中國外出農民工歷史的測算與未來的趨勢

顧樂民

（同濟大學，上海 200092）

中國外出農民工歷史的測算與未來的趨勢

顧樂民

（同濟大學，上海 200092）

由于缺乏成熟的農民工統計制度，對于改革開放30多年來，每年我國外出農民工的數量，約40%年份的數據是缺失的。最小一乘解，是在全部數據中依據準則選取特征數據來實現的。將農民工數量中3個權威數據作為最小一乘法特征數據，按照最小一乘準則，繪制出我國改革開放以來外出農民工數量的變化曲線。結果表明，30多年來我國外出農民工數量的增長可以用Richards生長模型和一種新的指數＋冪指數混合生長模型來共同描述；增長過程是一個沒有峰或谷的連續遞增，在1995－1998年間出現一個變化的拐點，使加速的增長轉變為減速的增長；2014年外出農民工數量將達到1.71億，按1.6倍率相乘，農民工總數為2.73億；按目前發展趨勢2021年外出農民工數量將出現高點1.88億，折算成農民工總數為3.0億，之后將呈現緩慢下降趨勢。

外出農民工；最小一乘法；曲線擬合；預測

文獻著錄格式：顧樂民.中國外出農民工歷史的測算與未來的趨勢［J］.浙江農業科學，2015，56（1）：130－136.

DOI 10.16178／j.issn.0528?9017.20150142

農民工是中國工業化、城市化與農村人口在非農化沒有同步發展的歷史條件下產生的一個獨特的社會群體［1］。于20世紀80年代出現的農民工，是改革開放進程中出現并迅速成長起來的一支新型勞動大軍，是現代產業工人的主體，是中國現代化建設的重要力量。農民工隊伍的產生和不斷壯大，對改變農村面貌做出了特殊的重要貢獻，成為推動中國經濟發展和社會結構變革的巨大力量［2－3］。但是由于沒有成熟的農民工統計制度，對于30多年來我國農民工的數量，約40%年份的數據是缺失的，存留的數據中也有不少是矛盾的，誤差在15%的居多，有的甚至達近30%。

關于農民工歷年數量變化的資料雖然能找到或估算出［4－5］，但總體是不全的。農民工數量數據的缺失會造成一些分析難以或無法進行，統計數據之間的矛盾也會使各種分析變得有爭議。因此補全缺失的數據，糾正矛盾的數據，可以更好地為分析農民工其他問題服務，具有一定的理論和實用價值。

數據是不能憑空構造的，農民工數量的變化規律也是客觀存在的，將這種規律用數據形式表達是可能的。如果在存有的數據中隱含若干重要數據，即統計過程中具有很高置信度、被公認的、已被廣泛接受的權威數據，發現并找出它們，以這些數據為主線，就能勾勒出一條能較準確反映農民工發展過程的曲線。它不僅能成為農民工數量變化規律的一個很好的近似，還可以用數學上的內插法，補全缺失的相關數據，糾正有矛盾的數據，并延伸到其他農民工的各種分析服務上。

最小一乘準則是關于誤差絕對值之和極小化的準則，源于18世紀天文學子午線長問題的古典研究，從歷史上看比最小二乘準則還早了40多年。但如何在該準則基礎上建立并實現回歸算法是個難題，成為困擾數理界200多年未解的難題，也形成了延續至今的對最小一乘準則的各種研究，并逐漸形成了以該準則為基礎的最小一乘法。近年來，由于最小一乘解的實現問題有了大的突破，使得最小一乘法在各領域中迅速得以應用，成為繼最小二乘法之后一個既古典又新穎的方法［6］。最小一乘解的實現過程與最小二乘解有很大區別，最小二乘法是全部數據都必須參與的捆綁式的處理方法，而最小一乘法則是通過全部數據選出若干個特征數據的代表式的數據處理方法。最小一乘法的這種數據處理方式，為農民工數量問題的解決提供了一個極為相近的思路與方法，將最小一乘法需要的特征數據與統計學中的重要數據聯系起來，就有可能繪出一條最小一乘準則下的農民工數量的變化曲線。

