帶時間窗報童問題的供應鏈協調優化

陳 歡， 李 芳

（上海理工大學 管理學院，上海 200093）

報童問題模型是歐美等發達國家研究的主要管理學模型，是典型的單階段、隨機需求模型.在不確定需求的時令性商品的銷售中，過量訂貨或不足訂貨都會產生損失，決策者需要確定商品的最優訂購數量，使得利潤最大化.由于服務業產品多數具備報童模型中的商品特征，隨著服務產業的發展，對于報童問題模型的研究越顯重要.

報童模型1956年首次提出后，就成為學術界的關注焦點，大量學者對此問題進行了研究.在報童問題的模型研究方面，Parlar等［1］在目標函數方面進行了擴展，研究了多目標的報童問題；Petruzzi等［2］和Erlebacher［3］擴展了經典報童問題中的定價決策；宋華明等［4］建立了決策變量為訂貨點及訂貨量的正態分布下時變參數的報童問題的數學模型；吳鵬［5］考慮了在回收再制造活動情形下的最優生產量的決策問題；黃宇菲等［6］研究了單位生產成本和單位缺貨懲罰成本對報童問題最優解空間的影響.在報童問題約束條件的擴展研究 方面，Vairaktarakis［7］研究了帶預算約束的報童問題；Chen等［8］將缺貨懲罰轉化為一個約束條件，研究正態分布下帶訂貨提前期決策的擴展報童問題；蔡清波等［9］構造了一個帶時間決策的推廣的報童模型，指出了需求函數的方差是時間的一個線性函數，這種考慮時間的方式，給以后的研究帶來了很大的啟示；蘇菊寧等［10］研究了制造商的生產成本增加量為對稱信息和非對稱信息條件下的收入共享契約.在供應鏈問題的研究方面，秦桂英等［11］為優化供應鏈的運作效率，分析了引入云計算的必要性并給出了具體的實施步驟；翟勇洪等［12］構建了閉環供應鏈下再制造的生產模型，方便企業選擇最優利潤決策；Larivier等［13］從渠道協調角度研究了供應鏈效率的影響因素.本文從供應鏈角度同時考慮了生產成本和預測精度兩個參數隨時間變化的報童問題，把缺貨損失和過量訂貨帶來的持有成本綜合考慮在目標函數中，并對供應鏈成員間的收益給出了優化協調方案.

1 帶時間窗的報童模型

傳統的報童模型不考慮時間因素對供應鏈決策的影響，決策者面臨的問題僅僅是如何確定最優的訂貨批量.考慮到參數隨時間變化的特征，訂貨時點也影響零售商的利潤，決策者還要考慮訂貨時點對自身收益的影響.因此，訂貨時點和訂貨量是帶時間窗報童模型中的兩個決策變量.本文通過引入帶時間窗的報童模型，縮短零售商的訂貨提前期，使得供應鏈對市場的需求預測更加準確，從而增加供應鏈的整體收益；并通過引入線性轉移系數θ，將零售商收益增加量的一部分轉移給制造商，從而實現供應鏈成員間收益的協調優化.

1.1 模型描述

考慮由一個制造商和一個銷售商組成的分散決策型兩階段供應鏈，生產銷售單一的季節性產品.例如時尚服飾的供應和銷售，在一個銷售期限內，零售商只進行一次訂貨，零售商的訂貨量依據對市場需求的預測和供應商發布的訂貨價格確定.

記X 為產品的市場隨機需求，X 是服從正態分布的隨機變量，X 的密度函數為f（x，t），分布函數為F（x，t），數學期望μ≡c，c 為常數，記標準正態分布的密度函數、分布函數分別為φ（y），Φ（y）.正常情況下，制造商在0時點訂貨，在帶時間窗的報童模型中，制造商與零售商達成壓縮訂貨提前期的契約，零售商此時只需在t 時刻提交訂單，此時供應鏈訂貨提前期被壓縮至T－t.記σ0，σt分別為0時刻和t 時刻零售商對需求預測的均方差.由于訂貨時點被壓縮至t 時刻，零售商可以在［0，t］時間范圍內獲取更多市場信息，對市場需求的預測精度提高，即σt＜σ0，由蔡清波等［9］的研究結果有σ＝

相關參數如下：

p 為單位產品的市場銷售價格；

c 為制造商的生產成本，c＝c0＋αt2；

c0為制造商的正常生產成本，即t＝0時的生產成本；

α 為提前期壓縮一個單位，生產成本的增加量（假設與訂貨批量無關）；

w 為制造商給予零售商的批發價格；

h 為存貨帶來的費用，如削價處理帶來的損失、庫存費用等；

s 為單位產品的缺貨損失；

T 為零售商從提交訂單到收到貨物的時間，即提前期；

q 為零售商的訂貨量；

θ 為收益線性轉移系數.

1.2 數學模型

在供應鏈中，由于供應鏈各成員間存在信息傳遞的不對稱性，從而導致需求放大現象的存在.本文主要研究基于提前期壓縮的供應鏈收益問題，主要討論時間和壓縮成本對供應鏈及其成員收益的影響.為方便研究，本文模型假定供應鏈上下游成員間信息是完全對稱的.因此，假設零售商的收益為Πr（q，t），則有

將式（1）簡化后，零售商收益為

制造商收益為

供應鏈的整體收益為

式中，F（q）是市場隨機需求q 的分布函數；μ 為正態分布函數的數學期望，μ≡c，c 為常數.

