淺談"數(shù)形結(jié)合"思想在解題中的應(yīng)用

邱元香

（三明市明溪縣城關(guān)中學(xué) 福建三明 365000）

淺談"數(shù)形結(jié)合"思想在解題中的應(yīng)用

邱元香

（三明市明溪縣城關(guān)中學(xué) 福建三明 365000）

數(shù)與形是和諧與統(tǒng)一的整體，是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合，是數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究不可分割的兩個(gè)方面。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的解題思想。在教學(xué)中反復(fù)滲透數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，從而提高學(xué)生分析問題和綜合解決問題的能力。

數(shù)形結(jié)合 解題應(yīng)用

數(shù)與形是和諧的統(tǒng)一的整體，是數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究不可分割的兩個(gè)方面。由圖形性質(zhì)來(lái)研究數(shù)量關(guān)系，或由數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形性質(zhì)，這種重要的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，在我們初中數(shù)學(xué)教材中都有所滲透。在七年級(jí)“有理數(shù)”一章中就先入為主，充分利用數(shù)軸直觀形象地表述了有理數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算。到方程解應(yīng)用題中又通過(guò)列表、圖式，使隱含的等量關(guān)系明朗化；而八年級(jí)，隨著無(wú)理數(shù)的引入，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生對(duì)“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)”就很容易理解；勾股定理及其逆定理的證明以及直角三角形相似的判定，無(wú)不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。

所以我們?cè)诮虒W(xué)中必須反復(fù)滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生在不知不覺中不斷強(qiáng)化、領(lǐng)會(huì)、掌握數(shù)形結(jié)合思想，這樣才能讓學(xué)生在解題時(shí)自覺運(yùn)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

有很多數(shù)學(xué)問題，在使用常規(guī)方法進(jìn)行證明或解答時(shí)，常常無(wú)從下手，若利用數(shù)形結(jié)合的方法去證明、解答，立竿見影，由繁變簡(jiǎn)，從而使問題迎刃而解。現(xiàn)本人結(jié)合自己多年初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的體會(huì)，談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用。

一、利用數(shù)形結(jié)合巧解最值問題

新課標(biāo)中注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活中，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想在人們?nèi)粘Ｉ钪械膽?yīng)用，同時(shí)可以發(fā)展學(xué)生的思維能力。

例1：如圖（1），A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河CD的距離分別為AC=2千米，BD=10千米，且CD=5千米，現(xiàn)在要在河邊 CD上建一自來(lái)水廠，分別向 A、B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管工程費(fèi)用為每千米 2萬(wàn)元，問：P在CD上的那個(gè)位置可以使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省？總費(fèi)用多少？

解析：要使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最小，即 PA+PB須最短，先作出點(diǎn)A 關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A′B 與直線 CD 的交點(diǎn) P，即為所求，則 PA=PA′，那么PA+PB=PA′+PB=A′B，

問題轉(zhuǎn)化為求 A′B，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可求A′B的長(zhǎng)。

解：作 A 關(guān)于直線 CD的對(duì)稱點(diǎn) A′，連接 A′B，與 CD的交點(diǎn)，即為自來(lái)水廠P的位置，連接PA，則PA =PA′，過(guò)B作 BE⊥A A′交 CA 的延長(zhǎng)線于 E，則 BE=CD=5千米，CE=BD=10千米， A′C=AC=2千米，

A′E=10+2=12千米，根據(jù)勾股定理，得：

∴鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為2×13=26萬(wàn)元。

∴蜘蛛爬行的最短路程為 10。

例 2、如圖（2）所示，圓錐的母線長(zhǎng) OA=8，底面的半徑 r=2，若一只小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓椎的側(cè)面爬行一周后又回到點(diǎn)A，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)是多少？

解析：學(xué)生在解此題時(shí)，想當(dāng)然地認(rèn)為小蟲爬行的最短路線就是圓錐底面圓的周長(zhǎng) π4。而實(shí)際上并非如此，我們必須將圓錐的側(cè)面展開，沿母線 OA剪開，展開得一扇形，連接 AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而求出最短路線的長(zhǎng)。

設(shè)扇形的圓心角為n度，則：

以上兩題，要學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，由形助數(shù)，把問題解決。

圖

二、數(shù)形結(jié)合在代數(shù)式求解中的應(yīng)用

在有理數(shù)的運(yùn)算中，學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算時(shí)，一旦出現(xiàn) n次方，比較抽象，學(xué)生較難理解，下面舉例說(shuō)明。

解析：這是初一練習(xí)冊(cè)的一道題目，是高中的數(shù)列求和問題，對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度。