廣義最小一乘法是最小一乘法的一個推廣［7］，是合理運用最小一乘法基于的零誤差原理，并加以推廣至關鍵數據位，使關鍵點位數據成為最小一乘特征數據的一種方法。所謂關鍵點就是特別關心的重要數據點，是不希望出現誤差或誤差盡可能小的點。例如力峰值點、機床加工特殊點、目標到達點、預測的未知點等。如果將農民工數量統計中的重要數據點視為關鍵點，那么關于農民工數量變化曲線的建立不僅有了理論依據，也成為可能。

Richards模型是1955年Richards在von Bertalanffy生長模型的基礎上經一般化處理后提出的一個著名的生長模型［8］，也常用于人口增長的描述。通過參數變化可演變為Mitscherlich、Gompertz、Logistic這3個生長模型，使之成為Richards模型的3個特例。Richards曲線是一個具有漸近線功能的S形曲線，能推算出當時間→∞條件下增長的極限量。數據處理表明由于含有4個參數，使得Richards模型比另外3個模型具有更小的曲線擬合誤差，在本研究中將Richards模型作為主要的數學模型之一。

此外，在本研究中還將介紹一個新的生長模型，冪指數＋指數混合型生長模型，一種既有冪指數功能又有指數功能，既有漸近線功能也有極值功能的新生長模型，用于克服Richards模型中不具有極值的局限。在廣義的增長、發展、生長過程中，時間→∞條件下的極限增長往往不一定都存在，當增長趨于停滯往往預示著外部條件或內在因素無法再起作用，此時只有2種可能，一種是趨于消亡，例如植物的生長；另一種繼續維持生存，則必然朝著新的循環尋找出路，通過表觀下跌找到新的平衡。新模型中這2種趨勢都有可能出現，依賴于給定的是什么類型的數據，所以具有很強的適應性和指示性。極大值和極限值的雙重現象可能更符合客觀世界的一般生長規律，也可能更符合農民工未來發展的趨勢，在本研究中也將該新模型作為主要的數學模型之一，與Richards模型一起共同用于分析農民工的數量增長問題。

1 原理與方法

表1是國家4部門給出的1983－2007年間主要年份外出務工的農民工數量數據［3］。

表1 改革開放以來主要年份外出務工的農民工數量萬人

1.1 最小一乘法

數據（xi，yi）i＝1，2，…，m是隱函數y（x）在有定義的區間內給出的m個離散點組，為找到隱函數y（x），設擬合函數f（x）＝f（x，a），其中參數a＝（a1，a2，…，an），n≤m，而a1，a2，…，an為n個不全為0的實數。為使f（x）盡可能接近y（x），設誤差函數r（x）＝y（x）－f（x），而誤差值（xi，ri）是誤差函數r（x）上的具體數值：

