十字形多自由度超聲電機接觸分析模型研究*

□ 劉 揚 □ 張健滔

1.上海大學 機電工程與自動化學院 上海 200072

2.上海大學 上海市智能制造及機器人重點實驗室 上海 200072

十字形多自由度超聲電機接觸分析模型研究*

□ 劉 揚1，2□ 張健滔1，2

1.上海大學 機電工程與自動化學院 上海 200072

2.上海大學 上海市智能制造及機器人重點實驗室 上海 200072

十字形多自由度超聲電機其動子繞X、Y軸旋轉與繞 Z軸旋轉的驅動機理是不同的，根據彈性接觸理論，對其進行了分別考慮，并建立了電機摩擦接觸分析模型。利用建立的模型，對多自由度電機機械特性進行了估算，分析了定子振幅、摩擦因數、驅動頻率對電機輸出性能的影響規律。對所研制樣機的機械特性進行了測試，結果表明，所建立的模型對十字形超聲電機特性的預估是有效的，可為多自由度超聲電機設計提供指導。

多自由度超聲電機 接觸模型 仿真分析 機械特性

隨著機電系統的發展，使用多自由度驅動的場合越來越多，例如多自由度運動平臺、機器人關節與眼球驅動等，這些應用對驅動器提出了體積小、功率密度大、定位精度高等要求。傳統的多個單自由度電機驅動，存在結構復雜、體積大、質量重等問題。因而對多自由度電機的研究十分必要，特別是多自由度超聲電機，由于其具有結構簡單、直接驅動、推重比大、慣性小、響應快、斷電自鎖、可控制性好和定位精度高等優點，備受國內外學者的關注［1-5］。

建立多自由度超聲電機定、動子接觸模型，有助于理解其運行機理，了解各參數對機械特性的影響，可為電機設計提供指導。目前研究較多的是行波型多自由度超聲電機的理論模型，最早，Takashi Maeno［6］利用有限元方法建立了行波型單自由度超聲電機模型。Joachim［7］通過假設定子為伯努利-歐拉梁，建立了行波單自由度超聲電機定、動子接觸模型。國內學者也對行波單自由度超聲電機的定、動子接觸模型進行了深入研究，周盛強等利用有限元三維點點接觸單元，分析了接觸界面的接觸狀態，曲建俊等假設定子摩擦層為黏彈性體，提出了行波超聲電機黏彈性接觸模型［4-5，8-9］。這些學者深入研究了行波單自由度超聲電機接觸模型，但有關多自由度超聲電機接觸模型的研究很少有報道。筆者對所研制的一款十字形多自由度超聲電機的定、動子接觸機理進行了研究，并建立其理論接觸模型，利用該模型進行電機機械特性仿真。

1 十字形多自由度超聲電機接觸模型

1.1 十字形多自由度超聲電機結構

研制的一款十字形多自由度超聲電機結構如圖1所示，電機動子為球形金屬體，定子整體結構呈十字

形，定子中心開方形盲孔，將定子分為后驅動足、右驅動足、前驅動足、左驅動足，4片壓電陶瓷非對稱地貼在定子的4個驅動足上。動子直徑大于定子中心方形盲孔的寬度，定子與動子沿豎直方向具有一定的接觸壓力，并通過摩擦傳動。該超聲電機可實現繞X、Y、Z軸旋轉，具有結構緊湊、構件少、易于小型化等特點。

十字形多自由度超聲電機利用兩個振動模態工作，如圖2所示。第一振動模態的振型如圖2（a）所示，其左右驅動足交替伸長、收縮。第二振動模態的振型如圖2（b）所示，其前后驅動足交替伸長、收縮，兩個工作振動模態的頻率需近似相等。

▲圖1 十字形多自由度超聲電機樣機

▲圖2 電機工作模態振型

1.2 繞X、Y軸旋轉時的定、動子接觸模型

電機定子驅動動子繞X、Y軸旋轉時，工作機理類似，只需激勵出其中一個工作模態。以繞X軸旋轉為例進行分析，此時只需激勵出工作模態一。電機正常工作時，定子驅動足與動子接觸點作斜線運動。定子工作時驅動質點P的位移響應為：

