具競爭性零售商的閉環供應鏈微分對策模型

黃宗盛，聶佳佳，胡培

（西南交通大學經濟管理學院，四川成都 610031）

具競爭性零售商的閉環供應鏈微分對策模型

黃宗盛，聶佳佳，胡培

（西南交通大學經濟管理學院，四川成都 610031）

研究了具競爭性零售商的閉環供應鏈系統的最優回收控制策略.首先構建了零售商回收的閉環供應鏈微分對策模型，利用微分對策理論求解模型并得到制造商和零售商的最優控制策略.分析發現：當回收成本系數不那么低時系統存在穩態均衡，僅在一定的最優控制策略下系統收斂到穩態均衡.此時零售商的回收投入和產品回收率隨時間推移而增大；而零售商的零售價格隨時間推移而減小，產品銷售速率隨時間推移而增大；制造商的批發價格與轉移價格有關：當轉移價格較高時，制造商的批發價格隨時間推移而增大，反之，制造商的批發價格隨時間推移而減小；零售商之間關于產品回收具有“先動”優勢.

閉環供應鏈；微分對策；零售商回收；競爭性零售商

1 引言

由于閉環供應鏈在經濟、環境等方面體現出的巨大優勢，近年來受到了全社會的廣泛關注.在企業界，很多公司早已通過產品回收再制造來降低生產成本，如Xerox、Kodak和HP等［1-3］.目前施行產品再制造的企業已經廣泛覆蓋各個行業，如電腦、復印機、墨盒、家具、汽車零部件、醫用器材以及輪胎等［4］.企業要施行再制造戰略，廢舊產品的回收是一個關鍵問題.本文試圖從一種動態的視角，探討具有競爭性零售商的供應鏈中的產品回收控制問題.

近年來，學者們針對閉環供應鏈的運作管理進行了大量研究，主要探討供應鏈成員的回收策略或者供應鏈的最佳回收渠道選擇問題.Savaskan等［1］在閉環供應鏈的架構下探討了逆向渠道的選擇問題，發現零售商回收時的效率高于制造商及第三方回收時的效率.Savaskan等［1］的研究為閉環供應鏈的逆向渠道設計提供了較為經典的框架，許多學者正是在他們的基礎上展開了進一步的研究［3-9］，但這些研究假設供應鏈中僅存在一個零售商，這與實際情況有所不符.Savaskan等［2］進一步在零售商競爭的架構下，探討了閉環供應鏈的產品回收問題.易余胤［10］同樣在零售商競爭的背景下，探討了不同供應鏈主導結構下的閉環供應鏈產品回收問題，研究發現在市場無領導者時產品回收率最高.李響等［11］則研究了多制造商同時進行產品回收再制造時的回收競爭博弈，但上述研究沒有考慮正向渠道.

上述文獻極大的豐富了關于閉環供應鏈的研究成果，為企業的運作管理提供了一定的借鑒，然而仍存在一些不足.以上關于閉環供應鏈的模型多為時間靜態模型，沒有考慮系統的特征隨時間的動態變化情況.在閉環供應鏈的動態模型方面，Kiesm¨uller［12］考察了一個具有提前期的動態產品回收系統，采用極大值原理求解了系統的最優控制策略.Geyer等［13］在考慮產品零部件耐用性和有限生命周期的條件下研究了企業的動態再制造策略.此外以上關于閉環供應鏈的動態模型，主要是在集中式供應鏈的架構下，從整體研究系統的最優策略，而系統動態特征主要考察庫存特征.然而閉環供應鏈中產品的回收過程亦具有動態特征，針對這一情況，黃宗盛等［14，15］通過考察回收過程的動態特征構建了相應微分對策模型，并分析了不同逆向渠道下的回收效率.對比發現，制造商回收可能對供應鏈成員更為有利.但他們的研究僅在單個零售商的背景下，實踐中零售商競爭的情況則更具代表性.鑒于此，本文將進一步在零售商競爭的背景下，探討相應回收控制策略.

對于負責回收廢舊產品的企業而言，產品的回收是一個長期動態的過程.負責回收產品的企業需要持續投入資金進行產品回收活動，如回收宣傳、回收設施建設與逆向物流服務等，以換取系統的產品回收率.從動態的角度考慮，企業本階段回收投入較高時，并不會即刻反映為較高的回收率，而是企業回收率的變化率上升，亦即回收率上升更快.以往的產品回收模型忽略了這個動態過程.當考慮產品回收率的動態變化過程時，可以更好的描述回收率隨回收投入的動態變化情況［14］.本文將在競爭性零售商的供應鏈架構下，構建關于產品回收的微分對策模型.