ri＝yi－?（xi，，a）i＝1，2，…，m。

曲線擬合的最小一乘法，是依據誤差ri＝yif（xi，a）的絕對值之和為極小的準則來選擇參數a，即依據Q＝Q（a）＝min而構成的一種曲線擬合法。

1.2 平均絕對誤差Mae、平均絕對百分誤差Mape、曲線擬合誤差

平均絕對誤差Mae是最小一乘法一個重要的絕對量值指標：

平均絕對百分誤差Mape是最小一乘法一個重要的相對量值指標：

在曲線擬合中，平均絕對百分誤差常被稱為曲線擬合誤差，在后文中將應用該術語。

1.3 最小一乘解

如果最小一乘的解存在，即存在a＝a?使則至少存在n個零誤差點x1，x2，…，xn使yj－f（xj，a?）＝0，j＝1，2，…，n。

稱參數a?為最小一乘最佳擬合參數，上標用?表示，稱f（x，a?）為最小一乘最佳擬合方程，它們構成了最小一乘法的一般解。

1.4 零誤差以及最小一乘法、最小二乘法、廣義最小一乘法在數據處理方式上的差異

所謂零誤差就是沒有誤差，或誤差為0。在實際計算過程中由于計算機的浮點運算功能是有限的，所以常將很小可以忽略不計的絕對值誤差作為零誤差處理。從1.3節可以看出，最小一乘法是通過n個零誤差點處的零誤差來獲得最小一乘解的，這種求解方式是最小一乘法獨有的。但不是任意n個數據都可以成為零誤差數據，而是需要通過選優的方式，在m個都有可能成為零誤差的數據中，擇優選出能使誤差絕對值之和極小的n個數據作為零誤差數據。這個由全部m個數據都參與，選出n個數據作為全部數據的代表的數據處理過程可用一個通俗的語言代表式的數據處理方式來描述，而選中的n個數據就成了代表數據。

最小二乘法的數據處理過程要求全部數據都參與，得到的結果是集體貢獻的組合性結果，是一種捆綁式的數據處理方式。如果在數據缺失情況下應用該法，得到的結果會產生一定的片面性。

廣義最小一乘法具有相當大的靈活性，它吸收了最小一乘法的零誤差原理，卻不苛刻要求誤差絕對值之和必須極小，以部分犧牲極小化結果的代價換取對應用條件的寬松。例如，最小一乘法規定的n個特征數據具有唯一性的特征，是不能任選的；但是廣義最小一乘法可以根據實際需要，人為確定2個數據為特征數據，另外（n－2）個數據由最小一乘準則來選取。這種用抬高或犧牲誤差絕對值之和極小的代價換取對關鍵數據的保護的最小一乘法就是廣義最小一乘法，是最小一乘法的一個推廣。

1.5 原始數據中的重點數據

在表1給出的1組原始數據中，可以確定以下3個數據為重點數據：1983年外出農民工數量200萬，這是一個被公認的歷史性數據，該數據之后的多個數據是缺失的；1996年外出農民工數量7 223萬，該數據為第一次全國農業普查數據，具有很高的置信度和權威性，由于該數據之前的多個數據是缺失的，它定位的重要性就尤為突出；2006年外出農民工數量13 181萬，該數據為第二次全國農業普查數據，也具有很高的置信度和權威性，該數據之前是多個矛盾數據，如果需要糾正矛盾數據，它的定位作用就十分重要。

這3個數據的一個共同特征是它們分別代表了相應的年代（80，90，00年代），使得重要數據在時間分布上比較均勻且合理。除這3個數據外，其他的數據均作為一般數據處理。2008－2013年的數據有6個在表1中并沒有列出，這6個數據具有很高的置信度，但這6個數據集中在最近的6年，數據是連續的、不缺失的、無矛盾的，所以這6個數據屬于權重相等的一般數據。

1.6 Richards生長模型

Richards生長模型是一個具有漸近線功能的S形模型，模型中的4個參數用a1，a2，a3，a4簡化表達：

當時間x→∞，e－a3x→0，所以參數a1表示為極限量。

1.7 冪指數＋指數混合型生長模型

冪指數＋指數混合型生長模型是冪指數模型與指數模型簡單組合而構成的一個混合型模型，用g（x）＝g（x，b）表示，其中參數b＝（b1，b2，b3，b4）。

g（x）＝g（x，b）＝b1xb2＋b3eb3x。

g（x）的變化率即為1階導函數g′（x），g（x）的2階變化率即為2階導函數g″（x）：

式中都是超越方程，令g′（x）＝0通過牛頓迭代法得到0點是g（x）的極大值點；令g″（x）＝0通過牛頓迭代法得到的0點是g（x）的拐點，因篇幅關系不展開對該生長模型的擴展性討論。

2 數據處理

表2中第1列是序號，共18個，第2列是年份，第3列是1983－2013年我國外出農民工數量實際數據，為母系列，其中2008－2013年的6組數據是國家統計局通過人民網財經頻道公布的國家數據［9－10］，缺失年份的數據有13個（1984，1985，1986，1987，1988，1990，1991，1992，1994，1997，1998，1999，2007年）。因最小一乘法解的實現是一個十分繁復的計算，文中略去所有的計算過程，只給出計算的結果。

