復雜地形下帶自由表面水流的分離渦模擬

張景新

（1.上海交通大學水動力學教育部重點實驗室，上海 200240；2.上海河口海岸科學研究中心河口海岸交通行業重點實驗室，上海 201201）

文章編號：1001?246X（2015）05?0561?11

復雜地形下帶自由表面水流的分離渦模擬

張景新1，2

（1.上海交通大學水動力學教育部重點實驗室，上海 200240；
2.上海河口海岸科學研究中心河口海岸交通行業重點實驗室，上海 201201）

將分離渦模型（DES），即一種RANS和LES的混合模型，應用于帶自由表面的地表水流運動，建立一套數值仿真模型.模型基于有限體積法，水平面內采用非結構計算網格，垂向為結構化網格，對流項離散格式采用二階TVD格式，并行基于OpenMP語言庫.算例表明DES模型有助于揭示復雜地形條件下帶自由表面水流的大渦擬序結構.

分離渦；擬序結構；自由表面流動；動壓模型

0 引言

天然地表水流涉及洋流、河流、湖流等，對其水動力特征的研究有助于水利工程、水環境工程等的順利開展.基于雷諾平均（RANS）的數學模型得到了廣泛的應用，該類模型可描繪水流的時均流動特征，且計算效率較高.高精度數值模擬技術（LES、DNS）有助于流動細觀結構的揭示，可描繪出水流運動的大渦擬序結構.但鑒于地表水流的時空尺度及復雜的邊界幾何形狀，無論LES還是DNS近期都較難付諸于實際工程的數值模擬研究.結合LES與RANS兩者的混合模型，近年來逐漸被用于工業流動的數值模擬，將其應用于地表水流運動的數值模擬，有助于進一步研究該類水流運動的若干機理問題.分離渦（DES）模型是一種RANS/LES的混合模型，由Spalart等［1］提出，后續有了長足進展［2－5］.本文將分離渦（DES）模型拓展至水動力學數值模擬，針對復雜地形條件下的帶自由表面水流運動開展研究.

大尺度帶自由表面的地表水流運動，依據流動的水平尺度遠大于垂向運動尺度，通常采用靜壓假定來計算壓力.但對于地形陡變、自由表面坡陡較大、局部射流等情況，需要補充動壓.Casulli［6－7］建立了完全的動壓模型，將壓力分為靜壓和動壓.靜壓的求解與常用淺水方程求解方法相似，在靜壓求解的基礎上再通過求解壓力泊松方程計算動壓，可將其視為一種壓力的預估—校正法.Jankowski［8］詳細地論述了預估—校正法，即首先求解靜壓作用下的流場，稱為預估步；在此基礎上，通過求解動壓滿足的泊松（Poisson）方程，進一步更新動壓作用下的流場.Li［9］將預估校正法用于表面重力波的模擬.Kocyigit等［10］和Chen等［11］在笛卡爾坐標系下求解了三維非靜壓模型.Fringer等［12］建立了大洋潮汐流的非靜壓模型.非靜壓模型正逐漸地被應用到大尺度地表水流運動的數值模擬中.大尺度地表水流運動模擬中，網格尺度通常較大，而粗網格不能描述局部地形的陡變，某種意義上而言，地形被數值平均了.而DES要求較高分辨率的計算網格，此時，陡變地形得以刻畫.靜壓假定模型的模擬精度降低，動壓的引入是必要的.

文章第1部分介紹自由表面水流的DES模型及數值求解方法；第2部分為模型算例，驗證模型精度，討論DES的相關技術問題.

1 數學模型

1.1 控制方程描述

基本控制方程為考慮地球自轉效應（柯氏力）的三維自由表面水流運動方程，其中壓力分解為靜壓ph＝ρg（ζ－z）和動壓pn，連續性方程和動量方程如下其中g為重力加速度，柯氏力f＝2ωsin?，?為地球緯度，ω為地球旋轉角速度，ζ為水位值．若忽略動壓作用，則上述控制方程退化為常用的靜壓方程，只包含連續性方程和水平動量方程．流場變量 qx＝Du，qy＝Dv，qz＝Dw，qσ＝Dω~，σ坐標系下的垂向速度

上述控制方程中采用了垂向σ坐標［13］變換，可擬合不規則床面及波動水面.