2 模型

在閉環供應鏈系統中，目前關于回收率的模型多為時間靜態模型［1，2］，此時主要從總體戰略的角度考察是否進行產品回收或者回收多少廢舊產品.這樣的模型忽略了對系統動態回收過程的考察，雖然可以對企業的產品回收提供戰略參考，但無法指導企業如何進行回收投入，即無法得到回收投入的時間控制路徑.實際上，企業的產品回收是一個動態的投入產出過程.當企業某一階段投入較多的資金，容易想象其產品回收率將上升，但這個上升并不是即時的，而是首先反映在回收率的變化率上，因而是一個動態的過程.高的回收投入換來高的產品回收率變化率.將產品回收率看作系統的狀態變量，而回收努力投入為控制變量，則有［15，16］

其中τ（t）為系統的狀態變量，表示t時刻的產品回收率.A（t）表示t時刻的回收投入，主要體現回收企業在回收設施的建設、維護以及對消費者的回收宣傳上投入的資金量；ρ的大小體現回收投入對回收率的影響程度.δ表示回收率的衰減系數.對于本文的動態回收模型，可以理解為隨著時間的推移，回收設施會逐漸陳舊，同時消費者對企業的回收宣傳也會逐漸遺忘，這些都會造成產品回收率的衰減.式（1）較為清楚的反映了產品回收率隨回收投入的動態變化過程.另外，若衰減系數δ較大，即回收設施質量下降速度較快或者消費者對回收宣傳遺忘較快時，企業需要更大的投入，產品回收率才不會下降.

兩個零售商在各自的銷售區域中進行產品回收，因此回收率的動態變化特征由與式（1）類似的兩個微分方程描述，即

由式（2）可發現，零售商各自的回收率僅受自身回收投入的影響.這主要是由于回收努力投入主要體現為構建回收設施、逆向物流和回收宣傳等方面的投入水平，并非競爭性手段，因此這里假定零售商之間的回收努力投入對相互之間的產品回收率沒有影響.回收投入高的一方回收率會上升的較快，但并不會造成另一方回收率上升變慢.

制造商利用廢舊產品進行再制造和利用新材料進行制造出的產品在性能和外觀上都完全一致［1，2］.值得說明的是，這里比較適用制造商利用舊產品中的某些部件再結合新材料進行生產的情形，而制造商利用廢舊產品進行簡單翻新生產的情況不適用于本文的討論.零售商負責分銷制造商的產品，任意時刻的產品需求函數為

其中i=1,2；φ＞0表示市場容量，0＜γ＜1反映零售商之間的競爭強度.

再制造閉環供應鏈系統的假設如下：

2）在閉環供應鏈中，制造商為渠道的領導者，而零售商為追隨者；

3）用cm表示制造商利用新材料進行生產的單位成本，cr表示利用廢舊產品進行再制造的單位成本，且Δ=cm-cr＞0，表明制造商通過再制造是可以節約成本的，否則制造商不會有選擇產品再制造這種生產方式的經濟驅動力；對于零售商回收的舊產品制造商給予單位支付b，設b≤Δ，很顯然，一旦制造商購買舊產品的成本大于舊產品為其節約的成本，制造商也不會選擇再制造這種生產方式；

4）對于從消費者處返回的舊產品，零售商給予單位支付σ.為簡單起見，且在不失一般性的前提下，設σ=0.需要指出的是，該假設只是簡化了本文的數學復雜度，不會影響本文的結論；

5）制造商和零售商的決策期為［0,∞），貼現率為r.

由于零售商回收在現實中更為常見，因而本文主要探討零售商回收下的情況.此時，零售商需要決定在產品回收中的投入Ai（t）以及產品的零售價格.零售商i的目標函數為

而制造商主要決定給零售商的批發價格w（t），其目標函數為

約束條件為式（1）.

