長壽互換的運行機制與定價模型

謝世清

(北京大學經濟學院，北京 100871)

引言

近半個世紀以來，科技進步和經濟發展使得人們的生活水平日益提高，世界人口的年齡分布正發生著深刻變化，死亡率持續下降，逐步走向人口老齡化，并導致了系統性的長壽風險。對個體而言，可通過社會養老保險或年金來減輕生存期延長帶來的財務壓力。但對提供此類服務的年金保險公司而言，在投保群體中系統性存在的長壽風險難以通過大數法則進行分散。為吸收長壽風險的最終損失，年金保險公司需保證一定數量的經濟資本，但經濟資本占用將損害保險公司的盈利能力。因此，系統性長壽風險仍是年金保險公司亟待解決的問題。

近年來，長壽風險證券化已成為長壽風險管理領域中的重要創新，是壽險證券化中頗為活躍的領域。尤其是2008年國際金融危機后，在國際市場上不斷涌現出一些新產品，如長壽債券、長壽互換和q遠期合約等衍生品。其中，長壽互換是指一種交易雙方基于目標人群未來實際生存率和預期生存率之間的差異定期交換現金流的合約，是一種重要的長壽風險證券化產品。與長壽債券相比，長壽互換有著交易成本低、操作簡捷、靈活性高等優勢，因此在金融市場具有較強的吸引力。

目前國外對長壽互換的研究主要集中在兩個方面：首先，在運行機制上，Lin and Cox (2005)[8]對觸發型長壽債券現金流進行了調整，率先設計出帶觸發機制的長壽互換。在其基礎上，Dowd et al.(2006)[7]進行了設計上的改進，提出了普通長壽互換；其次，在定價方法上，Dowd et al.(2006)[7]、Dawson et al.(2010)[5]和Chang et al.(2010)[4]提出了對長壽風險進行Wang轉換的定價解析式。國內關于長壽互換的研究甚少，本文旨在對長壽互換的運行機制和定價模型進行分析，以填補這一領域的缺失。

長壽互換的市場發展

一、長壽互換的市場發展情況

2008年7月，J.P.摩根向加拿大壽險公司發行了第一筆長壽互換合約。該長壽互換合約的面值為5億英鎊，有效期40年。該長壽互換與q遠期合約相比有三點顯著區別：(1)不與市場公開發布的死亡率指數掛鉤，轉移的是加拿大壽險公司英國年金業務中12萬5千人以上年金受益人實際的長壽風險；(2)不是風險價值的對沖工具，而是每年的現金流對沖工具；(3)長壽風險通過J.P.摩根直接轉移到資本市場投資者(Blake et al., 2013)[2]。

與長壽債券市場相比，長壽互換的市場發展非常迅速。繼2008年加拿大壽險公司和J.P.摩根簽訂了第一筆長壽互換合約以后，全球又進行了多筆長壽互換交易。其中，僅在英國市場上就有6筆發行到資本市場。如表1所示，2008～2012年，英國市場上長壽互換發行面值總額達到76億英鎊。其中，最大規模面值的長壽互換發行金額高達30億英鎊，是勞斯萊斯公司2011年11月針對英國分公司養老計劃的長壽互換。

值得注意的是，長壽互換還有另一種再保險性質的長壽互換。第一筆再保險性質長壽互換于2007年4月發行，交易雙方為瑞士再保險和英國壽險公司Friends Provident，其長壽風險來自于Friends Provident在2001～2006年間簽訂的包含7萬余人、總額為17億英鎊的養老金合約。再保險性質的長壽互換并非真正的資本市場工具，其風險轉移也僅限于再保險公司。限于篇幅，本文只討論將長壽風險轉移到資本市場的非再保險性質的長壽互換。

與長壽債券相比，長壽互換具備一些顯著優勢：(1)長壽互換的發行成本較低，且相對更易取消；(2)作為柜臺交易的產品，長壽互換能按照投資者特殊的長壽風險管理需求為其“量身定做”，比債券更能適宜多變的市場環境；(3)長壽互換的發行并不依賴于有較強流動性的市場，其發展的動力來源于承受死亡率風險的交易雙方的相對優勢，或交易雙方對未來死亡率不同的看法(Dowdet al., 2006)[7]。

