Nudging同化方案改進及其在西北太平洋海域M2分潮模擬中的應用＊

魏澤勛，王永剛，高秀敏，方國洪

（1.國家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島266061；2.青島海洋科學與技術國家實驗室 區域海洋動力學與數值模擬功能實驗室，山東 青島266071）

潮汐是海洋最基本的運動形式之一。它與人類活動關系密切，準確掌握潮汐的運動規律對漁業生產和生態環境都具有重要意義。此外，航運交通、海港工程、海岸防護、能源利用、環境保護以及軍事活動等，都受潮汐現象的影響。潮汐學的研究還對其他方面如海洋污染物擴散、泥沙運動、水體交換、風暴潮等問題的研究有重要作用。因此，針對潮汐進行研究具有重要的理論意義和實際應用價值。

對于中國近海，早期的潮汐研究主要是基于觀測資料［1－2］，這些觀測資料大多集中于沿岸和島嶼附近。隨著計算技術的發展，數值模擬方法逐漸被普遍應用于潮汐研究［3－16］，這些研究大多集中于中國近海的某一海區，或者將渤、黃、東海作為一個整體。

近年來，觀測資料尤其是衛星高度計資料的大量涌現，使潮汐學研究有了更多、更全面的資料［17－22］。如何更有效率地利用這些資料，是擺在人們面前的重要問題。多年來，人們嘗試將觀測資料與數值模型相結合，從而使數值模擬結果與觀測盡可能接近，這種將觀測資料與數值模型相結合的方法稱為資料同化方法。早在上世紀70年代，方國洪［23］就成功建立了潮波變分同化模式，并用于模擬黃海M2分潮。隨后將同化方法用于潮波模擬的研究多集中在2000年以后。韓桂軍等［24－25］采用基于最優控制理論的伴隨法建立伴隨模型，利用驗潮站的水位資料以及TOPEX／Poseidon（以下簡稱T／P）衛星測高數據在黃海、東海進行變分數據同化試驗，優化了開邊界條件，提高了數值模擬的精度。呂咸青和方國洪［26－27］采用伴隨法，由渤海沿岸19個驗潮站的潮汐調和常數來反演渤海海域的開邊界條件，數值模擬結果較好地體現了渤海M1和M2潮波的基本特征。吳自庫等［28］利用伴隨同化方法，把T／P衛星高度計資料提取得到的沿軌分潮調和常數同化到二維非線性潮汐數值模式中去，通過優化模型中的開邊界條件和底摩擦系數，較好地模擬了南海M1和M2分潮的潮汐。張繼才和呂咸青［29－30］探討了獨立底摩擦系數如何選取，才能使得渤、黃、東海M2分潮伴隨同化數值模擬的精度提高。丘仲鋒等［31］將大約10a的T／P高度計資料，利用伴隨同化方法，同化到二維非線性潮汐數值模式中，模擬了黃海、渤海區域M2，S2，O1和K1分潮。Zu等［32］通過將T／P衛星高度計資料同化到正壓潮波模型中，模擬了南海8個主要分潮（M2，S2，K1，O1，N2，K2，P1和Q1）。以上都是變分同化方法在潮波模式中的應用，趨近法同化也常用于潮波數值模式中。王永剛等［33］采用趨近法，建立了渤、黃、東海潮汐同化數值模式。丘仲鋒和何宜軍［34］利用趨近插值法將高度計資料同化到二維非線性潮汐數值模式中，模擬了中國近海M2分潮的分布。朱學明等［35］利用FVCOM海洋數值模式，采用趨近法同化84個沿岸驗潮站的觀測資料，模擬了西北太平洋海域M2，S2，K1和O1四個主要分潮。

本文基于POM模式，采用Nudging同化技術，建立了西北太平洋海域潮波數值模式，并利用數值實驗討論了Nudging松弛項的差分方案及Nudging松弛系數對潮波模擬結果的影響。

1 數值模式

POM（Princeton Ocean Model）模式是美國普林斯頓大學Blumberg和Mellor自1977年建立起來的，經過多次修改，已成為最常用的海洋數值模式。該模式水平方向采用正交曲線網格，網格配置采用Arakawa C網格，垂向上采用σ坐標。

本文采用Nudging同化方法，同化方案如下：

模式原方程為

式中，ζ為水位；n為時刻；Δt為時間步長；L為連續方程中的其他項。

1）Nudging松弛項顯式差分方案

在模式原方程基礎上增加Nudging項，則：

式中，ζo，m為第m個觀測水位；α為松弛系數，該值愈大表明趨近觀測值的約束作用愈強；ωm為其權重，若dl≤DM，ωm＝exp（1－dl／D），若dl＞DM，ωm＝0（其中；D取1／6°；DM取1°；λ和φ分別為經度和緯度）。