依據上述的討論，在最小一乘準則下得到的Richards方程為：

對數據處理的結果見表2第4列，表中第5列為絕對誤差（萬），第6列為相對誤差（%）。位于i＝1，5，12，18的誤差是零誤差點，相應的年份是1983，1996，2006，2013年。Richards方程獲得了平均絕對誤差Mae＝386.8（萬）和曲線擬合誤差Mape＝4.73%的條件極小化的結果。

在最小一乘準則下得到指數＋冪指數混合模型方程為：

對數據處理的結果見表2，其中第7列為擬合值，第8列為絕對誤差，第9列為相對誤差。位于i＝1，5，12，15的誤差點是零誤差點，相應的年份是1983，1996，2006，2010年。冪指數＋指數混合模型獲得了平均絕對誤差Mae＝351.3萬和曲線擬合誤差Mape＝4.36%的條件極小化的結果。

由表2可以說明以下幾點：

1）4個零誤差點是31年間（1983－2013年）外出農民工數量變化的4個重要數據點，分別在80，90，00，10年代出現，比較均衡。假設這4個重要數據是全部31個數據（含缺失的13個數據）的代表數據，那么最小一乘法依據這4個數據獲得的解，即獲得的曲線擬合方程就可以認為是31年來我國外出農民工數量變化的一個近似規律。

2）如果假設不成立，那么就必須從給定的數據中，另外選出4個代表數據，并獲得相應的解。文中不展開重新選擇數據的探討，因為這種對比將涉及大量的計算和討論，所以文中認定給出的假設是成立的。

3）2個生長模型的數據處理有相同點，都認為2000年和2001年的數據誤差較大，它們的相對誤差都超過了20%，所以需要修正。

4）根據國家統計局給出的我國外出農民工與農民工總數的比例，多年來一直在1∶1.6左右，由Richards方程給出的外出農民工的極限數量為28 282.892萬，按1.6倍率推算，我國農民工總數的極限量為4.53億，這個結果超出了實際可能的范圍。根據《中國農村統計年鑒》數據，截至2010年，我國農村勞動力的資源為46 875萬人［5］，Richards模型給出的理論結果接近該值，但不可能都轉化為農民工，所以事實不可能實現。從意義上說Richards模型給出的數據處理結果只能作為參考，同樣對于Mitscherlich，Gompertz，Logistic等模型，給出的結果將產生大的偏差而不合實際情況，這里從略。

5）相比之下，冪指數＋指數型混合模型比較符合實際的人口變化情況，且2個重要的曲線擬合指標Mae和Mape都要較Richards模型小些，所以在后文的分析中將主要運用該模型。

3 數據分析

3.1 預測的零誤差經驗法則

預測的零誤差經驗法則適用于數值逼近［11］。大量試驗表明，在數值逼近中若將端點xm處的數據值（xm，ym）設定為零誤差，即ym－f（xm）＝0。則對于未知的數據（xm＋1，ym＋1）的預測具有較為準確的結果。

在數值逼近中，數據值的隨機誤差一般較小，函數方程越接近0點其誤差絕對值就越小，如果端點前數據的誤差rm－1＝ym－1－f（xm－1）的絕對值誤差很小，而端點處的誤差為0，rm＝ym－f（xm）＝0，按照曲線延伸的慣性原理，則端點后數據（xm＋1，ym＋1）的誤差也不會大，這為預測數據（xm＋1，ym＋1）引入的預測誤差必定很小。如果再對預測進行一種誤差補償，將誤差值rm－1簡單疊加在預測值f（xm＋1）上，即有ym＋1＝f（xm＋1）±rm－1，則預測結果將更接近實際真值ym＋1。

這個經驗法則雖適用于數值逼近，但對于統計學數據而言，當數據的隨機誤差不是很大，依然可以簡單套用，僅當隨機誤差很大，曲線失去了延伸的一般規律時，該法則就不宜使用。

3.2 預測性檢驗

對于未來的預測，重要的是預測結果是否準確，此時其他問題，例如規律性問題、曲線的形狀問題等都要讓位，即凡是干擾或影響預測所需要的條件的一般都要加以限制。預測的零誤差經驗法則設定端點數據為滿足式ym－f（xm）＝0的零誤差數據，其他數據均視為一般數據以免干擾，以下給出實際預測結果。