表1 2008～2012年發行到資本市場的長壽互換 (單位：百萬英鎊)

二、市場發展的推動與障礙因素

長壽互換市場發展的推動因素主要有以下三個方面：首先，長壽互換能夠為年金保險公司提供多種風險管理手段：(1)不同國家或地域人群的死亡率之間的相關性較低，跨境的長壽互換能夠實現對不同人群的長壽風險進行多元化經營管理；(2)不同年齡段人群對年金產品的需求不同，通過長壽互換可使年金保險公司獲得不同年齡段的長壽風險暴露，對其死亡率期限結構進行調整；(3)長壽互換還包括死亡率差額互換、跨幣種長壽互換、以非死亡率指數為標的的長壽互換以及內含期權的長壽互換等(Dowd et al., 2006)[7]。

第二，長壽互換也受到投資銀行等金融機構的青睞。首先，長壽互換是基于年金保險公司承受的長壽風險發展而來的金融衍生品，而目標群體的死亡率與宏觀經濟運行并無顯著聯系(Beta較低)，所以金融機構會利用長壽互換來分散風險。與此同時，投資銀行通過與保險公司進行長壽互換并同時發行死亡率債券，可獲得較高的中間利潤。所以，長壽互換受到市場金融機構的廣泛關注。

第三，長壽互換等非標準化合約與債券等傳統場內工具能相互匹配并充分管理長壽風險。首先，場內市場交易具有流動性、交易機制設計等方面的優勢。場內市場可設計標準化合約、設置死亡率指數，以增加合約最終使用者數量和類型，從而將各種信息和預期迅速反映到市場競爭中，提高市場透明度和風險配置效率。而場外市場可為投資者量身設計用以對沖系統性死亡率風險的非標準化合約，從而有效降低“基差風險”。

另一方面，長壽互換市場發展還存在三點障礙因素：(1)長壽互換交易屬于場外市場交易，其交易成本相比標準化的場內交易合約而言更高；(2)長壽互換也容易產生一定的違約的信用風險；(3)由于長壽風險目前還難以用模型精確地刻畫，很難保證對長壽互換進行精準的建模定價，難以使互換雙方的損失與收益互惠對等。

長壽互換的運行機制

長壽互換(longevity swaps)是針對目標人群潛在長壽風險的雙方協議。互換雙方約定在協議到期前，基于目標人群未來實際生存率和預期生存率之間的差異而定期交換現金流。Dowd et al.(2006)[7]首先提出了普通生存互換(vanilla survivor swaps)概念，通常簡稱為長壽互換(longevity swaps)，即互換一方以固定現金流交換另一方根據實際生存率水平決定的浮動現金流。此外，Sweeting(2007)[9]、Biffis and Blake(2009)[1]和Chang et al.(2010)[4]等也對長壽互換進行過研究。

Lin and Cox(2005)[8]對觸發型長壽債券現金流進行了調整，率先設計出帶觸發機制的長壽互換。他們首先將長壽債券中年金保險公司期初支付的費用平攤為有效期內的一系列固定現金流，投資銀行每年依據實際生存率和觸發閾值來確定支付給年金保險公司的實際浮動現金流。這樣便構成了由固定支付與浮動支付組成的長壽互換。

在Lin and Cox(2005)[8]的研究基礎上，Dowd et al.(2006)[7]提出了長壽互換，其運行機制如圖1所示：每年，年金保險公司(長壽風險對沖機構)從投資銀行(長壽互換提供商)處獲得浮動現金流Bt，即根據年金保險公司保單池真實死亡率或市場公開死亡率指數計算出來的支付額。相應地，年金保險公司每年向投資銀行支付固定額(1+π)Ht，其中，Ht為根據生命表中目標人群的預期生存率，π為互換價格。

假設年金保險公司保單池內被保人年齡為X，人數為lx，則t年后保單池內被保人數為lx+t，每人每年收到的年金金額為h。因此，年金保險公司在保險市場上每年給付給保單受益人的年金總額為lx+t×h。假設互換合約不存在基差風險，則有Bt=lx+t×h。