3 最優控制策略

顯然該問題屬于制造商領導的Stackelberg博弈，為了求解均衡時雙方的最優策略，根據逆向歸納法的原理，首先構建零售商i的現值Hamilton函數為

其中μri和μr（3-i）為協狀態變量.根據最大值原理的最優化必要條件為

根據式（7）和式（8）求解得到零售商的最優反應函數為

由式（10）可以看出，零售商不僅根據自身的產品回收率下調零售價格，還根據競爭對手的回收率下調自己的零售價格，但自身的回收率對自己產品價格的影響更大.這表明兩個零售商中如果有一個零售商不進行產品的回收時，其產品價格將會高于進行產品回收的零售商，導致其在價格競爭中處于劣勢，因而零售商不進行產品回收對其自身是不利的.

根據零售商的最優反應構造制造商的現值Hamilton函數為

最優化必要條件為

由式（12）求解得到制造商的最優批發價格為

將式（13）代入零售商的最優反應函數可得零售商的最優策略為

再將式（13）和式（14）代入零售商的狀態和協狀態變化方程中，進行化簡可得

其中

命題1給出了閉環供應鏈系統穩態均衡的存在條件.

命題1當（δr+δ2）k＞max（ρ2（E3-E2）,-ρ2（E1+E2+E3））時，再制造閉環供應鏈系統存在穩態均衡，且此時穩態均衡為鞍點均衡，此時系統的穩態均衡為

穩態時制造商的批發價格為

穩態時零售商各自的零售價格和回收努力投入為

證明式（15）微分方程組的特征根為

當-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＞0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＜0時，有λ1,2＞0，λ3＞0和λ4＜0，此時微分方程組的解發散；當-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＜0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＞0時，有λ1＞0,λ2＜0和λ3,4＞0，此時微分方程組的解仍然發散；僅當-ρ2（E2+E3）-δrk-δ2k＜0且ρ2（E3-E2）-δrk-δ2k＜0，即（δr+δ2）k＞max（ρ2（E3-E2）,-ρ2（E2+E3））時，微分方程的特征根有λ1＞0，λ2＜0和λ3＞0，λ4＜0，此時微分方程組的穩態為鞍點均衡［17］.

根據˙τi=0和˙μri=0可求得閉環供應鏈系統達到穩定時的狀態.由于穩態時的產品回收率應滿足0＜＜1，由于E1＜0，因而當ρ2E2+ρ2E3+δkr+δ2k＞0時0＜；再當ρ2E2+ρ2E3+δkr+δ2k＜-ρ2E1，即（δr+δ2）k＞-ρ2（E1+E2+E3）時，可使＜1.又-ρ2（E2+E3）-ρ2E1＞-ρ2（E2+E3），因此對于該問題系統達到鞍點均衡的條件為

命題1表明只有零售商的回收成本系數較大時系統才存在穩定的狀態，如果回收商的成本系數太小對于系統而言反而是不穩定的.現實中廢舊產品可能分布在銷售商所在區域的任何一個位置，同時零售商需要進行產品的回收宣傳、逆向渠道建設等，因此對于零售商而言，要進行產品的回收可能會產生巨大的成本，這使得其回收成本系數不會太低.因而微分方程穩定的條件是基本能夠滿足的.另外，在Savaskan等［1］中也有類似假設.

將命題1中的穩態解代入供應鏈成員的利潤表達式中可得零售商的穩態瞬時利潤率為

制造商的穩態瞬時利潤率為

命題2給出了制造商和零售商達到穩態均衡的最優控制策略.

命題2零售商回收下，制造商的最優批發價格控制策略為

零售商的最優零售價格控制策略為

零售商的最優回收控制策略為

其中

將式（26）分別回代入式（10），式（13）和式（14）中即可得到命題2中制造商和零售商的最優控制策略.證畢.

命題3若τ10＞τ20，則τ1（t）＞τ2（t），A1（t）＞A2（t），p1（t）＜p2（t），D1（t）＞D2（t），反之τ10＜τ20時有相反的結論；若τ1=τ2，τ1（t）=τ2（t），A1（t）=A2（t），p1（t）=p2（t），D1（t）=D2（t）.

證明由于τ1（t）-τ2（t）=（τ10-τ20）eλ4t，因此τ10＞τ20時，τ1（t）＞τ2（t），反之，則有τ1（t）＜τ2（t）.命題中其他結論的證明與此類似.證畢.