表2 1983－2013年我國外出農民工數量的模型擬合

1）用冪指數＋指數模型，預測2011年外出的農民工數量。

由表2，取1983－2010年的15組數據，設定2010年的數據為零誤差數據，其余均為一般數據，依據最小一乘準則，獲得的擬合方程：

g（xi）＝457.293 83（xi－1 982）1.064617－250.231 44e0.027832（xi－1982）。

零誤差在1983，1996，2004，2010年的4個數據位上出現，擬合結果為平均絕對誤差Mae＝381.2（萬），曲線擬合誤差5.07%，將x16＝2011帶入上式，得預測結果g（2011年）＝15 924.1（萬），與實際值15 863（萬）的絕對誤差為61.1（萬），預測的相對誤差為0.39%。

2）預測2012年外出的農民工數量。

同理，取1983－2011年的16組數據，設定2011年的數據為零誤差數據，其余均為一般數據，依據最小一乘準則，獲得的擬合方程：

g（xi）＝445.083（xi－1 982）1.080664－232.495 93e0.05272423（xi－1982）。

該方程在1983，1996，2004，2011年的4個點位獲得零誤差，擬合結果為平均絕對誤差Mae＝357.9（萬），曲線擬合誤差4.74%，將x17＝2012帶入上式，得預測結果g（2012年）＝164 36.9（萬），與實際值16 336（萬）的絕對誤差為100.9（萬），預測的相對誤差為0.62%。

3）預測2013年外出的農民工數量。

取1983－2012年的17組數據，設定2012年的數據為零誤差數據，其余同上，獲得的擬合方程：

g（xi）＝430.322 37（xi－1 982）1.096374－215.518 93e0.0664312（xi－1982）。

該方程在1983，1996，2004，2012年的4個點位獲得零誤差，擬合結果為平均絕對誤差Mae＝342.1（萬），曲線擬合誤差4.47%，將x18＝2013帶入上式，得預測結果g（2013）＝16 883.2（萬），與實際值16 610（萬）的絕對誤差為273.2（萬），預測的相對誤差為1.64%。

以上預測都具有一定的準確性，同時也看到，雖然只設定了端點數據為零誤差數據，其余都按一般數據論處，但按照最小一乘準則的數據處理，1983年和1996年的數據都歸入了零誤差數據范疇，這與上述討論中將1983，1996，2006年屬于重點數據的設定十分相近，這一結果也說明了最小一乘法對于數據的選取具有與事實十分接近的優良功能。

3.3 預測2014年我國農民工數量

在以上分析基礎上，對2014年外出農民工可能的數量進行預測。取1983－2013年的18組數據，設定2013年的數據為零誤差數據，其余同上，獲得的擬合方程：

g（xi）＝403.336 53（xi－1 982）1.123753－186.985 37e0.083832（xi－1982）。

將x19＝2014帶入上式，得預測結果g（2014年）＝17 084．7（萬），按照1∶1.6的比率，農民工總量為2.73億；該結果有待2015年驗證。

3.4 Richards曲線分析

圖1中Richards模型是表2數據及數據處理結果的曲線形式轉化，圖中橫坐標為年份，縱坐標是人口數（萬人）。

圖1中曲線1是Richards曲線：

在定義區間［1983，2013年］內，Richards曲線是一條無極值（極小和極大）的單增曲線。

圖1中ARichards模型曲線2是Richards曲線的變化率曲線，即f（x）的1階導函數f′（x）曲線，因為只是定性說明問題，略去了該曲線的數值標定，即沒有給出曲線2的縱坐標數值。曲線2表明Richards曲線的變化率曲線是一條含有一個極大值的駝峰狀曲線，計算表明f′（x）曲線在x＝1 994.8處獲得極大值，相當于Richards曲線f（x）在1995年處出現一個變化的拐點。拐點的出現使Richards曲線由逐步加快的遞增變為逐步減慢的遞增。

