通脹風險下的跨期資產配置問題研究進展

芮亞運,費為銀,夏登峰(安徽工程大學數理學院,安徽蕪湖 241000)

通脹風險下的跨期資產配置問題研究進展

芮亞運,費為銀?,夏登峰
(安徽工程大學數理學院,安徽蕪湖 241000)

闡述了通脹風險下的跨期資產配置問題.首先結合國內外學者在該領域的研究成果介紹了跨期資產配置問題的研究現狀;其次從跳擴散環境、紅利支付、通脹和Knight不確定4個方面闡述了跨期資產配置問題;最后對通脹下跨期資產配置問題的未來研究進行了展望.

通貨膨脹;跨期資產配置;動態規劃;HJB方程;Knight不確定

如何在不確定的環境下對資產進行有效配置是金融學的重要研究課題.20世紀50年代初,Markowitz[1]利用均值-方差(M-V)方法研究了最優證券投資組合選擇問題,開創了現代投資組合理論.這一成果堪稱現代金融理論史上的里程碑,標志著現代投資組合理論的開端.由此帶動了現代證券組合的研究工作,為現代金融學研究奠定基礎.同一時期內,Tobin[2]研究了風險行為的流動性偏好.基于Markowitz和Tobin的工作,Sharpe[3]和Lintner[4]進一步深入,建立了資本資產定價模型(CAPM).資本資產定價模型已經廣泛運用于現代金融理論研究和實踐中.然而,上述研究工作都只考慮單一投資期,在實際情形中,資產配置問題通常需要在多期上進行考慮.對于長期投資者來說,在整個投資計劃期內,其投資決策并不是一成不變地,而是隨著投資環境的變化適時地進行調整,以此來降低風險,獲得最大化的收益,這就需要在連續時間框架下來研究動態投資組合選擇.因此,跨期資產配置的研究成為歷史發展的必然.

Merton[5]描述了連續時間框架下的最優消費和證券組合選擇問題.利用隨機最優控制理論和伊藤公式,在完備市場假定下,當資產價格服從幾何布朗運動時,得到了兩基金分離定理,當進一步假設投資者的效用函數為雙曲絕對風險厭惡效用函數(hyperbolic absolute risk aversion,簡記為HARA)時,推導出了最優消費和投資策略的顯式解.研究結果表明,當投資機會集為時變情形時,跨期投資者的投資決策與單期投資者的區別在于,跨期投資者對風險的需求除了對沖風險溢價外,更需要對沖未來投資機會集的不利變化所帶來的影響.這一研究成果為后續研究奠定了堅實的理論基礎,被人們稱為Merton模型.此后,國內外的許多學者在Merton模型的基礎上進行了推廣研究,取得了豐碩的成果.在實際的資產配置應用中,為了確定哪些因子會改變投資環境并影響資產收益的機制,許多研究者進行了研究并找到了一定數量的因子.為了求解跨期資產配置問題,尤其是為了得到其解析解,動態規劃方法和鞅方法等求解方法被引入進來.在解析解無法得到的情形下,又發展建立起了數值求解方法對跨期資產配置問題進行求解.傳統意義上,債券通常被看作是安全的資產,但是,債券的利率也會隨著到期日的不同而不同,利率的期限結構包含跨期決策的重要信息.鑒于這些,一個理性的代理人必須努力獲取關于其長期投資策略的利率期限結構的信息.從世界范圍來看,近年來,世界經濟多處于通貨膨脹狀態,并且在某些時段內,通貨膨脹率一直處于較高水平.對于長期投資來說,購買力不再是常數,因此,在進行投資決策時,通脹風險應該被考慮進來.國內外學者在通脹環境下對資產配置問題進行了研究.在不確定條件下研究跨期資產配置問題是金融數學中的研究方向之一,Knight[6]首次提出了Knight不確定(即含糊)這一概念,將含糊與風險區分開來,即風險的概率分布是唯一確定的,而含糊(ambiguity)概率分布是不能唯一確定的.在這之后,國內外的許多研究者將其運用到跨期資產配置問題中來,并取得了一系列的成果.Peng[7]提出了非線性期望這一概念,為研究跨期資產配置問題提供了一個新的框架.

