平面帶緩和曲線的圓曲線高效測設方法的探究

鄧紹云

（1.新疆應用職業技術學院，新疆 奎屯 833200；2.新疆永振建筑安裝工程有限公司，新疆 烏蘇 833000；3.新疆北疆建筑規劃研究院，新疆 奎屯 833200）

0 引 言

平面帶緩和曲線的圓曲線是線路工程中最為典型的曲線單元，很多線路曲線就是由眾多不同曲率、不同長度的帶緩和曲線的圓曲線單元組成，只不過各個組成單元的特性要素不同而已。故平面帶緩和曲線的圓曲線的測設是線路工程建設過程中的典型工作也是關鍵性工作，探究其高效的測設方法具有很重要的工程意義。

1 研究基礎與問題

平面帶緩和曲線的圓曲線包括三個部分：第一個部分為一條直線如圖1所示的左側Z點與A（ZH）點這段直線；第二段為緩和曲線段，如圖1左側中間從點A（ZH）到點C（HY）；第三段為圓曲線段，如圖1中所示點C（HY）到點D（YH），其中點為圓曲線中點，也為平面帶緩和曲線的圓曲線的中點，因為平面帶緩和曲線的圓曲線一般是左右對稱，其圓心為點O，其半徑為R。如圖1所示，左右直線段的延長線的交點為JD點，它們的夾角為平面帶緩和曲線的圓曲線的偏角α，偏角α 值越小，則平面帶緩和曲線的圓曲線偏轉越平穩，越有利于車輛的轉彎運動。

圖1 平面帶緩和曲線的圓曲線示意圖

平面帶緩和曲線的圓曲線定義簡單，其數學涵義明確，但工程測量實踐中要按照該定義和數學涵義進行實際測設極為困難。從圖1可見，平面帶緩和曲線的圓曲線的測設，分為三個部分：①平面直線段的測設；②平面緩和曲線段的測設；③平面圓曲線段的測設。其中的難點和重點在于平面緩和曲線段的測設。

由于平面緩和曲線段的測設極為困難，從而人們實際測設過程中，往往是運用逐漸逼近，基本相似的原理去進行測設的。首先表現在對于平面緩和曲線的數學定義在某種程度上的變通和近似，從而常有用平面回旋曲線、平面三次拋物曲線或平面雙紐線等來近似接近。在進行帶平面緩和曲線的圓曲線的工程測設過程中，常用的測設方法為偏角法。其測設的一般程序為：先選擇方法，然后建立起坐標（一般為極坐標），接下來測設出帶平面緩和曲線的幾個關鍵點（即直線與緩和曲線的交點ZH、緩和曲線與直線的交點HZ、曲線中點即圓曲線中點QZ、緩和曲線與圓曲線的交點HY、圓曲線與緩和曲線的交點YH），再就是增測設一些細部點（根據要求所測設的里程樁點位）。一般工程實際中，除非地形、地貌和地物的客觀限制外，工程設計中一般都會將平面帶緩和曲線的圓曲線設計成為對稱性的。所以只要知道其一半邊的測設，然后根據對稱性就可以將整個平面帶緩和曲線的圓曲線測設完成。但教材和一些文獻[2,3,4]方法極為復雜，讓普通工程技術人員極難掌握，其公式極為復雜難記，從而實際測設放樣過程中經常出錯。故有必要探索研究高效的平面帶緩和曲線的圓曲線的測設方法。

2 高效測設方法的探究

線路工程實際中，平面帶緩和曲線的圓曲線測設放樣工作就是要將該曲線上的諸多密集的點位，通過測設放樣的手段，準確定位打下木樁，從而使得該曲線在工程建設實施后，能達到工程設計要求。

測設放樣過程中必須根據工程地形、地貌和地物的實際情況以及施工單位的測設工具和技術水平等來決定測設方案的選定。本方法最好能適用于任何條件下的測設工作的順利開展，故有必要具備一定的預備知識。

2.1 預備知識

如圖2所示為直角坐標系經平移和旋轉之后示意圖，如圖1所示，坐標系XOY經平移到點O'(X0，Y0)，為新的坐標系X'O'Y'，然后再逆時針旋轉θ 角，從而成為最終的坐標系X"O'Y"，則在最初坐標系XOY中的任意點M（Xm,Ym）在最終坐標系X"O'Y"的坐標為M（X"m,Y"m），根據數學知識[1]可以算得。

圖2 坐標平移和旋轉后示意圖

從而有：Xm=X0+X'm=X o+X"mcosθ+Y"msinθ；Ym=Y0+Y'm=Y0+Y"mcosθ-X"msinθ

由于工程設計圖紙一般都是給定的北京54坐標體系，從而對于極坐標和偏角坐標等都只是在工程測設放樣中實際應用。其平移和旋轉后坐標的計算原理相同，找到幾何關系，進行換算。本方法將要求測設放樣者能熟練進行坐標系平移和旋轉的坐標運算能力，只有這樣，才能根據測設過程中所遇到的實際情況，因地制宜選擇測設方案。

