利用幾何常數(shù)對(duì)賦范空間特征性質(zhì)的研究*

張宏蕃，王琍梅，王曉丹

(黑龍江工程學(xué)院)

0 引言

幾何問(wèn)題可以定性或定量加以描述，幾何常數(shù)是其定量描述，通過(guò)研究空間幾何常數(shù)及其取值范圍，可以得到其相關(guān)幾何性質(zhì)的有無(wú)，研究非方常數(shù)是一種重要的方法．20世紀(jì)80年代開(kāi)始，包括波蘭與中國(guó)相關(guān)學(xué)者在有關(guān)空間幾何理論等方向得到了很好的結(jié)論，為該學(xué)科的發(fā)展做出了大量的貢獻(xiàn)，例如凸性，凹性及非方性等都找到了充要判別準(zhǔn)則;在此基礎(chǔ)上也開(kāi)始了從定性到定量的升華．20世紀(jì)90年代，Gao J和 Lau K S在James意義下和Schaffer意義下給出了非方常數(shù)［1］，給出空間中非方常數(shù)等價(jià)于一致非方的;若dim(X)≥2則1≤CS(X)≤CJ(X)≤2和CJ(X)CS(X)=2成立;空間非方常數(shù)CJ(X)＜3/2蘊(yùn)含著空間X具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)．2011年文章［5］引入新的幾何常數(shù)，并給出下界，證明了一個(gè)Banach空間X是一致非方當(dāng)且僅當(dāng)h(X)＞1/2，2012年文章［6］給出利用度量橢圓給出內(nèi)積空間的一個(gè)特征性質(zhì)．若空間具有不動(dòng)點(diǎn)則其為一致正規(guī)結(jié)構(gòu)，故在理論上對(duì)非方常數(shù)的研究十分重要．點(diǎn)態(tài)幾何常數(shù)的計(jì)算、估計(jì)及表示是其主要的研究問(wèn)題，能夠量化的給出點(diǎn)態(tài)的幾何性質(zhì)與相關(guān)幾何常數(shù)的空間局部性質(zhì)．可以通過(guò)對(duì)賦Orlicz范數(shù)或賦Luxemburg范數(shù)Orlicz序列空間中滿足相關(guān)條件的非方常數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究，得到Orlicz空間中非方常數(shù)的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而會(huì)使得該方向的研究結(jié)果更加系統(tǒng)，并在精確計(jì)算方面提供了有重要價(jià)值的理論公式．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 Minkowski平面是實(shí)二維賦范線性空間，設(shè)X是一個(gè)Minkowski平面，‖·‖是 X上的范數(shù)，集合:

分別稱為X的單位球面和單位球．

James在1964年提出一致非方空間時(shí)給出了非方常數(shù)的概念［1］如下．定義2 一個(gè)賦范線性空間X，常數(shù):

稱為X的非方常數(shù)或者James非方常數(shù)，

稱為X的非方常數(shù)或者Schaffer非方常數(shù)，

1994年計(jì)東海，王廷輔［1］給出了兩種定義下非方常數(shù)的等價(jià)定義表達(dá)式:

2 主要內(nèi)容

3 結(jié)束語(yǔ)

該文通過(guò)對(duì)賦Orlicz范數(shù)或賦Luxemburg范數(shù)Orlicz序列空間中滿足相關(guān)條件的非方常數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究，得到生成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足凹或凸性質(zhì)時(shí)非方常數(shù)的關(guān)系并且對(duì)其進(jìn)行了證明，進(jìn)而由于該文關(guān)于Orlicz空間非方常數(shù)的工作使得該方向的研究結(jié)果更加系統(tǒng)，并在精確計(jì)算方面提供了有重要價(jià)值的理論公式．

［1］ James R C．Uniformly Nonsquare Banach Spaces［J］．Ann of Math，1964，80:542-550．

［2］ Gao J，Jau K S．On the Geometry of Spaces in Normed Spaces［J］．J Austral，Math Soc A，1990，48:101-112．

［3］ Ji Donghai，Wang Tingfu．Nonsquare Constants of Normed Spaces［J］．Acta Sci Math Szeged，1994，59:421-428．

［4］ Ji D H，Wang D P．Some Equivalent Representations of Nonsquare Constants and Its Applications［J］．Northeast Math J，1999，15:439-444．

［5］ 倪柏竹，何嬋，計(jì)東海．一致非方空間的新特征性質(zhì)［J］．哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011(1):105-108．

［6］ 計(jì)東海，陶冶．度量橢圓與歐氏空間的一個(gè)特征性質(zhì)［J］．哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012(5):84-86．