總之,對于跨期資產配置問題的研究,從Merton的研究開始至今,許多研究人員進行了更為廣泛地研究,得出了許多成果,使得該課題不僅在理論上日趨完善,而且在實際中也獲得了廣泛地應用.

1 跨期資產配置問題的研究回顧

Samuelson[8]首先將單期模型推廣到了多期模型.通過動態隨機規劃方法研究了生命周期投資組合選擇問題,在假設資產收益率是獨立同分布的前提下,發現了多期投資組合決策和單期決策是一樣的.Fama[9]研究了多期消費投資問題.Merton[10-11]研究表明,當投資機會集隨時間變化時,長期投資者除了需要對沖資產組合財富的本身風險外,通常還需要對沖投資機會在未來的不利變化對財富產生的沖擊.此時,投資者會采取一定的措施來規避投資機會變化所帶來的風險,從而需要對資產組合進行跨期對沖避險.跨期可以解決Canner[12]等所提出的資產配置之謎,即根據單期資產模型的理論結果,最優投資策略應該是債券對股票的投資比例恒定.然而實際中,金融顧問通常建議那些保守的投資者持有更多債券.

Karatzas[13]等在Merton的基礎上進一步地研究和推廣,最后推導出了一般消費或投資問題的顯式解.Kim和Omberg[14]研究了動態非短視投資組合行為,推導出了投資在風險資產和無風險資產上的投資者的動態非短視行為的所有HARA效用函數和一個隨機風險溢價,最后通過一個判定定理給出了相應的解析解.Campbell和Viceira[15]考慮了均值回復的超額股票收益,研究了預期收益率是時變情形下的消費和投資組合決策.Campbell[16]等研究了連續時間在險價值(value at risk,簡記為VAR)模型上的策略資產配置問題,推導出了連續時間跨期投資組合和消費選擇問題的近似解.Cox和Huang[17]研究了當資產價格服從擴散過程時的最優消費和投資組合策略,當消費和終端財富具有非負約束時通過引入鞅方法來進行求解,文章還提供了一個判定定理來計算和驗證最優策略.Karatzas[18]等和Karatzas[19]利用鞅方法和對偶理論等工具分析了完備市場情形下的最優消費和資產組合選擇問題.Pliska[20]通過鞅方法研究了連續交易的隨機積分模型,通過隨機積分和凸分析來求解證券投資組合選擇問題以使其終端財富的預期效用最大化,最后通過鞅方法找到了該問題的解析解.其他的一些學者則引入隨機消費價格指數來研究跨期資產配置問題.Campbell和Viceira[21]的離散時間模型中,引入了隨機貼現因子的方法來保證無套利條件.Munk[22]等研究了均值回復收益,隨機利率和通脹不確定下的動態資產配置,通過動態規劃方法給出了在通脹風險下的跨期問題的解.

然而,在實際情形中,當考慮一定的市場限制,比如賣空限制和交易成本時,最優資產配置策略的解通常是很難得到的.在這種情形下求解跨期資產配置問題需要利用數值方法.Brennan[23]等研究了策略資產配置問題,通過使用有限差分的方法來求解相應的HJB方程.Munk[24]對于資產配置問題引入了策略空間迭代并且比較了不同馬氏鏈逼近方法.

在實際的資產配置應用中,為了確定哪些因子會改變投資環境和資產收益的機制,許多學者進行了相關研究.Cox[25]等以技術變量作為因子,通過一個跨期的一般均衡資產定價模型研究了利率的期限結構.在這個模型中,預期、風險厭惡、投資方案以及關于消費的時間偏好對債券價格產生作用.而Kim和Omberg[14]、Wachter[26]、Campbell[16]等以及Munk[22]等則是將可預期的超額股票收益率看作是一個因子.還有一些學者,如Brennnan和Xia[27]將隨機利率看作是時變因子.Brennan[28]等將最大夏普比率看作是一個因子,研究了跨期資本資產定價的一個簡單模型的估計,建立了一個帶有時變投資機會的簡單定價模型,該模型假設投資機會集完全是由實際利率和最大夏普比來刻畫,且最大夏普比服從一個Ornstein-Uhlenbeck過程.Liu和Pan[29]將隨機波動率看作是一個因子,研究了動態衍生產品策略,不僅考慮了債券和股票市場,而且考慮了衍生品市場來研究最優投資策略,得到了該問題的閉型解.而在這其中,一個很重要的研究成果就是Duffie和Kan[30]的研究,研究了利率的收益率因子模型,將債券收益率看作是影響因子,建立了一個仿射因子模型,并采用數值求解方法對其進行求解.