圖1 我國外出農民工數量的擬合曲線

3.5 冪指數＋指數曲線分析

圖1冪指數＋指數混合模型中的曲線1是冪指數＋指數曲線：

g（x）＝338.2388（x－1 982）1.187315－124.48e0.104837（x－1982）。

g（x）曲線與Richards曲線不同之處在于，在定義區間［1983，2013年］內，g（x）曲線雖然也是一條無極值（極小和極大）的單增曲線，在它的延伸部分，在區間外的x＝2 021.2，相當于2021年將出現一個極大值g（2 021.2）＝18 777，預示外出農民工在2021年將達到最大值18 777萬，之后將緩慢下降。圖1冪指數＋指數混合模型中曲線2是g（x）曲線的變化率曲線g′（x），這是一條含有一個極大值的駝峰狀曲線，但峰值出現點位與Richards變化率曲線略有差異。計算表明g′（x）曲線在x＝1 998.4處獲得極大值，相當于g（x）曲線1998年處出現一個變化的拐點。拐點的出現使冪指數＋指數曲線由逐步加快的遞增變為逐步減慢的遞增。

3.6 曲線分析的綜合

Richards曲線和冪指數＋指數曲線得出的結論略有不同，Richards曲線顯示，當時間→∞，外出農民工數量為2.8億，這既難以驗證也超出現實的可能。農民工的出現具有歷史局限性，必將伴隨歷史的前進而消失，所以該值不具有參考性，可以除去。綜合2個生長模型給出的結論可歸結為，1983－2013年的31年間，我國外出農民工數量的變化是一個不存在極值（極大或極小）的、連續遞增的發展，在發展過程中的1995－1998年出現了變化的拐點，由逐步加快的遞增變為逐步減慢的遞增，這種增長率的變慢必將產生效應，外出農民工將在2021年左右出現最大值1.877 7億，按1.6倍率推算，農民工總數為3.00億，之后農民工數量將逐漸減少。

31年來外出農民工缺失的數據可用數學上的內插法加以補齊，表3是按照冪指數＋指數混合增長模型，在最小一乘準則下計算的結果。數據獲得的曲線擬合誤差為0.5%，最大誤差為1.98%，所以在實際應用中，若考慮到統計學的隨機誤差，帶有?號或??的數據其誤差允許在±0.5%范圍內波動，其中個別數據波動的最大范圍不得超過±1.98%。

表3 1983－2013年外出農民工數量變動情況

4 小結

最小一乘法解的實現過程，是一種代表式的選取方式，我國外出農民工數量變化數據雖然缺失但仍存有重要數據，將二者之間建立緊密的關聯，使重要數據成為代表數據，彌補了數據缺失的不足。通過數據處理、數據分析、實踐驗證等多個環節，得出如下結論。

1983－2013年我國外出農民工的數據雖然只有18個，但因存有高置信度的權威數據，這使得缺失的數據、矛盾的數據可以通過最小一乘法得以補缺及糾正。

31年來農民工數量的變化規律可以用Richards生長模型和冪指數＋指數混合生長模型來描述。31年來我國外出農民工的增長是一個不存在峰或谷的連續增長，在增長過程中，1995－1998年出現了變化的拐點，使原先逐步加快的增長變為逐步減慢的增長。

2014年我國外出農民工數量將達1.71億，按照1∶1.6比率推算，農民工總數約為2.73億；我國外出農民工數量將在2021年左右出現峰值1.88億，按1.6倍率推算，農民工總數為3.00億，之后農民工數量將逐漸趨于減少。

31年來外出農民工缺失的數據可用數學上的內插法加以補齊，在實際應用中，數據誤差允許在一定范圍內波動。

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［11］ 顧樂民.預測型切比雪夫多項式［J］.計算機工程與應用，2012，48（7）：34－38.

（責任編輯：高 峻）

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0528?9017（2015）01?0130?07

2014?08?28

顧樂民（1952－），男，江蘇射陽人，研究方向為最佳逼近原理及其應用。E?mail：gulemin＠tongji.edu.cn。