高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用與探究

楊金全

摘要：高三數(shù)學(xué)中恒成立的學(xué)習(xí)一定要打牢基礎(chǔ)，充分掌握好高三數(shù)學(xué)課中有關(guān)分支的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)培養(yǎng)良好的解題技能。文章開頭引言部分引出了所要寫的話題，中間內(nèi)容則寫了高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用和解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題對學(xué)生的要求，文章最后高考數(shù)學(xué)中的恒成立對學(xué)生的學(xué)習(xí)提出很高的要求。

關(guān)鍵詞：高考 數(shù)學(xué) 恒成立

高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題包含的內(nèi)容有二次函數(shù)和一次函數(shù)、有關(guān)的函數(shù)圖像和函數(shù)本身的性質(zhì)，需要進(jìn)行有關(guān)的換元，歸類、題型和圖像相結(jié)合、還包含由函數(shù)的思想方法，對提高學(xué)生的綜合解題能力很有幫助，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和思維的靈活性。高三數(shù)學(xué)的恒成立問題主要有以下的幾種形式：三角函數(shù)、指數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。恒成立問題涉及到的知識(shí)比如有將換元的思想引入到相關(guān)函數(shù)的圖像和性質(zhì)等。可以通過以下幾種方法解決出現(xiàn)的恒成立問題。這些方法分別是：賦值型，一次函數(shù)型，二次函數(shù)型，變量分離型，數(shù)形結(jié)合型。面對高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用的出現(xiàn)，有必要進(jìn)行相關(guān)的研究，為高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)工作提供相關(guān)的幫助。

一、高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題的應(yīng)用

（一）高考數(shù)學(xué)中的恒成立在基礎(chǔ)題中的應(yīng)用

在高三數(shù)學(xué)中有這樣一個(gè)恒成立的問題：涵蓋了一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。變量X和Y在一個(gè)變化過程中，每一個(gè)確定的x值，都有唯一確定的y值與x對應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，x是自變量。

也有這樣一道題：“Amn表示高三數(shù)學(xué)恒成立問題，n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=Amn公式中表示從n開始由大到小連續(xù)m個(gè)自然數(shù)的連乘積”;“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，無限制條件的排。”

還有：若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自 然數(shù)n是（ ） （A）4005 （B）4006 （C）4007 （D）4008。

分不清充分條件和必要條件，分析如下：“‘有兩個(gè)條件A和B，假設(shè)A=B正確，那么B是A的充分條件，A是B的必要條件，;‘假設(shè)B=A正確，那么B是A的必要條件，A是B的充分條件，;‘假設(shè)B=A，那么B和A互為充要條件”。

夯實(shí)基礎(chǔ)是高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一關(guān)。高三數(shù)學(xué)恒成立的學(xué)習(xí)過程實(shí)際上就是對基本公式的運(yùn)用，靈活使用概念原理，注意提高良好解題思路，提高分析和解決問題的能力，當(dāng)具備了一定的知識(shí)能力之后，個(gè)人的解題細(xì)心度和堅(jiān)強(qiáng)的毅力起著至關(guān)重要的作用。

（二）高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題在綜合題中的應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)中的恒成立在綜合題中出現(xiàn)的概率也比較大，這就需要較高的解題技巧。高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題，涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)。綜合題往往涵蓋了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，恒成立問題的解決需要多動(dòng)腦筋，充分運(yùn)用邏輯思維，解題要認(rèn)真。如果哪個(gè)環(huán)節(jié)出了問題，整個(gè)解題結(jié)果就會(huì)功虧于潰。

我們來舉個(gè)例子：f（x）是負(fù)無窮大和正無窮大上的定義域，0=f（1），0到正無窮大是增函數(shù)，奇函數(shù)f（x）;θ在0到π/2的區(qū)間，函數(shù)sin2θ+m·cosθ-2m等于g（θ）。如果集合M等于g（θ）小于0，集合N等于m，問M和N的交集。

復(fù)合函數(shù)f（x）中有N，不知道如何進(jìn)行解決，無法求出M和N的交集。當(dāng)束手無策時(shí)，查看題目，f（x）在0到正無窮大是增函數(shù)，奇函數(shù)f（x），所以在負(fù)無窮大到0區(qū)間f（x）也是增函數(shù)。根據(jù)f（1）等于0知f（-1）等于0，畫圖可知，當(dāng)f（x）小于0時(shí)可得0小于1或者x小于1。