方法一：可設(shè)計(jì)如圖所示的一個(gè)邊長(zhǎng)為 1的正方形，其面積為1。

讓學(xué)生思考：連接正方形的一條對(duì)角線所得兩個(gè)三角形的面積如何？再作其中一個(gè)三角形底邊上的高所得的兩個(gè)三角形的面積又如何？依此方法一直作下去呢？學(xué)生很容易就明白：

圖

方法二：設(shè)計(jì)另一種情境：用一根長(zhǎng)為1米的木棒，第一次先截去第二次再截去剩下的依次進(jìn)行下去… …（如圖4）

圖（4）

我們可以列表表示上述關(guān)系：每次截去的木棒長(zhǎng)都等于剩下的木棒長(zhǎng)。

于是

通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，把原本看過(guò)去不可解的數(shù)學(xué)計(jì)算問題，借助具體的圖形，把原本抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，學(xué)生既明白也容易理解。

三、利用數(shù)形結(jié)合巧解字母的取值范圍

在不等式這一章中，有關(guān)于字母的取值范圍是難點(diǎn)，學(xué)生常常出錯(cuò)，下面舉例說(shuō)明。

例4：關(guān)于a的不等式3x-a≤0的正整數(shù)解是1、2、3，求 a的取值范圍。

由于不等式3x-a≤0的正整數(shù)解是1、2、3，

例5：已知方程關(guān)于x的方程 x2-（4a-1）x+3a+4=0的一個(gè)根大于5，另一個(gè)根小于5，求a的取值范圍。

解析：本題如果直接解答，要考慮一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解起來(lái)比較麻煩，如果利用二次函數(shù)及圖象聯(lián)系起來(lái)，可直觀簡(jiǎn)捷地解決問題。

令 y= x2-（4a-1）x+3a+4，則問題轉(zhuǎn)化為拋物線y= x2-（4a-1）x+3a+4與 x軸的交點(diǎn)在（5、0）的兩側(cè)，因?yàn)?1＞0.拋物線的開口向上，畫出草圖，如圖（5）所示：

圖（5）

由圖像可以知道當(dāng)x=5時(shí)，y＜0，

即52-（4a-1）5+3a+4＜0解得a＞2，即為a的取值范圍。

此題看似與圖像無(wú)關(guān)，但卻可以利用圖像解決，因此利用數(shù)形結(jié)合，可以拓寬思路提高學(xué)生的分析能力。

四、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，最難理解和掌握的就是函數(shù)了，函數(shù)是在某一變化過(guò)程中，出現(xiàn)兩個(gè)變量，尤其是解析式中出現(xiàn)了待定系數(shù)時(shí)，增加了函

數(shù)的難度，因此學(xué)生要善于利用數(shù)形結(jié)合，對(duì)函數(shù)的圖像和性質(zhì)深入理解和掌握，掌握解題技巧，提高解題能力。

例 6：二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖像只經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則一次函數(shù)y=ax-b的圖像是（ ）

圖

解析：此題未給出二次函數(shù)的圖像，若憑空想象，大多數(shù)學(xué)生得不到正確的結(jié)論。因此我們必須畫出二次函數(shù)的草圖（如圖 6）。結(jié)合圖像，再結(jié)合二次函數(shù)的一些性質(zhì)，就可以判斷 a、b、c的取值范圍，進(jìn)而可以得出正確結(jié)論。

由圖可知：拋物線開口向上，所以 a＞0，

拋物線與y軸交于正半軸（含原點(diǎn)），所以c≥0，

∴a，b同號(hào)，∴b＞0

∴一次函數(shù)y=ax-b的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，應(yīng)選A。

五、利用數(shù)形結(jié)合巧解幾何求值題

有些幾何問題若能以“數(shù)”助“形”，把復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，能使問題簡(jiǎn)單化。

求∠C的度數(shù)

解析：由∠BAC-∠B=900，故設(shè)法構(gòu)造直角三角形。

如圖 8，在已知△ABC中，過(guò) A 作 AD⊥AC，交 BC于 D，則∠DAC=900

∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=900，

∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=900，

又∠BAC-∠B=900

∴∠B=∠BAD，則BD=AD，

∴∠C=300

總之，在教學(xué)過(guò)程中，教師要反復(fù)滲透數(shù)形結(jié)合思想，在形的問題難以解決時(shí)發(fā)揮數(shù)的功能，在數(shù)的問題遇到困難時(shí)，畫出與它相關(guān)的圖形，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，解決問題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，就能逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的解題能力。

圖（7）

2002.1 ～2中小學(xué)數(shù)學(xué)

1999.3 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志