2 模型分析

式（2）中，固定變量t，分別對式（2）關于q 求一階微分和二階微分，有

由式（5）和式（6）可知，在訂貨時間t 時，存在最優訂貨量使得式（2）取得最大值，令則有

令變量

所以

由于在分散決策型供應鏈中，零售商的最優決策決定整個供應鏈的訂貨量，將式（8）和式（9）代入式（2）和式（4），可得零售商的最大收益為

供應鏈的最大收益為

令t＝0，可知零售商正常訂貨時，零售商收益為

供應鏈收益為

欲采用壓縮訂貨提前期的方式訂貨，則需要滿足壓縮提前期后的供應鏈收益不低于正常訂貨時的供應鏈收益，所以令Δ 為提前期壓縮前后的供應鏈收益變化，則有

即

由式（8）可知w＝（p＋s）－（p＋s＋h）Φ（z），其中，w∈［c0，p］.

令β＝（p＋s＋h）φ（z）－（w－c0）z，則

3 收益協調

與傳統不考慮時間因素的報童模型進行比較，帶時間窗的報童模型可以給供應鏈帶來更大的利潤.但是，零售商獨享了時間壓縮產生的“溢出”價值，制造商卻為此付出了更多的生產成本，導致了自身利潤的下降.所以，只有零售商將獲得的收益增量的θΔr轉移給制造商來彌補由于訂貨提前期縮短帶來的利潤損失，制造商才會接受零售商縮短訂貨提前期的契約.因此，必須對供應鏈成員間的收益作出協調.

壓縮訂貨提前期后，零售商的收益增加量Δr為

對供應鏈收益協調后，制造商的收益為

由Δm＋θΔr≥0，可知

4 數據分析

通過數值算例對上述結果進行驗證，在本文模型的假設條件下，假設c0＝20，w＝40，p＝60，T＝40，h＝10，s＝60，μ＝100，σ0＝20，σT＝4.

4.1 α 與時間t的關系分析

計算t 在［0，60］范圍內變化時，供應鏈可承擔的最大單位趕工成本增加量，由0 ＜α ＜可知，α 的最大臨界值為所以令隨訂貨時間點t 變化的情況如圖1所示.由圖1數據可知，供應鏈可接受的最大單位趕工成本系數隨訂貨時點的增大而減小，所以在單位趕工成本系數已知的情況下，零售商的訂貨時間點不是越大越好，在帶時間窗的報童模型中存在最佳的訂貨時點.

圖1 訂貨時點對最大單位成本增加系數的影響Fig.1 Influence of ordering time on the biggest unit cost increase coefficient

4.2 最優訂貨量與供應鏈收益增長率

設定μ，t 為變量，考慮在μ 分別取μ＝100，105，110時，供應鏈的最優訂貨量隨訂貨時間點t變化的情況，由式（9）可知＝μ＋zσt＝μ＋所以可得在不同μ 值情況下隨t 的變化情況如圖2所示.

圖2 不同訂貨時點下零售商的訂貨量Fig.2 Retailer’s ordering quantity under different ordering time

由圖2可知，隨著訂貨時點的增加，供應鏈中的企業對市場需求的預測更加準確，所以零售商的訂貨量隨訂貨時點的增加而減少.此外，訂貨量隨需求函數數學期望的增加而增加.供應鏈收益增長率設定單位成本增加系數α＝0.001 5，則在μ 取不同值時供應鏈收益增長率隨訂貨時點的變化如圖3所示（見下頁）.由圖3可知，在一定訂貨時點范圍內供應鏈收益增加比例隨訂貨時點的增加而增加，即適當壓縮供應鏈訂貨提前期可以增加供應鏈收益.

圖3 不同訂貨時點下供應鏈的收益增長率Fig.3 Earnings growth of supply chain under different ordering time

4.3 收益協調系數θ與時間t的關系

圖4 訂貨時點對收益轉移系數的影響Fig.4 Influence of ordering time on income transfer coefficient

由圖中數據可知隨著訂貨時點的增大θmin隨之增加，說明制造商因為壓縮訂貨提前期付出了更多的趕工成本，所以零售商需要將更多的額外收益轉移給制造商來彌補制造商的損失.訂貨時點超過一定值后，轉移系數大于1，此時供應鏈收益出現下降，所以確定最優提前期壓縮量是確保供應鏈及其成員收益增加的關鍵.

5 結 論

討論了帶時間窗的報童決策模型，從供應鏈的角度來進行優化，通過對供應鏈及其成員建立收益模型，進行數值分析，并與傳統的不考慮時間因素的報童模型進行比較，得出壓縮供應鏈的訂貨提前期的報童問題比傳統報童模型可以給供應鏈及其成員帶來更大的利潤.在供應鏈整體收益增加、制造商生產成本增加的情況下，通過引入線性轉移支付系數，實現了制造商與零售商的收益協調.本文假設零售商與制造商的信息是完全對稱的，沒有考慮信息不對稱情況下的收益變化及協調，在以后的研究中可以考慮非對稱信息下的報童問題.

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