此外,國外其他的一些學者也對跨期資產配置問題進行了相關研究.Korn和Kraft[31]通過假設利率對隨機情形進行了研究,在終端財富效用最大化的目標下,給出了投資者的最優資產組合選擇的閉型解.Chacko和Vicera[32]在不完全市場情形下,通過假設投資者所投資資產的方差是隨機的來進行研究,最后在中期消費效用最大化的目標下,推導出了具有遞歸偏好的投資者的最優動態投資組合策略的封閉解.Schroder和Skiadas[33]分析了隨機微分效用下的最優消費和投資決策問題.Munk和Sorensen[34]研究了帶有隨機收入和隨機利率的動態資產配置問題,建立了一個帶有隨機收入和隨機利率的模型并對其進行求解,最后給出了長期投資者的最優投資策略.

近年來,國內也有許多學者對跨期資產配置問題進行了研究.費為銀[35]等研究了投資者的最優消費投資問題,通過鞅方法和對偶變量技術證明了最優解的存在性.楊昭軍[36]等研究了部分信息下的最優投資消費策略,在生命期期望消費效用最大化的目標下,給出了在部分信息條件下的最優消費投資策略的顯式解.劉海龍和吳沖鋒[37]運用微分對策理論,在考慮交易費用的情形下,研究了最差情況下的最優消費和投資策略問題.王敏[38]研究了不確定情形下動態投資組合管理問題,考慮了隨機收入對最優消費投資策略的影響,在效用函數為恒定相對風險厭惡(constant relative risk aversion,簡記為CRRA)的情形下,運用鞅方法和變分不等式給出了最優消費和投資策略的閉型解.

1.1 跳擴散環境下的動態資產配置研究

由于受現實中各種突發事件的影響,資產價格常常會出現不連續的跳躍變化,這種變化所帶來的風險通常稱之為跳風險.在現實經濟活動中,跳風險廣泛存在,這在很大程度上影響著投資者的投資收益,從而影響其投資決策.因此,近年來,在資產配置問題的研究中,跳風險越來越受到學者的關注.

Liu[39]等研究了同時在股票價格和波動率上發生跳對投資者最優投資組合策略的影響.通過使用一個雙跳框架下的仿射結構,采用隨機控制方法求出了最優投資策略的解析解,并通過數值模擬分析了考慮事件風險對動態資產配置的影響.Wu[40]研究了在投資機會是隨機且可預測的情形下,帶有稀有事件風險的最優動態資產配置問題,給出了解析形式的近似解,分析了跳對動態決策的影響.結果發現,跳風險使得投資者的投資決策更加地保守.蔡振球[41]等研究了跳擴散環境下考慮紅利支付的動態資產配置問題,假設投資者將其財富在風險資產和無風險資產中進行配置,在終端財富預期效用最大化的目標下,通過動態規劃方法推導出了最優資產配置策略的近似解.最后通過數值模擬發現,當跳發生時,不管跳的幅度和方向如何,投資者都會減少其在風險資產上的投資比例.

1.2 考慮紅利支付的跨期資產配置問題研究

現實經濟活動中,一些資產往往會存在紅利的分配,這在一定程度上會影響投資者的投資收益,從而影響其資產配置策略.因此,在構造最優資產配置策略時考慮紅利支付也是許多學者的研究內容之一.

Karatzas和Shreve[42]考慮了股票的紅利支付,并給出帶股票紅利支付的收入過程、超額收益過程以及帶股票紅利支付的市場風險溢價過程.費為銀和吳讓泉[43]研究了在帶有紅利支付的股票情形下允許借貸的最優消費投資策略.趙培峰[44]等在股票具有紅利支付的情形下,分別從風險價值、在險資本和相對風險價值這3種風險度量約束下對投資組合模型進行了研究.蘇凱[45]等研究了經濟代理人通過不可逆退休時間選擇來調整勞動時間框架下的最優消費與投資問題,主要考慮風險資產派發紅利的情形,運用隨機控制方法求解使得消費-閑暇預期效用最大化的最優策略.蔡振球[41]等研究了跳擴散環境下考慮紅利支付的動態資產配置問題,研究結果表明,帶有紅利支付的資產相對于不帶紅利支付的資產更受投資者青睞.