1.2 湍流模型

湍流模型采用S?A［14］一方程模型，計算變量υ~通過如下輸運方程獲得：

渦粘性系數υt通過υt＝的關系式計算得到．其中fv1＝χ3/（χ3＋），χ≡/υ．υ為分子運動學粘性系數．為渦量值，而＝＋（υ~/k2 d2）fv2，其中fv2＝1－χ/（1＋χfv1）．方程（6）中的耗散項系數fw由fw＝g［（1 ＋）/（g6＋）］1/6計算得到，其中各參數計算公式為g＝r＋cw2（r6－r），r≡/（）．S?A模型中的各計算參數分別為cb1＝0.135 5，＝2/3，cb2＝0.622，κ＝0.41，cw1＝cb1/κ2＋（1＋cb2），cw2＝0.3，cw3＝2.0，cv1＝7.1．

S?A模型控制方程中耗散項中的特征長度d為距固壁的距離，表征了受固壁限制湍流運動的特征長度. DES模型通過修改該變量實現RANS至LES的轉換，以替代方程中的d，即d~＝min（d，CDESΔ）．表達式中Δ＝max（4A/π，Δz），A為水平網格面積，系數CDES取0.65［15］.

求解變量υ~的邊界條件涉及固壁、自由表面.采用S?A模型，固壁邊界條件滿足ν~t＝0．自由表面的值可設定為常數，某些參考值可見相應的研究成果，如設定為3ν～5ν［14，16］，3ν［17－18］，也有研究取值范圍為［0，0.1ν］［2］．以上的研究成果多針對氣動力學.Yue等［19］針對氣水兩相流，采用LES模擬了明渠流動，氣水交界面基于VOF法，結果表明自由表面處的渦粘性系數為幾倍的分子粘性系數.

1.3 DES的“灰區”

DES模型由RANS至LES的轉換過程中，存在一個“灰區”.其實質是模擬的雷諾應力不足 （Model?Stress Depletion，MSD），根本原因是RANS模型不能激發充分的湍流脈動量.Spalart等［3－4］為克服DES的這一缺陷，先后提出了DDES（Delayed DES）和IDDES（Improved Delayed DES）.另一種解決辦法是在RANS/LES界面處通過數值方法產生湍流脈動量［20］，也可明顯改善MSD問題.區域分離渦（Zonal?DES，ZDES）模型采用了另一種思路.與DES模型比較，DES模型由RANS至LES的轉換是逐漸過渡的，即方程中的湍流特征尺度的變化是連續的.ZDES模型中的特征尺度當計算域由RANS轉換至LES計算域時，直接以LES模型網格尺度代替，即Δ＝（AΔz）1/3（A為本模型中水平網格面積）．與此同時，相關的計算參數fv1，fv2和fw修改為

ZDES模型中，流動由RANS轉換至LES時，特征尺度的變化及上述各參數的設定，使得模型迅速轉化為LES，可激發出流動的脈動量，從而獲得更多的湍流脈動.Breuer等［21］以ZDES模擬了繞平板的強分離流動，獲得了與LES模擬吻合較好的結果.Deck［22－24］通過對粘性系數等的模擬結果比較，驗證了ZDES在克服MSD問題方面的可行性.同時，該模型實現簡便，并未增加額外的計算量.

1.4 數值方法

1.4.1 坐標變換

對于正交網格，控制體各面上的法向導數可由該面兩側單元形心處的物理量沿兩點連線直接求導［7，12］.對于非正交網格系統，控制面上的導數計算可借助局部坐標系求解.本文模型，在控制面上引入局部坐標系（ξ，η），笛卡兒坐標系下的導數計算通過鏈導法則，轉化為局部坐標系下的相應計算：

其中J＝xξyη－xηyξ為坐標系轉換系數的雅可比行列式．局部坐標ξ由單元形心指向鄰單元形心，η沿兩單元界面，方向為ξ方向逆時針旋轉，該坐標系見圖1.