一般而言，互換雙方每年只交換凈現金流，即如果(1+π)Ht大于Bt，則年金保險公司將向投資銀行支付凈現金流((1+π)Ht-Bt)；若(1+π)Ht小于Bt，則投資銀行將向年金保險公司支付凈現金流(Bt-(1+π)Ht)；當(1+π)Ht等于Bt時，該互換在t時刻凈現金流為零。綜合考慮年金保險公司在保險市場和長壽互換中的各現金流，可得每年總凈現金流出為：lx+t×h+(1+π)Ht-Bt=(1+π)Ht。

圖1 長壽互換的運行機制

上式中，(1+π)Ht在期初互換協議簽訂時便已確定。由此可見年金保險公司通過長壽互換可使每年的總凈現金流出確定，避免了隨機風險，從而能夠對長壽風險進行對沖。若在一定時期內目標人群的壽命大于預期水平，年金保險公司雖然因原始保險市場上的年金支付金額增加遭受損失，但可被與此同時在長壽互換上的收益所對沖。因此，該長壽互換可以使年金保險公司對其所面臨的長壽風險實現長期而又“量身定做”的對沖。

然而，長壽互換中年金保險公司承擔著基差風險。如果浮動現金流與市場指數掛鉤，而不是由保單池真實生存率決定，即Bt往往不等于lx+t×h。若保單池真實生存率高于市場同期水平，年金保險公司則不能對沖所有長壽風險。因此，如何對基差風險進行有效的測量和控制對長壽互換市場的發展十分重要。Sweeting(2007)[9]在給互換定價時考慮了基差風險，并認為當標的保單的被保人壽命不小于市場指數相關人群的壽命時，基差風險將很小。

值得注意的是，長壽互換與金融市場上的利率互換類似，兩者都是固定現金流和浮動現金流進行交換，但兩者存在著以下三點差異：(1)利率互換的固定現金流數額在到期日前通常保持不變，但長壽互換的固定現金流數額通常隨著時間推移由于預期年金支付額的減少而下降(見圖2)；(2)與利率互換浮動現金流掛鉤的市場指數一般是市場利率指數(如LIBOR)，而與長壽互換浮動現金流掛鉤的市場指數一般是死亡率指數；(3)由于貨幣市場流動性高、利率期限結構完整，所以可用無套利方法對利率互換進行定價，而長壽互換市場是不完整的，基本不用該法對其進行定價(Dowd et al., 2006)[7]。

圖2 長壽互換現金流示意圖 (單位：百萬美元)

長壽互換的定價模型

金融市場中的利率互換可以采用資本資產定價模型(CAPM)和無套利方法進行定價。但由于長壽互換市場的不完全性，這兩種定價方法并不適用于長壽互換。目前，國外學者主要采用Wang轉換定價法(Lin and Cox,2005; Dowd et al., 2006; Chang et al., 2010)[8][7][4]和風險中性定價法(Cairns et al., 2006; Dawson et al., 2010; Deng et al., 2012)[3][5][6]對長壽互換和長壽q遠期合約進行定價。本文采用單因子Wang轉換定價法推導長壽互換的具體定價解析式。

一、Wang轉換方法

首先，闡述單因子Wang轉換定價方法。Wang(2000)[10]假設FX(x)=Pr(X≤x)是隨機變量的累積概率分布函數，0≤FX(x)≤1，λ為風險的市場價值，Φ(x)為標準正態分布的累積概率分布函數，則單因子Wang轉換算子為：

其中，λ能夠根據市場上可交易的金融資產的價格進行計算。假設壽險年金市場中第t年的生存率的隨機分布為pt，記F(pt)為其累積概率分布函數，則通過Wang轉換后的生存率累積概率分布函數為：

二、服從OU過程的生存指數模型

其次，采用帶Ornstein-Uhlenbeck(OU)跳過程的死亡率序列來刻畫生存指數(尚勤，2008)[11]。假設隨機計數過程N是雙隨機的，強度為λ(與前文中的風險市場價值不同)，則Ns-Nt服從參數為的泊松分布。假設期初壽命為x的人群的未來壽命Tx服從強度為λx的雙隨機停時，即強度為λx的隨機計數過程N的首次跳躍時刻為Tx，且當時Tx＞t,Nt=0，當Tx≤t,時，Nt＞0，則生存函數可寫為：

再設λx服從帶跳的OU過程，即：

其中，W(t)是標準布朗運動；J(t)是純復合泊松跳躍過程，泊松到達強度為l＞0，跳躍幅度服從均值為μ＜0的指數分布，且布朗運動、泊松過程以及指數分布彼此相互獨立。