當電機穩態工作時，定、動子間接觸狀態如圖3所示。式（1）表示定子工作時驅動質點P位移響應可轉換到NOτ坐標系，如圖3（a）所示，即：

在一個驅動周期內，驅動質點與動子的狀態分為：接觸期和脫離期。當定子、動子穩定工作后，驅動質點P沿法向N的位移如圖3（b）所示，σ0表示定子穩態工作時驅動質點的法向平衡位置面到動子接觸表面的距離。

在驅動質點與動子脫離時，動子沿N方向的接觸變形量δN（t）=0；接觸時，可表示為：

式中：WC為定子、動子接觸狀態下定子驅動點的振幅。

設ta、td分別為驅動足與動子開始接觸及開始脫離時間，一個驅動周期內定子與動子接觸時間為：

設ε=Tj/T，T為驅動周期，所以有：

在驅動足與動子接觸時段內，定子驅動質點的法向和切向位移及速度都是變化的。為簡化分析，由于電機穩態工作時定、動子間接觸頻率很高，且動子有一定慣性，可假定動子在穩態工作時速度不變為vs1。驅動足與動子接觸區域內，定子驅動足上質點切向振動速度vτ不斷變化，故在接觸時段內存在等速點（即定子驅動點切向振動速度與動子切向速度相同的點），如圖4所示。

根據庫侖定律，驅動足與動子間的摩擦力為：

▲圖3 驅動足與動子接觸狀態示意圖

▲圖4 一個周期內定、動子切向速度關系及做功示意圖

式中：μd為驅動足與動子間動摩擦因數。

根據動量定理，一個周期內定子對動子的平均驅動力（沿切線方向）為：

故十字形多自由度電機繞X軸旋轉時輸出力矩為：

式中：l為驅動力的力臂；D為動子直徑。

以上兩式中的符號函數為：

1.3 繞Z軸旋轉時的定、動子接觸模型

1.3.1 面外行波分析

十字形多自由度超聲電機繞Z軸旋轉時，將用正弦、余弦電信號同時激勵出兩個工作振動模態，此時定子驅動端產生行波來驅動動子，驅動足與動子間的接觸比較連續平穩。根據赫茲接觸理論，驅動足與動子間的接觸力可分解為兩個部分，即沿Z軸的接觸力與沿徑向的接觸力。沿Z軸的接觸力為：

式中：kZ為動子沿Z軸方向的等效彈簧剛度；δZ為動子沿Z軸方向的接觸變形量，與定子振幅、動子接觸剛度等相關。

根據庫侖定律，驅動足與動子間的摩擦力為：

十字形多自由度超聲電機繞Z軸旋轉時，可將電機沿Z軸方向中心線展開，根據赫茲接觸理論，此時定子與動子可等效于球體（定子）與面 （動子）接觸的情況。故當僅考慮面外行波驅動時，驅動足與動子間的接觸界面如圖5所示。

▲圖5 驅動足與動子沿Z軸方向接觸狀況

在圖5中，區間［a，d］為一個周期內接觸區域，b、c點代表等速點，即定子振動速度與動子切向速度相同點。在［b，c］區域內，驅動足表面質點切向振動速度大于動子切向速度，這一區域內摩擦力做正功，定子對動子起驅動作用，該區域為驅動區間。在［a，b］及［c，d］區域內，驅動足表面質點切向振動速度小于動子切向速度，該區域內摩擦力做負功，定子對動子起阻礙作用，這些區域稱為制動區間。