圖1 局部坐標系Fig.1 Local coordinates on a control cell surface

1.4.2 靜壓模型求解

數值模型的時間積分采用半隱格式，通過參數θ實現［25］．參數θ的取值范圍已有相關報道［10－11，25］．本文模型計算中θ取值0.5.

連續性方程的數值離散為

動量方程分別離散為

上述離散方程中F為顯式方式離散項，包括對流項、水平粘性擴散項及柯氏力等.

首先，離散方程中僅保留靜壓項ph，引入臨時變量，，，，η?，單獨靜壓作用下連續性方程的離散形式為

動量方程離散形式為

采用矩陣表達式，將上述離散方程改寫為緊湊的表達形式，

上述表達式中的矩陣分別如下

其中，Ai是三對角形式的系數矩陣.

將方程（18）、（19）代入方程（17），可得到關于待求水位變量ζ?的控制方程

將水位的控制方程（21）在計算單元水平面內積分，利用高斯積分定理，得到離散方程

方程（22）中，符號f代表水平單元的邊，ΔSi代表水平單元面積，Δlis為第s條邊的邊長，NS為各水平單元的總邊數，（cosαis，sinαis）為第s條邊的法向單位向量．單元各邊建立局部坐標系（圖1），表達式（22）中變量在笛卡爾坐標系（x，y）下的導數計算可借助局部坐標系（ξ，η）下的相應計算獲得，具體表達式

將表達式（23）寫成如下的緊湊形式其中各系數為

代數方程組（24）采用雙共軛梯度法（Bi?CGSTAB）求解，可獲得新時刻的水位變量ζ?；新時刻的流速變量，通過方程（18）和（19）進一步求解得到.如果模型僅做靜壓計算，上述的求解變量即為n＋1時步的最終變量，一個計算循環完成；若模型設定為非靜壓模式，需要進一步求解動壓項.

1.4.3 動壓模型求解

動壓模型在靜壓求解的基礎上進行，動壓pnn＋1作用下的控制方程

n＋1時刻更新的流場須滿足連續性條件，即流速變量滿足連續性方程（1）.方程（1）中不顯含變量qz，首先需要將方程（1）改寫為將方程（25）、（26）和（27）代入方程（28），得到如下關于動壓pn＋1n的泊松方程上述控制方程中關于動壓pn＋1

將方程（25）、（26）和（27）代入方程（28），得到如下關于動壓pn＋1n的泊松方程

其中各系數的計算表達式

1.4.4 TVD離散格式

本模型采用二階TVD數值格式離散動量方程的對流項.有限體積法中，界面處的任一物理量〈φ〉f通過如下插值法獲得

其中符號f代表界面，φD和φC分別為該界面順風向和迎風向單元形心處的相應變量．通過通量限制器ψ（rf），實現二階的TVD格式．ψ（rf）是變量rf的相關函數，相關的計算可參考文獻Darwish等［26］.本模型引入了如下的通量限制器：

SUPERBEE ψ（rf）＝max（0，min（1，2rf），min（2，rf））；

MINMOD ψ（rf）＝max（0，min（1，rf））；

OSHER ψ（rf）＝max（0，min（2，rf））；

MUSCL ψ（rf）＝（rf＋ rf）/（1＋ rf）；

VAN LEER ψ（rf）＝（rf＋ rf）/（1＋rf）；

SWEBY ψ（rf）＝max（0，min（1，1．5rf），min（1.5，rf））；

QUICK ψ（rf）＝max（0．0，min（2rf，（3.0＋rf）/4．0，2．0））；

UMIST ψ（rf）＝max（0．0，min（2rf，（1．0＋3rf）/4．0，（3．0＋rf）/4．0，2．0）；

MC ψ（rf）＝max（0．0，min（（1．0＋rf）/2．0，2．0，2．0rf））．

模型中的上述TVD格式均做了嚴格驗證，下文計算采用OSHER格式.