1.3 通脹下的最優投資模型

從世界范圍來看,近年來,世界經濟多處于通貨膨脹狀態,且在某些時段內,通貨膨脹率一直處于較高水平.從長期的角度來說,投資環境的變化是相當大的.對于長期投資來說,購買力不再是常數,當進行投資決策時,通脹風險應該被考慮進來.對此,國內外學者在通脹環境下對資產配置問題進行了研究.

Hsiao[46]研究了通脹風險下的跨期資產配置,對Merton的跨期資產配置模型推廣,從理論和實證兩方面進行了探討,理論部分研究的是如何構造最優資產配置策略,這一部分致力于研究隨機最優控制問題的求解技術,該隨機最優控制問題適用于跨期資產配置問題.求解技術包括解析解和在解析解無法獲得的情形下的數值解.第二部分即實證部分,對實際的金融市場進行建模.這一部分提供了金融市場的實證研究,特別是通過構造資產配置策略的角度進行建模.以下簡要地闡述Hsiao的模型.

設隨機價格指數It服從擴散過程d It＝It(πtdt＋σId WIt).式中,WIt是一維維納過程;πt是預期即期通脹率;σt是波動率.

基本因子Xt服從n維擴散過程

式中,Xt＝(X1t,…,Xnt)T;F是Rn×1→Rn×1的函數;G是Rn×1→Rn×n的函數;WXt是n維標準維納過程.

投資者的目標函數為

式中,J(t,T,vt,Xt)表示時刻t的值函數(即最優目標函數)表示中期消費;δ表示主觀貼現率;ψt表示時刻t的消費率;e－δsU(vT)表示終端財富;vt表示時刻t的實際財富;U(·)表示投資者的效用函數且為CRRA型.

通過動態規劃方法求解得到最優投資組合策略,分別為均值方差有效投資組合(即短視投資組合)、跨期對沖投資組合及通脹對沖投資組合.

在實證分析中,建立兩種模型,模型一是未指定因子的,即面向數據模型.假設因子服從如下高斯過程

式中,WXt標準(正交)n維維納過程;κ,θ,Γ分別表示Xt的均值回復矩陣、回復率及波動率矩陣.

模型二指定了因子,這兩個因子分別是即期實際利率rt和預期即期通脹率πt.其動力學方程為

通過市場數據分析比較,選擇了雙因子模型作為最優的模型.此外還進行了模型識別和參數估計.最后對兩種模型分別給出了最優投資策略的建議.模型一未考慮通脹,得到其最優投資策略包含兩項,分別是短視投資組合和跨期投資組合.模型二的最優投資策略包含3項,分別是短視投資組合、跨期投資組合及通脹投資組合.最后文章考慮了在賣空限制下的情形,運用倒向馬氏鏈近似方法給出了最優投資策略的數值解.

Hsiao工作表現在4個方面.第一,考慮了價格指數;第二,推廣的跨期資產配置問題的求解技術,使用了在通脹風險下,將Merton的跨期的連續時間框架推廣到適應一個時變的消費價格指數;第三,建立了一個包含通脹指數債券的新模型;第四,基于馬氏鏈近似方法中的雅克比迭代建立了一個數值算法.

國外的其他學者也進行了相關研究.Brennan和Xia[27]研究了通脹下的動態資產配置問題,分析了通脹環境下只有名義資產可交易情形下長期投資者的資產配置問題.通過運用等價鞅方法對模型進行求解,最終給出了投資者的最優投資策略的顯式解.Bensoussan[47]等在消費籃子價格完全可觀察和部分可觀察的情況下分別給出了帶通脹的最優消費和投資策略.Munk[22]等研究了均值回復收益,隨機利率和通脹不確定下的動態資產配置問題.在冪效用函數的假設下,求解出通脹情形下投資者的最優資產配置策略.