命題3說明零售商之間對于產品回收具有“先動”優勢，即初始回收率高的零售商在以后的回收率、回收投入和銷售速率上會高于對方.對于零售商而言，“先動”可以提高其銷售速率，但是否一定帶來瞬時利潤的提高？下面通過數值仿真進行考察.設系統參數為ρ=2，Δ=2，φ=50，γ=0.5，cm=6，δ=1，r= 0.15，k=100，b=0.9，τ10=0.1，τ20=0.圖1給出了零售商1和零售商2的瞬時利潤隨時間的變化情況.由圖中可以看出，零售商的瞬時利潤隨時間增高，逐漸達到穩態時的瞬時利潤，且零售商1的利潤率高于零售商2的利潤率.這說明零售商的“先動”不僅能提高其產品銷售率，還能提升其利潤水平.因此零售商均有盡快投入產品回收的動機.

圖1 不同初始回收率下零售商瞬時利潤隨時間變化情況Fig.1The instant profit of retailer changes over time under different initial return rate

鑒于零售商均有提前進行產品回收的積極性，在以下的分析中，不妨設τ10=τ20.

命題4在最優控制策略下的閉環供應鏈系統有：1）系統產品回收率隨時間推移而增大；2）零售商的回收投入隨時間推移而增大，而零售商的零售價格隨時間推移而減小，產品銷售速率則隨時間推移而增快；3）當b＞Δ/2時，制造商的批發價格隨時間推移而增大，當b＜Δ/2時，批發價格隨時間推移而減小.

證明1）由于λ2＜0，因而

命題4表明，零售商的回收投入會隨時間逐步上升到穩定時的狀態，而產品回收率也相應隨時間上升.由于產品回收率升高，制造商生產成本降低，零售商會降低各自的零售價格，而產品銷售速率則會逐步上升.有意思的是，制造商的批發價格演化路徑并非隨時間推移而降低，而是與回收品的轉移價格有關：當轉移價格較高時，制造商的最優控制策略是隨時間逐漸提高批發價格到穩定時的狀況，而當轉移價格較低時，制造商的最優控制策略則是隨時間逐漸下調批發價格到穩定時的狀況.只有在這樣的控制策略下系統才能達到最佳的狀態.

4 參數變化對系統的影響分析

本部分將對系統參數變化對零售商回收控制策略、系統產品回收率及制造商和零售商的利潤率的影響展開分析，著重考察零售商之間的競爭強度、系統貼現率及轉移價格的影響.由于本文模型的較為復雜，因此難以通過解析方法進行分析，下面主要采取數值仿真的方法進行研究.系統的基準參數設定為τ10=τ20=0,ρ=2,Δ=2,b=1.1,φ=50,cm=6,δ=1,r=0.15,k=100,γ=0.15.分析時將控制其中目標參數在一定范圍內變化，而其他參數將保持不變.

1）零售商競爭強度的影響

圖2主要是考察零售商之間的競爭強度對系統的影響.當γ越大，零售商之間的競爭程度越激烈.由圖2可以看出，零售商的最優回收投入隨時間推移而提高.當零售商之間的競爭程度加強時，零售商進行產品回收的積極性會增強，系統的回收率會更高：同時這也會帶來零售商和制造商利潤水平的提升.由此可以發現，零售商之間競爭程度的加強會對閉環供應鏈的逆向渠道產生影響.在一個競爭相對激烈的系統中，產品回收率會更高，同時對供應鏈成員的利潤更為有利.在Bertrand模型中，當企業間的競爭程度或產品替代性越高時，各方的需求會更高，對各方的利潤也更為有利.

圖2.1 γ對零售商最優回收投入的影響Fig.2.1The impact of γ on the return effort

圖2.2 γ對系統產品回收率的影響Fig.2.2The impact of γ on the return rate

圖2.3 γ對零售商瞬時利潤的影響Fig.2.3The impact of γ on the profit of retailer

圖2.4 γ對制造商瞬時利潤的影響Fig.2.4The impact of γ on the profit of manufacturer

2）系統貼現率的影響

圖3主要考察貼現率對系統的影響.貼現率越高，企業對未來的長期利潤就越不看重，而更看重眼下的利益.由圖3可以發現，貼現率越高，零售商對產品回收的投入越低，而系統的產品回收率也相應越低.由于零售商為產品回收的投入方，高的貼現率限制了零售商在系統運行的初始階段投入資金的積極性，這一方面降低了在初始階段大量投入產生的較大成本，但另一方面產品回收為零售商帶來的收益也受到影響.因而貼現率對零售商利潤的影響并非單調的增加或減少.而是存在一定的貼現率，使得此時零售商能獲得最大的穩態利潤率.由于制造商對產品回收并不進行投入，因而貼現率對其利潤的影響是單方面的，貼現率越高對制造商的利潤越不利.由此可以得出，當系統貼現率較高時，制造商可在初始階段參與回收系統的搭建，為零售商分擔一定的經濟壓力，避免零售商投入積極性導致系統的回收率較低的狀況.同時這也有利于提升制造商和零售商的利潤水平.