1.4.5 湍流S?A模型的離散

控制方程（6）采用有限體積法（FVM）離散求解，具體離散格式如下

其中F為顯式方式離散項，包括對流項、水平粘性擴散項等；生成項與耗散項采用隱格式求解.上述離散方程的具體求解過程及所形成的三對角方程組的求解同動量方程的相應求解方法.

2 模型應用

將上述數值模型應用于自由表面水流運動的模擬，重點考察小尺度渦結構，獲得流動的細觀特征.本文針對系列沙丘地形下的水流運動開展小尺度渦結構的模擬研究，模型計算細節及結果分析如下文所述.

沙丘地形下帶自由表面水流運動

單一沙丘的幾何形狀與Balachandar等［27］的實驗相同.該實驗共布設了22個相同的沙丘，詳細測量了第17個沙丘范圍內的流場.圖2描繪了單個沙丘的幾何形狀及測量點位置.本文模擬了5個沙丘組成的系列地形條件下的水流運動，重點考察局部流動的渦結構，討論了流動的沿程演化等問題.覆蓋沙丘地形的計算域網格尺度設計滿足LES的要求，向上下游開邊界網格尺度逐漸增加，直至完全處于RANS計算范疇.依據網格尺度設計的計算域分區見圖3，其中RANS計算域不僅覆蓋近底床區域，還延伸至上下游開邊界處的全水深區域.對于LES，開邊界的入流條件，即來流的湍流脈動信息的充足與否對計算影響明顯.而本算例中開邊界設置為RANS計算域，沒有提供流場脈動量信息，勢必對湍流小尺度渦結構的模擬產生影響.本算例設計了5個連續的沙丘地形，預期前部沙丘地形誘導湍流脈動，為后續流場提供湍流脈動成分.與LES模擬中采用數值生成脈動量的方法相比較，可視其為湍流脈動產生的物理方法.若僅研究沙丘地形下的流動特征，布置5個相同的沙丘地形，顯然效率不高.天然水流（如河流），空間尺度不允許全計算域采用LES，而只能局部關注區域采用LES，其它區域采用RANS.天然河流等無論地形，還是岸線均是不規則的，這些不規則的幾何形狀影響流動，可激發出湍流的脈動量.正如本算例所設置的地形，可作為脈動量生成的物理因素.上游來流中脈動量的重要性，通過以下模擬結果進行分析.

圖2 沙丘地形及測點位置Fig.2 Geometry of dunes

圖3 計算域及RANS/LES區域劃分Fig.3 Schematic of computational zones

本算例以上游水深L和自由表面來流速度U0為特征量，控制參數為Re＝5．7×104，且Fr＝0.44．水平網格最高分辨率5mm，垂向網格設計滿足近壁面第一層網格中心點z＋≈1，繼而垂直向上以1.15的伸展率逐漸增加，直至達到5mm.明渠流動的大渦尺度受水深這一特征尺度限制，相關研究［28］給出了滿足LES計算需要的網格尺度與水深的關系，可作為明渠水流LES模擬網格設計的參考.本文網格尺度與水深關系為L/24（L為上游水深值）.DES計算中RANS和LES的區域劃分以網格尺度控制，本算例中5mm的計算網格控制了RANS/LES的分區界面位于O（10z＋），而該區域是近壁湍流發展的活躍區域［20］.

模型首先以靜壓模式運行至流動穩定狀態，再切換至動壓模式計算至穩定狀態，繼而由RANS模式轉換至DES模式.在DES模型運行過程中，記錄若干點流動變量的計算值，當達到統計意義上的穩定狀態后，再繼續運行15個大渦周期（L/uτ），uτ為上游流場的平均摩阻流速.該15個大渦周期時段的流場模擬信息用于流動分析，數據采樣頻率100Hz.

時均流動分析

對于本文系列沙丘地形下的流動，RANS模型獲得穩定的定常流動，然而DES模型預報了小尺度渦的脈動，流動是非定常的，僅存在統計意義上的穩定狀態.將流場的時間序列模擬結果作時均分析，可獲得時均流場信息.

