起伏地形下二維密度反演成像的研究及應用

連偉章趙承寶

（1.成都理工大學地球物理學院，四川成都 610059；2.中國石油天然氣管道工程有限公司，河北廊坊 065000）

起伏地形下二維密度反演成像的研究及應用

連偉章1趙承寶2

（1.成都理工大學地球物理學院，四川成都 610059；2.中國石油天然氣管道工程有限公司，河北廊坊 065000）

同其它物探反演方法一樣，重力反演也存在多解性，尤其在起伏地形下，根據異常分布進行反演的難度較大。重力勘探的前提條件是，研究對象與圍巖存在著密度差，去掉觀測值中與研究對象無關的影響，就可以獲得單純由研究對象引起的重力異常。本文用水平圓柱體作為理論模型，并用等效源法在起伏地形下進行二維密度反演，主要模擬地形為山脊，并且運用實際資料進行驗證，取得了較好的效果。

反演 等效源 起伏地形 重力異常

1 引言

反演就是根據獲得的異特征、數值大小、分布情況，結合物性資料來獲得地下地質體的形狀和空間位置。和其他地球物理反演問題一樣，重力反演的解也存在非唯一性，特別在起伏地形下，反演就更加困難。如果不改變包含在引力等位面內的物質總量，而重新分布其密度，使原來的等位面大小和形狀保持不變，那么在這一等位面上和等位面外的引力場不會發生變化［1］。在位場理論中，場和場源具有唯一的對應關系，但實際觀測得到的重力場只是整個場的一部分，再加上觀測誤差和隨機干擾，使其對觀測值的解釋不可避免地出現多解性，即有多種可能的場源分布與觀測場在一定的誤差范圍內對應。與觀測場對應的場源如果不是真正的場源，我們稱它為等效源［2］。馮敬英，煕周襄（1987）提出了將等效源法運用于位場反演［3］，Emila（1973）提出了利用偶極線作為等效源進行磁異常向上和向下延拓以及計算一階、二階垂向導數和振幅譜的方法［4］。在其它反演方法中，多解性造成解譯的困難，這里利用多解性來對位場進行反演，用等效源的質量分布成像，以突出有用信息，增加解釋手段。

2 等效源反演方法的基本原理

圖1 模型體的理論異常圖

圖2 質量分布圖

與觀測場對應的多個場源中，選擇一組最簡單的場源，例如按一定位置分布或不固定位置的點荷、線荷，使它們產生的場值在觀測面上與實測獲得的場值一致，利用這組等效源就可以很方便的做各種位場轉換。等效源法的特點可以歸納如下：（1）把各種繁雜的位場轉換，變成一個簡單的正演計算，計算過程簡單，便于統一處理；（2）不丟掉邊部測點，條件好的情況下，可以適當外推；（3）對地形起伏較大的觀測面，作位場轉換的效果仍然較好；（4）由于等效源產生的場僅在觀測面內與真實場源產生的場在一定誤差范圍內吻合，因而用等效源進行位場轉換，特別是向下延拓就必然只限于一定的范圍內，而不是整個空間，這就是該法的局限性。

在重力反演中，通常我們一般選用模型體的埋深、產狀、大小、物性參數等作為最優化反演參量，當用多體模型時需要考慮的參量更多，這時參量太多，計算復雜，多解性也突出［5］。而且在地下地質體很復雜時，往往需要取幾個簡單的模型體或直接取一個復雜的模型擬合該場源，這種情況下往往很難選到合適的模型體，如果沒有選到能適合的初始模型，會導致最后的結果有較大的誤差甚至是錯誤［6］。考慮到等效源可以將復雜模型簡單化，因而考慮在重力反演成像中利用等效源進行反演，減少一部分由模型選擇帶來的誤差，簡化計算過程，并且根據等效源質量分布圖來直觀反映地下密度體的情況［7］。

用等效源進行反演成像時主要有以下幾個步驟：

（1）根據實際重力異常，初步推測產生異常的地質體的大致范圍，并在這個范圍內選擇一定數量的等效源；（2）設置每個等效源的初始參量作為初值，由于等效源選取得很簡單，所以參量也相應變得簡單；（3）用最優化方法進行迭代，計算出每個等效源的質量；（4）根據求得的等效源的質量及其分布，用軟件作出等效源質量分布圖，直觀反映場源的情況。