國內也有學者進行了研究并取得了一系列成果.費為銀[48]等研究了極端事件沖擊下帶通脹的最優投資組合選擇問題,通過利用公式和動態規劃等方法推導出了投資者的最優消費和投資策略的顯式解.研究結果發現,隨著通脹波動率的增大,投資者在風險資產上的持有頭寸逐漸減少.梁勇[49]等通過利用公式、α-極大極小期望效用偏好模型及隨機分析等方法研究了Knight不確定及機制轉換環境下帶通脹的最優投資問題.Fei[50]研究了帶通脹和馬氏鏈轉換下的最優消費與投資組合問題,給出了投資者最優消費和投資策略的顯式解,并給出了經濟學分析.費為銀和李淑娟[51]在Knight不確定下研究了帶通脹的最優消費和投資策略.運用倒向隨機微分方程和動態規劃等方法推導出了投資者的最優消費和投資策略的顯式解,并分別從樂觀和悲觀兩類投資者的角度分析了含糊對其最優投資策略的影響.費為銀[52-53]等分別研究了跳擴散環境下帶通脹的最優動態資產配置和通脹服從均值回復過程的最優消費和投資決策.丁傳明和鄒捷中[54]研究了考慮通貨膨脹影響的最優消費投資模型.通過在金融市場和消費市場上同時存在通貨膨脹或通貨緊縮情況下的最優消費投資問題,建立了通貨膨脹折扣率的隨機模型及最優消費投資模型,利用鞅方法和隨機分析理論進行求解.

1.4 Knight不確定下的最優消費與投資

在現實世界中,人們通常會面臨兩種不確定,即概率不確定和Knight不確定(含糊).自Knight[6]首次提出Knight不確定這一概念后,引起了國內外學者的廣泛關注,人們發現這一理論能夠更加科學和準確地解釋現實經濟中的一些現象.因此,在投資決策中考慮Knight不確定的影響是現代金融學研究的一個重要課題.Ellsberg[55]通過研究提出了Ellsberg悖論,證實了風險和含糊的區別.Chen和Epstein[56]在連續時間情形下,通過跨期多先驗效用模型研究了含糊、風險和資產收益,給出了投資者的最優消費和投資組合策略,并分別對風險溢價和含糊溢價作出了解釋與區別.

費為銀[57]等研究了Knight不確定下考慮負效用的消費和投資問題.通過動態規劃的方法推導出了投資者的最優消費和投資組合策略的顯式解.Fei[58]研究投資者的最優消費-閑暇、投資組合和退休問題,投資者的偏好通過區別含糊和含糊態度的α-極大極小預期不變替代彈性效用來進行刻畫.李娟[59]等研究了Knight不確定下資產收益率發生紊亂的最優投資策略,考慮在部分信息且市場利息非零的情形下,應用α-極大極小期望效用模型區別投資者的含糊和含糊態度,研究資產收益率發生紊亂時的投資組合問題,分別比較和分析了含糊和含糊態度對投資策略的影響.劉宏建[60]等研究了在Knight不確定環境下,考慮投資者遺產和保險在3種不同借款約束下的最優消費與投資問題,借助于倒向隨機微分方程理論求出了投資者最優消費和投資策略的顯式表達式,最后結合數值分析給出含糊和含糊態度對最優消費和投資決策的影響.余敏秀[61]等研究了Markov切換具有Knight不確定的最優消費和投資組合問題,在模型不確定環境和一般的半鞅市場條件下,基于消費和終端財富預期效用最大化的目標,用鞅方法和對偶理論等工具求得了最優消費和投資組合問題的解.劉宏建[62]等還在連續時間模型假設下研究了股票價格波動率具有模型不確定的最優消費和投資問題,并在CRRA型效用下,獲得了最優化問題值函數的顯式解.費為銀[63]等研究了在Knight不確定和部分信息下的最優投資策略,風險資產由多支股票組成,其收益服從隱馬爾科夫模型(HMM),在α-極大極小期望效用最大化目標下給出了最優投資策略的顯式表達式.研究結果表明,含糊和含糊態度會影響投資者的投資行為.

然而,在Chen和Epstein[56]中的不確定性是資產價格預期收益率具有奈特不確定性,而G-Brown環境下資產價格的波動率具有Knight不確定性如何研究是一個值得研究的課題.為此,Peng[7]研究了非線性期望特別是次線性期望,得出了非線性期望空間下的大數定律和中心極限定理,提出了最大化分布、G-標準正態分布以及G-布朗運動,研究了G-伊藤積分、G-鞅、Jensen不等式以及相應的隨機微分方程等.