在分析定子、動子接觸狀況時，假設定子、動子材料具有彈性特性，根據赫茲理論，在沿Z軸方向預壓力Fp作用下，接觸區域的接觸寬度為：

式中：r0為等效定子球體半徑；E1為定子材料彈性模量；E2為動子材料彈性模量；u1為定子材料泊松比；u2為動子材料泊松比；p為單位長度上的載荷，且：

式中：L為定子與動子沿Z軸方向接觸長度；Fp為動子對定子沿Z方向的作用力。

在接觸區間［o，d］內，接觸力沿切向τ（半徑）方向的分布可表示為：

式中：q0為區間［o，d］上的最大應力，可表示為：

在接觸區域內接觸應力關于中點對稱，因此區間［a，o］上的接觸力也可用式（14）表示。驅動足與動子接觸過程中，假定驅動質點切向運動速度與動子切向速度不同，則存在打滑，否則，兩者相互黏結。結合庫侖定律，定子對動子產生的驅動轉矩為：

1.3.2 面內行波分析

當僅考慮定子產生的面內行波作用，其產生徑向力可表示為：

式中：kr為動子沿徑向的等效彈簧剛度；δr為動子沿徑向接觸變形量，與定子振幅、動子接觸剛度等相關。

切向摩擦力可表示為：

此時，定、動子間的接觸情況如圖6所示，圖中［a′，d′］為定、動子的接觸區間，b′、c′為等速點，那么區間［b′，c′］為驅動區間，區間［a′，b′］及［c′，d′］為制動區間。

根據彈性接觸理論［10-12］，沿徑向預壓力作用下Fr的接觸弧度α可表示為：

▲圖6 驅動足與動子沿徑向接觸狀況

式中：rs、r0為等效定子、等效動子的半徑；Dα為Dund-urs參數。

最終，定、動子接觸長度可表示為：

在接觸區間［o，d′］內，接觸 力沿切向分布力為：

由于接觸區域內的接觸力關于原點對稱，故區間［a′，o］內的接觸力亦可用式（23）表示。面內行波產生的轉矩為：

式中：L′為定子與動子沿Z軸方向接觸長度；vτ3（t）為驅動足表面質點切向速度。

綜上所述，繞Z軸旋轉時輸出力矩為：

2 機械特性仿真及分析

根據所建立的十字形多自由度超聲電機接觸模型，利用MATLAB進行仿真計算，分析電機各參數對電機輸出性能的影響，有助于了解十字形多自由度超聲電機在不同條件下的工作狀態及輸出性能，為電機設計提供參考。

2.1 仿真參數

表1為進行仿真計算時所采用多自由度電機的相關參數的基值。研究其中某參數對電機輸出性能的影響時，取表中基值附近范圍內的值進行仿真分析。

表1 電機的仿真相關參數

2.2 電機參數對其性能的影響

2.2.1 定子振幅對電機輸出特性的影響

定子振幅與定子材料、結構、尺寸以及驅動電壓的幅值等相關，其它參數確定的情況下，在一定范圍內，定子振幅會隨驅動電壓幅值的增大而增大。圖7所示為定子沿Z軸的振幅對電機輸出力矩與輸出速度關系特性曲線的影響。在保持其它參數不變的情況下，改變定子沿Z軸方向振幅時，電機的最大輸出力矩及空載速度隨著定子振幅增加而增加，且空載速度比最大輸出力矩對振幅的改變更敏感。

2.2.2 摩擦因數對電機輸出特性的影響

定子與動子間的接觸摩擦因數是影響電機輸出特性的最重要因素之一。因此，為了解動摩擦因數對動子輸出特性的影響，對不同摩擦因數時的輸出響應進行仿真分析。圖8為只改變摩擦因數、其它參數不變的情況下輸出力矩與輸出速度的關系曲線，從圖中可以看出，電機的最大輸出力矩隨著摩擦因數的增大而增大，而空載速度保持不變。

2.2.3 驅動頻率對電機輸出特性的影響

圖9為驅動頻率對電機輸出特性影響的仿真曲線，從圖中可以看出，隨著驅動頻率偏離共振頻率越來越遠，電機的輸出特性越來越差，因為驅動頻率偏離共振頻率時，電機的振動幅值會隨之顯著減小。因而，選取合適的驅動頻率可以顯著提高電機工作時的輸出性能，且可通過調節驅動頻率來控制電機的輸出特性。