在λx服從具有上述特征的分布的基礎上，根據式(4)，生存概率t Px可以表述為：

其中，A(t)和B(t)需要通過解下列常微分方程組得出：

當邊界條件為A(0)=0，B(0)=0時，求解可得：

這樣，生存概率t px可以進一步表述為：

三、長壽互換定價解析式

最后，根據年金保險公司在長壽互換中的現金流特征來計算長壽互換的價格。借鑒Dowd et al.(2006)[7]的研究，年金保險公司對投資銀行每年支付固定金額(1+π)Ht，其現值為年金保險公司從投資銀行每年獲得浮動金額Bt，其現值為為第t年的貼現因子。互換協議在簽訂之初對互換雙方的價值均為零，所以固定現金流現值必須與浮動現金流現值相等，即因此，可得到長壽互換的價格π為：

不難看出，通過式(10)求解互換價格π的關鍵在于推導出經過Wang轉換后的浮動現金流的期望值E*(Bt)，以下借鑒Lin and Cox(2005)[8]的研究，在長壽互換的現金流交換機制中加入生存率閾值這一觸發條件，對E*(Bt)進行推導：

假設lx+1為x歲的目標人群第t年的實際隨機生存概率；Xt為第t年生存率閾值，并假定有一個確定的生存率上限C。同時，假設年金保險公司出售的n份年金保單每份的年支付額m相同，所以當前所有年金支付總額為I=m×n，則可知年金保險公司在第t年的年金支付額為I×lx+1。當第t年的實際生存率lx+1大于閾值Xt時，年金保險公司根據互換協議從投資銀行獲得超出觸發條件的年金支付額；當第t年的實際生存率lx+1達到并超過上限C時，年金保險公司可以獲得一個固定的數額。

借鑒Lin and Cox(2005)[8]的研究，年金保險公司第t年從投資銀行獲得的浮動現金流Bt可表達為：

將上式右邊的I移到左邊，即可得到：

對上式兩邊求期望可得：

其中，lx+t為隨機數，服從初始生存率lx與未來生存率t px的二項分布，由于lx是確定數值，因此lx+t的隨機性來自于式(10)的t px。因此式(13)中的結果取決于經過Wang轉換后的生存率即根據中心極限定理可知，當lx很大時lx+t的隨機分布無限趨近正態分布。因此，當lx很大時，

由于給定隨機變量X，且E(X)＜+∞，則有：

其中，F(x)=Pr(X≤x)。假設X服從標準正態分布，則式(14)可改寫為：

φ(k)和Φ(k)很容易計算，并且由于lx+t近似服從正態分布近似服從標準正態分布。因此，利用式(16)和經過Wang轉換后的參數μ*和σ*便能計算出

因此，將式(17)和式(18)代入式(13)整理可得第t年浮動現金流Bt經過Wang轉換后的期望值為：

最后，將式(19)代入式(10)可得到長壽互換的價格為：

結語

長壽互換是一種雙方協議，互換雙方針對未來長壽風險規定一次性或定期交換現金流，并且至少有一方的現金支付額是變動的。通過觸發機制，年金保險公司采用長壽互換可以有效地對沖所面臨的長壽風險，從而能提高年金保險公司的承保能力。對長壽互換進行準確的定價，對長壽互換市場的發展至關重要。由于長壽互換市場的不完全性，不能采用傳統金融工具的資本資產模型和無套利方法進行定價。目前國際上對長壽互換定價研究集中于不完全市場定價法——Wang轉換定價法和風險中性定價法。

目前我國人口的平均壽命不斷延長，人口老齡化問題日益嚴重。我國社保基金已出現大規模的虧空，延遲退休年齡或成為必然的選擇。而壽險公司也將面臨養老年金產品支付期大大延長的長壽風險。如何提高壽險公司的長壽風險管理能力，成為了亟待解決的重要問題。與長壽債券相比，長壽互換有一定的獨特優勢。因此如何開發適合我國國情的長壽互換產品，對于我國具有重大現實意義。本文系統分析了長壽互換的運行機制與定價方法，希望能夠引起國內業界和學術界對長壽互換的關注與研究。