其中，求取等效源是等效源反演中的關鍵，下面將著重介紹等效源的求取方法。以水平圓柱體作為等效源模型為例，第i個等效源產生在第k個觀測點上的重力值為：

圖3 異常曲線圖

圖4 質量分布圖

其中，（Δgmk）i表示第 i個等效源產生在第 k個觀測點上的引力場垂直分量； mi為第 i個等效源的質量； R為等效源到地質體距離；（xi，zi）為等效源的中心坐標，（xk，zk）為觀測點坐標，（i=1，2，…，n，k=1，2，…m）；共有n個等效源，m個觀測點，通常m≥n。

令：

則式（1-1）簡記為：

按照場的疊加原理，第k個觀測點上的引力場垂直分量應為所有等效源產生在該點上的場值之累加求和，即為：

按等效源的定義，等效源產生在觀測點上的場值應與觀測值相同，設實測值為g0，即已知測點有m個，可列出m個方程式如下：

上述方程組未知數為m1，m2…mn共n個，而方程式有m個，因mn，所以為一超定方程組，一般求其最小二乘意義下的近似解，即目標函數 Φ為極小的解m1，m2…mn。

從而歸結為求解多元函數的極值問題。這里我們采用解病態方程組效果較好的奇異值分解法直接求解式（3），從而得到等效源參量分布。

3 理論模型

對于一些截面接近圓形并且在水平方向上延伸比較長，如扁豆壯礦體、兩翼較陡的長軸向斜和背斜研究它們的異常時，在一定誤差范圍內，可以把它們當成水平圓柱體。對于無限長水平圓柱體引起的異常，完全可以當作剩余質量集中在中軸線上的物質線看待［8］。本文就用水平圓柱體作為理論模型。在水平地形下設計五個大小一致，埋深相同，密度均勻分布的水平圓柱體作為將要反演密度體的理論模型。模擬水平地形水平圓柱體的中軸線x、z坐標分別為（500，1200）、（500，1600）、（500，2000）、（500，2400）、（500，2800），模擬山脊水平圓柱體的中軸線x、z坐標分別為（500，1200）、（500，1600）、（500，2000）、（500，2400）、（500，2800），半徑均為100，相對圍巖的密度差都為-2.67g/cm3。

首先正演出五個模型體的理論異常如圖1，a為模擬水平地形，b為山脊地形。由圖1可知：由于水平圓柱體質檢的距離較小，各個圓柱體的異常相互疊加，從整個異常曲線辨別是哪種模型引起的異常。根據此異常分布很難給出模型的個數及反演參數的初值。我們根據理論異常做等效源反演。

首先，在深度為500，x為0-4000的范圍內，從0開始以20為間隔設計201個等效源。用SVD解方程求出等效源的質量分布，畫出質量分布圖2，a為水平地形，b為山脊地形。由圖2看出，等效源質量分布位置與理論模型的位置相吻合。根據等效源的質量分布，做出異常曲線圖3，可以看出與模型產生的異常曲線一致。

4 實際資料處理與結論

實際處理要比理論模型復雜的多，一是因為數據采集過程中存在誤差，而是實際的地質情況本身就非常復雜。現以某礦的一條剖面作為應用實例。測線為南北走向，長20公里，點距為40米，把野外數據做各項改正后得到重力異常曲線，通過反演得到質量分布圖4。由圖可以看出，反演得到的質量分布圖與重力異常分布位置對應。

通過對二維重力反演成像在理論模型和實際資料中的應用研究，等效源法在二維密度反演成像中的效果在實際資料中得到了證實，在二維密度反演中，等效源反演要比一般方法簡便，計算速度快，并能有效提高解釋的精度。

［1］陳佩良，江玉樂.重力學教程［M］.地質出版社，2005.

［2］江玉樂，雷宛.地球物理數據處理教程［M］.地質出版，2006.

［3］馮敬英，周煕襄.等效源模型反演方法的效果［J］.成都地質學院學報，1987（2）.

［4］David A. Emilia.Equivalent Source Used as An Analytic Base for Processing Total Magnetic Field Profiles［J］.Geophysics.1973.（38）：339-348

［5］曾華霖，闞筱玲，謝婷婷，等重磁勘探反演問題［M］.石油工業出版社，1991.

［6］鐘本善，周熙襄，沙椿，等效源法在重磁異常解釋中應用的進一步探討［J］.物探與化探，1986（3）：201-204.

［7］艾瑛，等效源重力反演成像的研究與應用［D］.成都：成都理工大學，2013.

［8］羅孝寬，郭邵雍.應用地球物理教程-重力［M］.北京：地質出版社，1991.