面更能反映作物間的差異。此外，Mitscherlich和Korf方程也是應用較多的作物生長方程。

2 生長方程解析式

5種作物生長方程的數學解析式分別表示如下。Logistic作物生長方程：Y=A×exp[1+a×exp（-bx）]。Gompertz作物生長方程：Y=A×exp[-a×exp（-bx）]。Richards作物生長方程：Y=A×exp[1-exp（-bx）]a。Mitscherlich作物生長方程：Y=A×exp[1-exp（a-bx）]；Korf作物生長方程：。以上公式中，x為作物生長日數，Y為擬合因變量，A、a、b分別為生長方程參數。

2.1 Logistic和Gompertz方程

在Logistic生長方程中，A為作物株高最大值，a、b為待定系數（a>0，b<0）。當x為lna/b時為作物株高達到最大生長率時所需天數；Y為A/2時表示作物株高拐點，此時最大生長速率為Ab/4，該模擬方程的速生區間為{1/cln[b/（2+）]，1/cln[2eb/（2-）]}。在Gompertz生長方程中，A為作物株高的最大值，a、b為待定系數（a>0，b<0）。當x為b/c時，此時x為作物株高達到最大生長率時所需天數，Y為a/λ時作物株高的拐點，最大生長速率為ac/λ，該模擬方程的速生區間為{1/cln[2eb/（3+）]，{1/cln[2eb/（3-）]}。Logistic和Gompertz方程不僅能描述作物生長過程的良好特性，而且能據此反映作物生長規律的特征值，這些重要信息具有顯式解，可直接求得并與實際值相近。對建立株型育種、生理育種、系統育種相結合的高效育種體系具有重要意義。

2.2 生長方程的數學性質及彼此關系

采用五種生長方程模型對作物生長進行模擬發現，對Richards作物生長方程（A、b、k均大于0）來說，有以下幾種情形：當m小于1時為Richards方程的解析式y=A（1-be-kx）；當m 大于1時為Logistic模型y=A（1-be-kx）；當m等于0時為Mitscherlich方程的解析式y=A（1-bekx）；當m等于2時為Logistic方程的解析式y=A（1+be-kx）-1；當m趨近于1時變為Gompertz方程的解析式y=A×exp[-k×exp（-bx）]；當Korf方程中參數c趨近于無窮大時變為Gompertz方程解析式。

3 最優模型的篩選及檢驗與評價

根據所選作物不同指標，對所研究的五種作物生長方程進行迭代，估計參數A、a和b值。根據擬合度來評價其作物生長模擬效果。擬合度越接近于1，說明生長非常擬合效果越好[15-16]。諸多研究[17-21]表明，評價作物生長模型的擬合精度，其觀測值與預測值間的決定系數越大，作物生長模型的擬合效果越好。尤海磊等[22]研究發現，在模擬作物生長時5種生長方程均表現出較好的模擬效果。同一作物生長方程采用不同的數據進行擬合，其作物生長方程的擬合精度也各異，不同作物生長方程其模擬精度不同，其擬合精度Korf>Richards>Gompertz>Logistic>Mitscherlich；同時，Korf方程比Richards方程能準確地解析作物生長的特性，更適宜用于探索作物生長的變化規律。

參考文獻

[1]張正，李軍，畢務良.玉米植株葉片著生高度的數學模型[J].首都師范大學學報，2006（8）：3-6.

[2]Charles P W. The GompertzCurve As AGrowth Curve[J].Proceedings of the National Academy of Sciences，1932，18（1）：1-9.

[3]吳承禎，洪偉.杉木人工林直徑結構模型的研究[J].福建林學院學報，1998，18（2）： 10-113.

[4]Mitscherlich E A. Problems of Plant Growth[J].LandwirtschaftlicheJahrbucher，1919（53）：167-182.

[5]Ricker W E. Growth Rates and Models[J]. Fish Physiol，1979（8）：677-743.

[6]李文燦.對Logistic方程的再認識[J].北京林業大學學報，1990，12（2）：121-127.

[7]Klars von Gadow， GangyingHui. Modelling Forest Development[M].Germany：CUVILLIER ERLAG Goettingen，1998.

[8]Richards F J. Aflexible growth function for empirical use[J].J Exp Bot， 1959，10（29）：290-300.

[9]Ishikawa， Y. Analysis of the Diameter Distribution Using the RICHARDSD is Tribution Function（Ⅲ）[J]. Relationship BetweenmeanDiameter or DameterVariance and Parameter Mor Kof Uniform and Even-aged Stands.J Plann，1998（31）：15-18.

[10]Kiviste AK. Mathematical Functions of Forest Growth[M].Russion：Estonian Agricultural Academy，1988

[11]Zeide B. Accuracy of Equations Describing Diameter Growth[J].Can J For Res，1989（19）：1283-1286

[12]Yaussy A D. Comparison of An Empirical Forest Growth and Yield Simulator and AForest Gap Simulator Using Actual 30-year Growth from two Even-aged Forests in Kentucky[J].Forest Ecology and Management，2000（126）：122-129.

[13]Bohren BB.Comparison of Proposed Growth Curves Functionsin Chickens[J].Growth，1982（46）：259-274.

[14]Grossman M， Koops WJ. Multi-phasic Analysis of Growth Curvesin Chichens[J].PoultryScience，1988（67）：33-42.

[15]林忠輝，莫興國，項月琴.作物生長模型研究綜述[J].作物學報，2003（9）：750-758.

[16]胡希遠.SAS與統計分析[M].楊凌：西北農林科技大學出版社，2007.

[17]蓋鈞益.試驗統計方法[M].北京：中國農業出版社，2000.

[18]殷祚云.Logistic曲線擬合方法研究[J].數理統計與管理，2002（1）：41-46.

[19]丁思統，廖為明，董軍，等.關于數學模型的評價與檢驗[J].江西農學大學學報，2006（8）：641-644.

[20]王滬閩.毛竹出筍數學模型的研究[J].林業勘察設計（福建），2007（1）：154-156.

[21]鄭秀琴，馮利平，劉榮花，等.冬小麥產量形成模擬模型研究[J].作物學報，2006（2）：260-266.

[22]尤海磊，胡希遠，高金鋒，等.不同蕎麥品種生長模型和生長特性的比較研究[J].干旱地區農業研究，2010，28（2）：53-58.

（責任編輯：趙中正）