3 樣機試驗

利用所研制的多自由度超聲電機進行了樣機輸出特性試驗。

3.1 驅動電壓與轉速關系

壓電陶瓷片工作電壓過高時容易被擊碎，工作電壓太低時運行效率低，為獲得較為合理的工作電壓，測量了超聲電機驅動電壓與轉速的關系曲線。

▲圖7 定子振幅WZ對電機輸出特性的影響

▲圖8 摩擦因數對電機輸出特性的影響

▲圖9 驅動頻率fw對電機輸出特性的影響

利用信號發生器（Tektronix AFG3022）與功率放大器（HFPA-41）為電機供電。在動子上作標記，使用攝像機記錄一段時間內動子的運動情況，再根據攝像計算平均轉速。以26 kHz為激勵頻率，測試驅動電壓峰峰值從100～250 V變化時的電機轉速，如圖10所示。電機繞X、Y、Z軸的轉速隨激勵電壓的增加而增加，可通過控制激勵電壓的大小來獲得不同的電機轉速。其實驅動電壓減小時，電機的驅動振幅也減小，進而影響電機的轉速。從圖7仿真曲線可以看出，振幅減小時，計算出來的電機空載速度也在減小，其與圖10測試的電機轉速變化趨勢基本一致。

3.2 驅動頻率與轉速關系的試驗

實測樣機在不同驅動頻率下的轉速，以獲取驅動頻率對電機轉速的影響規律。當驅動電壓峰峰值為250 V時，測得電機在25.2～26.8 kHz激勵頻率范圍內繞X、Y、Z軸的轉速。其中當驅動頻率分別為25.6 kHz、26 kHz、26 kHz時，電機繞X、Y、Z軸旋轉的最高轉速分別為：55.4 r/min、55 r/min和125.5 r/min。根據該驅動頻率與轉速的關系曲線，可以通過改變驅動頻率的方法來控制電機的轉速。從圖9驅動頻率對電機輸出特性的仿真曲線可看出，驅動頻率偏離共振頻率時，計算出的電機空載轉速將變小。這與圖11試驗測試的電機轉速變化趨勢基本一致。

▲圖10 驅動電壓與轉速的關系曲線

▲圖11 驅動頻率與轉速的關系曲線

4 結論

建立十字形多自由度超聲電機摩擦接觸模型。由于該電機動子繞X、Y軸旋轉與繞Z軸旋轉的驅動機理不同，該模型利用彈性接觸理論進行了分別考慮。

利用所建立的接觸分析模型，對多自由度電機機械特性進行了估算，分析了定子振幅、摩擦因數、驅動頻率對電機輸出性能的影響規律。

對研制樣機的機械特性進行了測試，測試結果與仿真計算結果的變化趨勢基本一致，表明所建立模型對十字形超聲電機的預估是有效的。本分析模型能有助于十字形多自由度電機的特性仿真分析和優化設計。

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（編輯 丁 罡）

In cross-type multi-DOF Ultrasonic Motor,the drive mechanisms are different when the rotor rotates around X axis and Y axis or rotates around Z axis.So that they should be treated separately in accordance with the elastic contact theory and a model is established to analyze the frictional contact of the motor.The established model is used to estimate the mechanical properties of the cross-type multi-DOF ultrasonic motor and analyze the regular pattern involving the impact of the stator amplitude,the friction factor and driving frequency to the output performances of the motor.The test results of the mechanical properties of the prototype show that，The established model is valid for prediction of the characteristics of cross-type multi-DOF ultrasonic motor,it may provide guidance in design of the cross-type multi-DOF ultrasonic motor.

Multi-DOF Ultrasonic Motor Contact Model Simulation Analysis Mechanical Properties

TH122；TM356

A

1000-4998（2015）10-0006-06

*國家自然科學基金資助項目（編號：51305248）

上海市自然科學基金資助項目（編號：13ZR1416900）

上海大學創新基金資助項目（編號：SDCX 2012025）

2015年4月