∴N=m=g（θ）<-1或0<1，

∴M∩N={g（θ）<-1。如m·cosθ-2m+1+sin2θ小于0，相關(guān)變換得到2m-2cos2θ-m.cosθ+大于0結(jié)果是恒成立的。

在這個(gè)雙變量中不知道主元是誰，判斷得知是m。學(xué)生們習(xí)慣按照傳統(tǒng)的解題思路：使“cosθ=t，屬于0到1的區(qū)間，可看成二次函數(shù)t”，即：“（t-m/2）2+2m-2-m2/4=Φ（t）=t2-mt+2m-2，屬于0到1的區(qū)間。”這是常見到的最大值和最小值問題，有三種情況需要討論，得到“m>4-2=M∩N”。

從m的角度進(jìn)行思考就會(huì)想到用采用分離變量的方式：“t2-mt+2m-2大于0<=> m大于（2-t2）/（2-t）”，

使“‘（2-t2）/（2-t）等于h（t），那么‘t2+2/（t-2）+4≤4-2=>m>4-2”

“h（t）等于‘t2+2/（t-2）+4≤4-2=>m>4-2”。

該題包含的知識(shí)點(diǎn)有不等式、三角和函數(shù)。若換成解二次函數(shù)的話，有三個(gè)不等式組需要解決，運(yùn)算過程繁雜，如果不細(xì)心，就會(huì)出錯(cuò)，分離變量法有較高的對代數(shù)恒等式的要求，抽象思維的想象較高，在這個(gè)過程中不容有一點(diǎn)差錯(cuò)，這樣才能取得運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。本題涉及主要數(shù)學(xué)思想方法有：

1.借助不同方式實(shí)現(xiàn)有關(guān)問題的解決

將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決：

閉區(qū)間不等式的恒成立往往在函數(shù)中多有出現(xiàn)，這是解題要注意的第一個(gè)方面;在求解m的范圍時(shí)，m被看做了一個(gè)常數(shù)，變換到二次函數(shù)中包含有t的變量，華麗變身是解題的第二個(gè)步驟。

2.圖形和函數(shù)相結(jié)合的方式

本題中有兩次用到該方法，一處是由f（x）<0得x<1或0<1，從而得g（θ）<-1或0<1;另一處是是求二次函數(shù)Φ（t）在區(qū)間[0，1]的最值。

該題所用到的解題技巧有：

a.函數(shù)最值的恒成立問題：若m>f（x）恒成立，且M=f（x）max，則m>M。

b.分離變量法。

c.配方法。不要小看這種方法，特別留意含有二次函數(shù)的配方題型。

d.不等式向二次分式的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)恒等變形。

二、解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立的問題對學(xué)生的要求

解題要想有清晰的思路，思想方法和技巧很重要，另外就是個(gè)人因素，這其中包括認(rèn)真程度和良好的意志力，還有一點(diǎn)就是學(xué)習(xí)過程中形成的學(xué)習(xí)方法，個(gè)人因素往往因人而異。在做同一道題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果，有的學(xué)生能把題做出來，有的學(xué)生做不出來。學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)是一個(gè)人慢慢積累的過程，而學(xué)習(xí)意志的培養(yǎng)則是一個(gè)漫長的過程，這個(gè)過程的很大一部分因素取決于個(gè)人的價(jià)值取向和人生價(jià)值觀。當(dāng)學(xué)生看到比較困難的題時(shí)就會(huì)感到渾身不舒服，束手無策，滿腦子一片空白，做題的意志力在不斷下降。具有超強(qiáng)意志力的人會(huì)抓住題目不放，平靜下心情，認(rèn)真進(jìn)行分析，尋求新的解題思路，即使結(jié)果不能令人滿意，但是在部分解題過程中還是有點(diǎn)解題思路的。

參考文獻(xiàn)：

[1]侯新蘭.探析高考數(shù)學(xué)中恒成立問題的解題策略[J].考試：高考數(shù)學(xué)版，2009（Z4）.

[2]曹澤紀(jì).高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題[J].學(xué)問，2009（2）.

（責(zé)編 金 東）