進一步得：

2）Nudging松弛項隱式差分方案

在模式原方程基礎上增加Nudging項：

最終得：

本文以西北太平洋海域為研究區域，范圍為105°30′～141°E、14°～41°N。模式的水平分辨率為1／12°×1／12°（圖1），垂向分10層。水深采用ETOPO2（National Geophysical Data Center，NOAA）并利用當地海圖資料進行修正。開邊界處采用水位開邊界條件進行驅動，調和常數由TPXO 6.0［36］資料集插值得到。本研究采用正壓潮模擬，溫度和鹽度均取常數，模式從靜止狀態開始計算，對M2分潮模擬40個周期，存儲最后一個周期結果，并對其進行調和分析，用來研究西北太平洋海域潮汐分布及潮波傳播特征。

本文用到的觀測值采用218個沿岸和島嶼驗潮站資料和218個衛星高度計提取得到的調和常數資料，其站位分布見圖2，其中153個沿岸和島嶼驗潮站資料和185個衛星高度計提取得到的調和常數資料用在模式中，剩余的用于模擬結果的檢驗。

圖1 計算網格Fig.1 Model grid

圖2 觀測值站位分布圖Fig.2 Locations of observation stations

2 數值實驗及結果

針對Nudging松弛項顯式和隱式差分方案及Nudging松弛系數對潮波模擬結果的影響，設計了一系列的數值實驗（表1），實驗1不加Nudging松弛項，實驗2～7加Nudging松弛項且采用顯式差分方案，實驗8～15加Nudging松弛項且采用隱式差分方案。為了分析各試驗模擬結果的優劣，本文用振幅絕均差和遲角絕均差來表示計算值和觀測值之間的偏差，這種方法比較直觀。其計算公式為：

式中，H為振幅；g為遲角；下標sim和obs分別代表計算值和觀測值；N為觀測值個數。

表1 實驗方案設置Table 1 Experiments on nudging schemes

但是我們知道，當振幅較小時，計算和觀測的遲角都不太穩定，同時振幅較小時的誤差對潮高計算誤差影響也較小，故式（7）中不考慮振幅的差別而將所有遲角差進行平均并不十分合理。另一種方法不是很直觀，但更合理一些，這種方法取均方根偏差：

式中，a＝Hcosg；b＝Hsing；σ為計算值和觀測值之間的距離，它表征了計算值和觀測值的偏離程度，而它與觀測值變化性的相對偏離程度為相對偏差：

式中，r為線性回歸中的相關系數，r2表示計算值和觀測值的擬合程度。

表2給出了數值實驗模擬結果與98個觀測值的偏差對比，從中可以看出：

1）潮波模式中加了Nudging松弛項（實驗2～15）的模擬結果要明顯優于未加Nudging松弛項（實驗1）的模擬結果；

2）在松弛系數取值相等情況下，Nudging松弛項采用隱式差分方案的結果均優于采用顯式差分方案的結果；

3）Nudging松弛項差分方案不論為顯式還是隱式，模擬結果的偏差都隨著松弛系數的增加而逐漸減小，當松弛系數增加到最優值（0.002）后，模擬結果的偏差都隨著松弛系數的增加而增加；

4）Nudging松弛項差分方案為顯式時，當松弛系數太大時（＞0.005），會導致模式溢出；Nudging松弛項差分方案改為隱式后，能夠有效提高松弛系數的閾值。

表2 各實驗模擬結果與觀測值的偏差對比Table 2 Comparison between numerical simulations and observations

圖3給出了實驗10模擬得到的M2分潮的同潮圖，與Fang等［21］相比，除了在南黃海330°和60°等遲角線走向略有不同外，傳播趨勢基本相同，較好地體現了西北太平洋海域的潮波傳播特征。M2分潮都有4個無潮點，其中2個位于渤海，分別位于黃河口附近和秦皇島外海；另外2個位于黃海，分別位于成山頭附近和海州灣外。最大振幅位于南黃海東部江華灣，接近3m。本文在渤海黃河口附近得到了一個完整的旋轉潮波系統，與王永剛等［37］給出的無潮點位置基本一致，而丘仲鋒和何宜軍［34］以及朱學明等［35］模擬得到的黃河口附近的無潮點基本都已退化到陸地上。

圖3 實驗10得到的M2分潮同潮圖Fig.3 Co－tidal chart of M2from Experiment 10

3 結語

本文基于POM模式，針對Nudging松弛項的差分方案及Nudging松弛系數進行了數值試驗，結果表明：

1）引入Nudging松弛項的潮波模擬結果明顯優于未加Nudging松弛項的模擬結果；

2）在松弛系數取值相等情況下，Nudging松弛項采用隱式差分方案的結果要優于采用顯式差分方案的結果；

3）Nudging松弛項差分方案不論是顯式還是隱式，模擬結果的偏差都隨著松弛系數的增加而逐漸減小，當松弛系數增加到最優值后，模擬結果的偏差將隨著松弛系數的增加而加大；

4）Nudging松弛項差分方案為顯式時，當松弛系數太大時，將導致模式溢出；而Nudging松弛項差分方案為隱式時，能夠有效增大松弛系數的閾值。

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