總之,對于跨期資產配置問題的研究,國內外的學者進行了大量深入的研究,并已取得了豐碩的研究成果.此外,其中的許多研究成果在實際投資決策過程中獲得了廣泛地應用,并發揮著重要作用.

2 小結與展望

詳細地闡述了跨期資產配置問題的發展歷史,系統地總結了國內外學者在該領域的研究成果.第一部分簡要地介紹了單期模型的發展及其局限性,然后引出跨期模型的發展.其中,做出開創性工作的是Merton,首次提出了跨期模型,為后來的研究奠定了堅實的基礎.

第二部分首先總結了國內外學者在跨期資產配置問題研究方面所取得的成果,其中,就跨期資產配置中常見的幾個問題,如基本因子、求解技術等概括性地闡述了該課題的研究情況.其次,就跳擴散環境、紅利支付、通脹和Knight不確定情形下的跨期資產配置問題的研究進行了闡述,給出了Hsiao所研究的通脹下的跨期資產配置問題的模型和結論.通過對文獻的梳理可以發現,在模型發展上,Merton在1971年提出了跨期模型,為后續跨期問題的研究奠定了理論基礎.然后由其他研究者不斷豐富和發展,引入了通脹、紅利支付、跳、Knight不確定等因素使得模型更加完善,所得結論也更加符合實際.在求解方法上,建立了動態規劃的方法和鞅方法等求解方法,還使用了Feymann-Kac公式等.在解析解無法獲得的情形下,數值求解方法也獲得了發展.這些研究成果在實踐中也獲得了廣泛應用,不斷推動著跨期資產配置問題的研究向前發展.

在Hsiao[46]的研究工作中,只考慮了通脹風險和賣空限制,而通過對上述文獻的分析發現,跳、紅利支付、Knight不確定等因素都會影響投資者的最優投資策略,因此,可以在Hsiao的模型基礎上從以下3個方面進一步研究:第一,將跳因素引入到跨期資產配置中;第二,跨期資產配置中考慮紅利支付這一實際情形;第三,在Knight不確定下,通過引入G-布朗運動來對跨期資產配置問題進行研究.

[1] H Markowitz.Portfolio selection[J].Journal of Finance,1952,7(1):77-91.

[2] J Tobin.Liquidity preference as behavior towards risk[J].Review of Economic Studies,1958,25(2):65-86.

[3] W F Sharpe.Capital asset prices:a theory of market equilibrium under conditions of risk[J].The Journal of Finance, 1964,19(3):425-442.

[4] J Lintner.The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets[J].The Review of Economics and Statistics,1965,47(1):13-37.

[5] R C Merton.Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J].Journal of Economic Theory, 1971,3(4):373-413.

[6] F H Knight.Risk,uncertainty and profit[M].Boston:Houghton Mifflin,1921.

[7] S G Peng.Multi-dimentional G-Brownian motion and related stochastic calculus under G-expectation[J].Stochastic Processes and their Applications,2008,118(12):2 223-2 253.

[8] P A Samuelson.Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming[J].The Review of Economics and Statistics,1969,51(3):239-246.

[9] E Fama.Multiperiod consumption-investment decisions[J].American Economic Review,1970,60(1):163-174.

[10]R C Merton.An intertemporal capital asset pricing model[J].Econometrica,1973,41(5):867-887.

[11]R C Merton.Lifetime portfolio selection under uncertainty:the continuous-time case[J].Review of Economics and Statistics,1969,51(3):247-257.

[12]N Canner,N G Mankiw,D N Weil.An asset allocation puzzle[J].The American Economic Review,1997,87(1): 181-191.

[13]I Karatzas,J Lehoczky,S Sethi,et al.Explicit solution of a general consumption/investment problem[J].Mathematics of Operations Research,1986,11(2):261-294.

[14]T S Kim,E Omberg.Dynamic non-myopic portfolio behavior[J].The Review of Financial Studies,1996,9(1):141-161.[15]J Y Campbell,L M Viceira.Consumption and portfolio decisions when expected returns are time varying[J].The Quarterly Journal of Economics,1999,114(2):433-496.

[16]J Y Campbell,G Chacko,J Rodriguez,et al.Strategic asset allocation in a continuous-time VAR model[J].Journal of E-conomic Dynamics and Control,2004,28(11):2 195-2 214.