2.2 測設程序與步驟

圖3 直線段測設放樣示意圖

平面帶緩和曲線的曲線的測設程序為：①首先根據實際情況選定合適的測設方案；②在工程設計圖紙上找到帶左右兩條直線的交點JD，在JD點上架設儀器，根據坐標運算或偏角法確定并測設放樣出A（ZH）、B（HZ）、圓心點O、曲線的中點QZ；③左直線段的測設放樣；④圓曲線段的測設放樣；⑤左邊緩和曲線段的測設放樣；⑥根據對稱原理，將整個曲線的右邊測設放樣定位。在測設放樣過程中，有必要通過坐標系的平移和旋轉計算出這幾個平面帶緩和曲線的圓曲線關鍵點位JD、A（ZH）、B（HZ）、圓心點O、曲線的中點QZ、C（HY）、D（YH）的坐標（設計圖紙一般給出絕對坐標值，且我國一般是北京54坐標值，必須明白北京54坐標系的知識）。其中，直線段的測設放樣較容易，而圓曲線段的測設放樣難度大些，而緩和曲線段的測設放樣就顯得極為困難和關鍵。

2.3 直線段的測設

如圖3所示將平板儀或帶水平度盤的水準儀或經緯儀或全站儀架設在點位JD，JD點的坐標一般工程設計圖紙給定，可以通過GPS定位，或由其他給定已知點位測設確定。通過直線定向的方法來確定直線AZ方向，并沿該方向上間隔一定的小段距離密集打點打下木樁確定直線上各點的實際地面的位置。然后根據旋轉法，逆時針旋轉角度（90°-0.5α）測設放樣出直線JDO方向，并由計算而得點JD到圓心O點的距離值而測設放樣出圓心O點的地面位置。

2.4 圓曲線段的測設

當工程測設單位擁有較好的測設工具如全站議、GPS系統，且懂得坐標平移和旋轉換算知識時，采用直角坐標測設放樣法還是比較合適的。人們可以根據設計圖紙，先測設出該圓曲線所在的圓心位置，然后在該處建立其適應的相對坐標系，將起點A與圓心點O（A、O兩點的坐標一般設計圖紙給定，且采用的是北京54坐標）的連線取作為相對坐標X軸的正向，如圖2所示。根據前文坐標系的平移（原點平移到圓曲線圓心O點）和旋轉（有向線段OA從O點的正北指向旋轉θ 角度，逆時針旋轉取正值或順時針旋轉取負值）代進公式進行計算，算出圓曲線上任意點M（Xm,Ym），然后將這些點的坐標輸入全站議或GPS系統，從而得到測設放樣成功。

這種辦法只是計算較為復雜，當這些點位的坐標計算準確之后，其測設放樣的速度和準確度就看所擁有的全站議或GPS系統的性能和測設放樣者的認真程度。當然也可以采用極坐標測設法和偏角測設法進行測設放樣，道理基本相同。

圖4 平面圓曲線直角坐標測設法示意圖

2.5 緩和曲線段的測設

如圖5所示，以緩和曲線段與直線的交點ZH點位為極點，以直線的延伸方向為極軸，順時針旋轉角度θ 為正，緩和曲線上任意點M，其坐標為（θ，ρ(θ)），射線ZHM順時針偏轉一個微小的角度dθ,線段ZHM長度有個微增長dρ(θ)，此時，緩和曲線弧段的長度定義為L(θ)，任意點M（θ，ρ(θ)）所對應的曲線曲率半徑定義為R（θ），緩和曲線的總長定義為ΣL。

根據緩和曲線的定義可知：L(θ)×R（θ）=C=ΣL×R

此外，根據幾何關系可以近似認為，當直線段ZHM偏一微小的角度dθ 后，M 點走到M'點，此時M'點的坐標為（θ+dθ，ρ(θ)+dρ(θ)）。此時可以近似認為M與M'兩點在同一圓曲線上，其圓半徑為R（θ），弧線M M'長度近似為dρ(θ)，弧線M M'所對應的圓周角近似為dθ，根據幾何原理知道弧線M M'長度為dρ(θ)=R(θ)×dθ；同時又因為dρ(θ)=d L(θ)。

所以，L(θ)×d L(θ)=ΣL×R×dθ；解該微分方程得：

圖5 平面緩和曲線偏角法測設示意圖

在這測設放樣的過程中，ZH點到M 點的距離的控制可以通過將經緯儀的望遠鏡調制在水平狀態而卡住讓其在豎直平面內不得動彈，通過讀水平標尺的經緯儀目鏡十字絲上絲與下絲讀數之差值乘以100即為該距離的方法來達到目的[2]。

3 結論與展望

本文在參考前人的一些研究基礎上，本著實際高效的測設放樣原則，將帶緩和曲線的圓曲線的測設放樣工作分成三個階段進行，直線段和圓曲線段均可采用直角坐標法或極坐標法或偏角法，而對于測設難度很大的緩和曲線段的測設則選擇偏角法，運用較為簡單的測量儀器：經緯儀或帶水平度盤的水準儀或平板儀架設在直線與緩和曲線的交點上，建立其極坐標測量體系，通過對平面緩和曲線的定義理解和建立合理的微分方程，并正確求解出所要測設放樣的曲線上的任意點到儀器架設點的距離，也即求解出緩和曲線上任意所要測設放樣點的極坐標，進行測設放樣。該方法很容易理解，使得測設放樣也較容易順利進行，所用工具也較為原始和普通，具有一定的創新性。該方法克服了前人的繁瑣復雜、公式難記等缺陷，能為普通工程測量技術人員所掌握，值得推薦。

[1]侯風波.高等數學（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]王金玲.工程測量（[M].武漢：武漢大學出版社，2013.

[3]張鳳蘭.測設帶緩和曲線圓曲線的一種方法[J].東北公路，2001（4）.

[4]吳英.帶復合型緩和曲線的圓曲線邊樁坐標計算[J].中國公路工程，1998（1）.