實驗測量了圖2所示6條垂線位置處的流速時間序列，并給出了相應的流場特征.6個測點相對于沙丘峰值點的位置分別為x/h＝2，4，5，6，12和18.本文算例分別記錄了第一、第三和第五個沙丘相應的6個測點的流場信息，用于模型驗證.圖4給出了流向速度的對比，其中符號為實測值，線分別對應于三個沙丘的計算值.分析6個測量點的模擬結果與實驗結果，第五個沙丘范圍內的相應計算值與實測值吻合最好，精度最高.第一個沙丘范圍內的相應計算值精度最低.而RANS模型的結果顯示幾個沙丘范圍內的計算值基本一致，并未顯示出沿流向流場的明顯變化.分析本文DES模型的網格設計，入口為RANS計算域，對于其后的LES計算域而言，輸入的湍流脈動成分不足，導致湍流場發展不充分.當水流流經沙丘時，該局部地形變化將誘發流場脈動，該脈動量可視為其后流場的輸入條件，故模擬結果顯示湍流場沿程逐漸發展，至第五個局部沙丘范圍時，模擬結果與實測值吻合精度已明顯提高.

圖4 流向速度驗證Fig.4 Stream velocity at different sites

計算時均Reynolds應力〈－u′w′〉，并與實測值比較，圖5給出了6個測量點處兩者的比較.圖中符號為實驗測量值，線分別為第一、第三和第五個沙丘范圍內相應位置的計算值.Reynolds應力〈－u′w′〉的極值大致出現在z/L＝0，數值模擬結果與實測值吻合較準確.第一個沙丘范圍內的計算值明顯低于實測值，第三和第五個沙丘范圍內的相應計算值與實測值符合的較好.該結果再次驗證了入流湍流脈動量對計算結果有明顯的影響.系列沙丘地形條件下，水流流經某個局部沙丘，將激發湍流脈動量.對后續流場，該脈動量可視為入流條件，故模擬精度沿流向逐漸提高.圖5顯示第三個沙丘地形模擬結果較之第五個沙丘范圍內的相應計算結果精度更高，與湍流場逐漸充分發展的預期存在偏差，這可能在于流動經過這一系列沙丘后，尚未達到統計意義上的穩定狀態.相應的實驗測量均取在第17個沙丘范圍內完成，也是考慮到湍流場的充分發展需要一定的沿程距離.

圖5 Reynolds應力模擬與比較Fig.5 Predicted mean Reynolds stress and experimental data

瞬時流動分析

圖6 Q的瞬時等值云圖（灰度由渦量渲染）Fig.6 Snapshot of criterion Q isosurfaces contoured by vorticity

較之RANS模型，DES可模擬小尺度的渦結構，給出流動的細觀特征.湍流場的復雜渦結構可以用速度梯度張量的第二不變量描述，即變量Q ＝（ΩijΩij－SijSij）/2＞0，其中Sij和Ωij分別是速度梯度張量ΔV的對稱和反對稱部分．圖6給出了Q＝5的瞬時云圖，并以渦量值渲染.小尺度渦沿流向逐漸發展，模擬結果逐漸顯示出大渦模擬的內容.上游局部沙丘激發出湍流脈動，從而促使湍流場充分發展.這一算例的設計，入流邊界條件并未包含湍流脈動信息，但流動的發展，特別是地形變化引起的水流分離運動，極大地激發出了脈動量，使得小尺度渦結構向下游越發清晰，湍流運動逐漸充分演化.

考察湍流場的沿程演化，分別在第一、第三和第五個沙丘范圍內取一橫斷面，各斷面相對沙丘峰值點位置為0.2λ（λ為單個沙丘全長）.圖7描述了各個斷面內的瞬時流速矢量分布及渦量分布.瞬時流速矢量及渦量分布顯示了不同斷面模擬結果中小尺度渦的發展情況，即湍流場充分發展的程度.數值模擬結果所包含的渦結構是否充分，是大渦模擬成功與否的一個標志.結果顯示來流所含湍流場脈動信息對湍流運動模擬、大渦結構的捕獲非常重要.