[17]J C Cox,C F Huang.Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a diffusion process[J].Journal of Economic Theory,1989,49(1):33-83.

[18]I Karatzas,J Lehoczky,S Shreve.Optimal portfolio and consumption decisions for a“small Investor”on a finite horizon [J].SIAM Journal of Control Optimization,1987,25(6):1 557-1 586.

[19]I Karatzas.Optimization problems in the theory of continuous trading[J].SIAM Journal of Control and Optimization, 1989,27(6):1 221-1 259.

[20]S R Pliska.A stochastic calculus model of continuous trading:optimal portfolio[J].Mathematics of Operations Research,1986,11(2):371-382.

[21]J Y Campbell,L M Viceira.Who should buy long term bonds?[J].American Economic Review,2001,91(1):99-127.

[22]C Munk,C Sorensen,T N Vinther.Dynamic asset allocation under mean-reverting returns,stochastic interest rates and inflation uncertainty:Are popular recommendations consistent with rational behavior?[J].International Review of E-conomics and Finance,2004,13(2):141-166.

[23]M J Brennan,E S Schwartz,R Lagnado.Strategic asset allocation[J].Journal of Economic Dynamics and Control,1997, 21(8-9):1 377-1 403.

[24]C Munk.The Markov chain approximation approach for numerical solution of stochastic control problems:Experiences from Merton＇s problems[J].Applied Mathematics and Computation,2003,136(1):47-77.

[25]J C Cox,J E Ingersoll,S A Ross.An intertemporal general equilibrium model of asset prices[J].Econometrica,1985, 53(2):363-384.

[26]J A Wachter.Portfolio and consumption decisions under mean-reverting returns:An exact solution for complete markets [J].Journal of Financial and Quantitative Analysis,2002,37(1):63-91.

[27]M J Brennan,Y Xia.Dynamic asset allocation under inflation[J].The Journal of Finance,2002,57(3):1 201-1 238.

[28]M J Brennan,A W Wang,Y Xia.Estimation and test of a simple model of intertemporal capital asset pricing[J].The Journal of Finance,2004,59(4):1 743-1 775.

[29]J Liu,J Pan.Dynamic derivative strategies[J].Journal of Financial Economics,2003,69(3):401-430.

[30]D Duffie,R Kan.A yield-factor model of interest rates[J].Mathematical Finance,1996,6(4):397-406.

[31]R Korn,H Kraft.A stochastic control approach to portfolio problems with stochastic interest rates[J].SIAM Journal of Control and Optimization,2001,40(4):1 250-1 269.

[32]G Chacko,L M Vicera.Dynamic consumption and portfolio choice with stochastic volatility in incomplete markets[J].The Review of Financial Studies,2005,18(4):1 372-1 401.

[33]M Schroder,C Skiadas.Optimal consumption and portfolio selection with stochastic differential utility[J].Journal of E-conomic Theory,1999,89(1):68-126.

[34]C Munk,C Sorensen.Dynamic asset allocation with stochastic income and interest rates[J].Journal of Financial Economics,2010,96(3):433-462.

[35]費為銀,吳讓泉,周少甫.帶預期的最優消費選擇:鞅方法[J].數學雜志,2001,21(2):137-144.

[36]楊昭軍,李致中,鄒捷中.部分信息下的最優消費策略顯示解[J].應用概率統計,2001,17(4):390-398.

[37]劉海龍,吳沖鋒.基于最差情況的最優消費和投資策略[J].管理科學學報,2001,4(6):48-54.

[38]王敏.不確定條件下動態投資組合管理研究[D].上海:復旦大學,2009.

[39]J Liu,F Longstaff,J Pan.Dynamic asset allocation with event risk[J].Journal of Finance,2003,58(1):231-259.

[40]L R Wu.Jump and dynamic asset allocation[J].Review of Quantitative Finance and Accounting,2003,20(3):207-243.

[41]蔡振球,費為銀,潘磊.跳擴散環境下考慮紅利支付的動態資產配置問題研究[J].純粹數學與應用數學,2013,29(1): 99-105.

[42]I Karatzas,S E Shreve.Methods of mathematical finance[M].New York:Springer,1998.

[43]費為銀,吳讓泉.容許借貸的消費投資策略研究[J].應用數學,2002,13(2):14-16.