3）轉移價格的影響

圖4主要考察廢舊產品轉移價格的變化對系統的影響.當b上升時，制造商從回收的舊產品中獲益減小，而零售商獲益增大，從圖4可以看出，零售商的最優回收投入隨時間上升，當廢舊產品的轉移價格上升時，零售商的最優回收努力投入相應增加，同時穩態時系統的回收率也隨之上升.此時零售商擁有較高的積極性投入廢舊產品的回收，但較為意外的是穩態時零售商的瞬時利潤并未有提升.另外值得注意的是，盡管轉移價格上升會降低制造商從節約的成本中獲取的收益，但由于此時產品回收率較高，零售價格較低，刺激了需求，反而使得制造商的瞬時利潤有所上升，這表明制造商應當適當提高廢舊產品的轉移價格，激勵零售商更好的進行產品的回收，這對制造商自身也是有利的.

圖3.1 r對零售商最優回收投入的影響Fig.3.1The impact of r on the return effort

圖3.2 r對系統產品回收率的影響Fig.3.2The impact of r on the return rate

圖3.3 r對零售商瞬時利潤的影響Fig.3.3The impact of r on the profit of retailer

圖3.4 r對制造商瞬時利潤的影響Fig.3.4The impact of r on the profit of manufacturer

圖4.1 b對零售商最優回收投入的影響Fig.4.1The impact of b on the return effort

圖4.2 b對系統產品回收率的影響Fig.4.2The impact of b on the return rate

圖4.3 b對零售商瞬時利潤的影響Fig.4.3The impact of b on the profit of retailer

圖4.4 b對制造商瞬時利潤的影響Fig.4.4The impact of b on the profit of manufacturer

5 結束語

在考慮閉環供應鏈系統產品回收率動態變化特征的基礎上，利用最優控制及微分對策理論求得制造商和零售商的開環最優控制策略并對最優策略進行分析.研究發現，在零售商回收成本系數不那么低時系統存在穩態均衡，且在最優開環控制策略下系統收斂到穩態均衡，此時有：1）零售商的產品回收率隨時間推移而增大；零售商的回收投入隨時間推移而增大，而零售商的零售價格隨時間推移而減小，產品銷售速率則隨時間推移而增大；制造商的最優批發價格路徑與轉移價格有關，當轉移價格較高時，制造商的批發價格隨時間推移而增大，反之，制造商的批發價格隨時間推移而減小；2）零售商之間關于產品回收具有“先動”優勢.

對于具競爭性零售商的閉環供應鏈的進一步研究方向是考察制造商和零售商同時參與回收的情況和求解微分對策的閉環控制策略.

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Differential game model in closed-loop supply chain with competing retailers

Huang Zongsheng，Nie Jiajia，Hu Pei

（School of Economics and Management，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The optimal control strategies in a closed-loop supply chain with competing retailers are studied. First，the differential game model of a closed-loop supply chain with retailer collecting is established，and the optimal control strategies of the manufacturer and the retailers are resolved by the differential game approach. Some results are found.The Saddle point equilibrium exists only under certain conditions.The collecting investment of the retailer as well as the product return rate increases with time，while the retail prices decrease with time.The demand rate of retailers increase with time.The wholesale price of the manufacturer may increase or decrease with time，depending on the transfer price of the used product.When the transfer price is high，the wholesale price increases with time，on the contrary，the wholesale price decreases with time.The product collecting between the competing retailers has a'first-move advantage'effect for the retailers.

closed-loop supply chain；differential game；retailer recycle；competing retailers

F270

A

1000-5781（2015）06-0779-11

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.007

黃宗盛（1985-），男，四川綿陽人，博士，講師，研究方向：物流與供應鏈管理，Email：chris163@yeah.net；

聶佳佳（1981-），男，河南許昌人，博士，副教授，研究方向：物流與供應鏈管理，Email：nie jia@126.com；

胡培（1957-），男，重慶人，博士，教授，研究方向：系統建模與決策，Email：huhupei@126.com.

2013-06-20；

2014-01-16.

國家自然科學基金資助項目（71101120；71440016）.