圖7 不同斷面內的瞬時流場（x/λ＝0.2）Fig.7 Instantaneous flows at different cross?sections（x/λ＝0.2，withλthe dune length）

通過時均處理，可獲得時均流場信息，進一步提取瞬時流場脈動量，同樣可分析湍流場的沿程發展.圖8給出了中垂面（y＝0，x?z）內瞬時脈動速度（u′，w′）的分布，分別對應于第一、第三和第五個沙丘范圍.與前述分析類似，沿流向，脈動速度逐漸增大，湍流運動逐漸發展.大渦模擬中通常采用數值方法在來流中生成脈動速度，本算例的入流開邊界處于RANS計算域，缺少脈動量的輸入.而局部地形變化激發的湍流脈動量，可視為其后流場模擬的入流條件，故極大地提高了模擬精度.若針對天然河流采用該計算方法，僅在重點關注區域采用LES，開邊界局部仍采用RANS，將簡化邊界條件的設定.同時，天然河道的不規則幾何特征將極大地激發湍流脈動，從而為LES模擬區域提供充分的脈動信息.

圖8 中垂面（y＝0，x?z）內瞬時脈動速度場（u′，w′）的沿程演化Fig.8 Instantaneous velocity vectors（u′，w′）in the central x?z plane

3 結論

將靜壓假定條件下的自由表面淺水動力學模型拓展至考慮動壓的數學模型，極大地拓寬了模型的應用范圍.通過修改一方程湍流模型（S?A模型），建立了自由表面水流運動的DES數值模型.建立的數值模型基于FVM，采用非結構網格，并基于OpenMP技術實現了軟件的并行化.DES模型較之RANS模型，在小尺度渦結構的捕獲方面具有一定的優勢，可用于流動細觀特征的研究.通過RANS與DES模型算例的對比，可知DES模型能夠提供更豐富的小尺度旋渦信息，而這些在RANS模型中均被時均化處理方法所掩蓋.從流動細觀入手，通過適當的統計方法，進而獲得流動的宏觀特征，較之直接的時均化方法研究，可獲得更加豐富的流場信息.

DES模型局部采用RANS，強分離區采用LES，對于高雷諾數、復雜邊界幾何條件的流動模擬是兼顧了計算效率和計算精度的一種可行辦法.但也存在一些問題，最突出的一個就是“灰區”問題，即計算模型由RANS轉換至LES時，所輸入的湍流脈動量不足.對于開邊界處于RANS區的情況，入流脈動量不足也將導致計算結果精度降低.

天然大尺度的自由表面水流運動，多為高雷諾數、復雜幾何邊界條件，LES的實現尚有一定的難度.而采用LES/RANS混合模型，既可實現局部關注區域的高分辨率模擬，又可大大降低計算量，是一種可推廣應用的數值方法.

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A Detached Eddy Simulation Model for Free Surface Flows w ith Uneven Bottom

ZHANG Jingxin1，2
（1.MOE Key Laboratory ofHydrodynamics，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China；
2.Key Laboratory of Estuarine＆Coastal Engineering，Ministry of Transport，Shanghai 201201，China）

A detached?eddy simulation（DES）model is proposed based on a fully hydrodynamic pressuremodel instead of hydrostatic model.The numerical scheme is based on finite volumemethod（FVM）on unstructured grids in the horizontal plane，andσcoordinate in vertical direction to fix free surface and uneven bottom.The in?house codes are paralleled using OpenMP.The proposed model is shown particularly effective in prediction of small?scale vortical structures.

detached eddy simulation；coherent structure；free surface flow；hydrodynamic model

O352

A

2014－12－11；

2015－01－13

國家重點基礎研究發展計劃（973）（2014CB046200）及水利部公益性行業科研專項經費（201401027）資助項目

張景新（1975－），男，副教授，從事環境流體力學研究，E?mail：zhangjingxin＠sjtu.edu.cn

Received date： 2014－12－11；Revised date： 2015－01－13