[44]趙培峰,費為銀,王芳.不同風險度量約束下帶有紅利的投資組合模型研究[J].經濟數學,2009,26(1):41-48.

[45]蘇凱,費為銀,朱永王.考慮紅利支付與提前退休的最優投資組合[J].應用數學與計算數學學報,2012,26(1):77-84.

[46]C Y Hsiao.Intertemporal asset allocation strategies under inflationary risk[D].Bielefeld:Bielefeld University,2006.

[47]A Bensoussan,J Keppo,S P Sethi.Optimal consumption and portfolio decisions with partially observed real prices[J].Mathematical Finance,2009,19(2):215-236.

[48]費為銀,夏登峰,劉鵬.極端事件沖擊下帶通脹的最優投資組合選擇問題研究[J].應用概率統計,2014,30(3):322-336.

[49]梁勇,費為銀,唐仕冰,等.Knight不確定及機制轉換環境下帶通脹的最優投資問題研究[J].數學雜志,2014,34(2): 335-344.

[50]W Y Fei.Optimal consumption and portfolio under inflation and Markovian switching[J].Stochastics,2013,85(2): 272-285.

[51]費為銀,李淑娟.Knight不確定下帶通脹的最優消費和投資模型研究[J].工程數學學報,2012,29(6):799-806.

[52]費為銀,呂會影,余敏秀.通脹服從均值回復過程的最優消費和投資決策[J].系統工程學報,2014,29(6):791-798,868.[53]費為銀,蔡振球,夏登峰.跳擴散環境下帶通脹的最優動態資產配置[J].管理科學學報,2015,18(8):83-94.

[54]丁傳明,鄒捷中.考慮通貨膨脹影響的最優消費投資模型[J].中南大學學報,2004,35(1):167-170.

[55]D Ellsberg.Risk,ambiguity and the savage axioms[J].The Quarterly Journal of Economics,1961,75(4):643-699.

[56]Z J Chen,L G Epstein.Ambiguity,risk and asset returns in continuous time[J].Econometrica,2002,70(4):1 403-1 443.

[57]費為銀,陳超,梁勇.Knight不確定下考慮負效用的消費和投資問題的研究[J].應用概率統計,2013,29(1):53-64.

[58]W Y Fei.Optimal consumption-leisure,portfolio and retirement selection based onα-maxmin expected CES utility with ambiguity[J].Appl.Math.J.Chinese Univ.,2012,27(4):435-454.

[59]李娟,費為銀,石學芹,等.奈特不確定下資產收益率發生紊亂的最優投資模型研究[J].高校應用數學學報A輯,2013, 28(1):13-22.

[60]費為銀,劉宏建,朱永王,等.Knight不確定下考慮保險和退休的最優消費-投資和遺產問題研究[J].運籌學學報, 2014,18(3):88-98.

[61]余敏秀,費為銀,夏登峰.Markov切換具有Knight不確定下最優消費和投資組合研究[J].應用概率統計,2014,30(4): 353-371.

[62]劉宏建,費為銀,祖紛,等.股價波動率具有模型不確定的最優消費與投資問題[J].工程數學學報,2014,31(1):35-43.

[63]費為銀,李鈺,石學芹,等.奈特不確定和部分信息下的最優交易策略[J].應用數學學報,2014,37(2):193-205.

Research advance on intertemporal asset allocation strategies under inflationary risk

RUI Ya-yun,FEI Wei-yin?,XIA Deng-feng
(College of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

The intertemporal asset allocation problem under inflationary risk is elaborated.Firstly, together with the research of scholars in this field at home and abroad,the study status of intertemporal asset allocation problem is discussed;Secondly,the intertemporal asset allocation problem is described from the aspects of the jump diffusion environment,dividend payments,inflation and Knightian uncertainty respectively;Finally,the future study of the intertemporal asset allocation with inflationary risk is prospected.

inflation;intertemporal asset allocation;dynamic programming;HJB equation;Knightian uncertainty

O211.63;F830.9

A

1672-2477(2015)05-0078-08

2015-01-10

國家自然科學基金資助項目(71171003,71571001)

芮亞運(1990-),男,安徽宣城人,碩士研究生.

費為銀(1963-),男,安徽蕪湖人,教授,博士.

book=83,ebook=86