例談循序漸進的教學設計

邱海燕

【摘 要】數學課堂教學設計一般尊崇從易到難、從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的設計原則，具備良好的設計是課堂教學成果的基本，本文從幾個原則出發談談課堂教學設計的循序漸進.

【關鍵詞】課堂教學;數學;循序漸進;理性;感性;具體;抽象;特殊;一般

數學課堂教學的設計是數學教學的基本，它將抽象的數學知識、形式化的數學結果以通俗易懂的方式傳遞給學生，這與教材和書籍大不一樣（書籍中的數學知識是線性的排列著），合理的數學教學需要將抽象的數學知識傳授的有趣和有效（章建躍語）。

數學教學設計如何實施是比較符合當下課程教學理念呢？在近年來課堂教學中，愈來愈多的教學演變為返璞歸真型，不再像新課程實施之初般“凡探究言必稱討論、凡討論必需熱熱鬧鬧”的偽探究，而在課堂教學中卻比較忽視了合理的、符合學生認知心理的設計，筆者以前常常聽到這樣的公開課，對場面的追求非常細致，卻忽視對教學原本的設計，即以循序漸進原則分解數學知識、以符合學生認知心理過程的設計教學才是貼合課程理念的要求的。

1.從特殊到一般

特殊到一般的設計原則是數學教學中運用最為普遍的設計方式，這一方式比較符合中學生（尤其是高中生）。從心理學認知理論來說，中學生的認知首先緣自特定的模型，這種特定的模型需要簡潔、直觀，并且從多次模型認知中總結了一定的經驗，進而得到更為一般性的規律。這種設計方式有比較多的教學設計運用，如：函數概念教學中的從特殊的數集間關系歸納出函數形式化的概念結果，如運用物理學中功的概念類比去思考向量數量積的一般性結論等等。

案例1：函數y=Asin（ωx+φ）的圖像及應用。

基本知識部分從用五點法畫y=Asin（ωx+φ）一個周期內的簡圖、函數y=sinx的圖象經變換得到y=Asin（ωx+φ）的圖象的步驟、函數圖像的對稱性等三方面對本節知識進行了詳盡的闡述;基本技能部分給出了兩個題型：（1）函數y=Asin（ωx+φ）的圖像及變換;（2）求函數y=Asin（ωx+φ）的解析式，分別從形和數兩方面進行分析。

設計1：已知函數y=2sin（2x+）。（1）求它的振幅、周期、初相;（2）用“五點法”作出它的一個周期內的圖像;（3）說明y=2sin（2x+）的圖像可由y=sinx的圖像經過怎樣的變換得到。

設計意圖：安排本例題，目的是對本節的概念內容進行簡單的回顧與介紹，并對圖形變換的兩種方式在具體問題上實施了強有力的復習。

設計2：把函數y=cos2x+1的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是__________。

設計意圖：本題是浙江省2012年文科高考試題第6題，難度適中，貼近考生實際水平，它一方面從函數解析式角度出發，另一方面，從圖像、周期、最值的綜合角度分析，得出正確答案，起到很好的復習作用。

設計3：y=cos2x+1的對稱中心？

設計意圖：見慣了對稱中心在x軸上的圖像，提出這樣一個反思，一方面考查了對稱中心的知識，更重要的是豐富了知識面，完善了考點知識。

設計4：設函數f（x）=cosωx（ω>0），將y=f（x）的圖像向右平移■個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則ω的最小值等于___________。

設計意圖：本題看似考查圖像，實則考查函數周期，需學生深入挖掘題意，找到“圖像與原圖像重合”的實際意義是■為周期的整數倍這一突破口，對培養學生分析問題的能力、數學應用的能力起到一定的作用，使知識得到升華。

設計4：總結函數演變成問題一般性的伸縮變換途徑。

小結：本段教學在例題安排上成遞進式，難度逐步提升，題目的意義也在不斷的深化，從概念上升到應用，再從應用上升到內涵，從特殊問題到一般性結論的總結，力爭做到循序漸進，由表及里，最終實現教學的終極目標——學生掌握本段知識內容。

2.從具體到抽象

高中數學形式化的知識還是較多的，比如說抽象函數是函數教學中的難點和重點。很多學生對于抽象函數的表現形式無法理解，更談不上解決問題了。抽象函數等抽象數學知識如何教學？這樣的課堂教學能否有效設計是關鍵。筆者認為，以具體的數學問題模型去感受抽象的數學進而得到抽象的數學知識，是教學設計的又一合理原則。

案例2：抽象函數圖像中心對稱的教學設計。

設計1：什么是函數圖像的對稱中心？

函數圖像對稱中心定義：如果一個函數的圖像繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖像能和原圖像完全重合，那么這個圖像叫做中心對稱圖形。而這個中心點，叫做此函數的對稱中心。

事實上，若某函數為奇函數，則原點（0，0）必為其對稱中心，例如：

（1）函數f（x）=圖像的對稱中心為（0，0）;

（2）函數f（x）=sinx圖像的對稱中心為（kπ，0）k∈Z。

設計2：怎么求函數圖像的對稱中心？

（1）代數法（利用推論）

推論：（2013年上海市春季高考數學試卷）

“函數y=f（x）的圖像關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數y=f（x+a）-b是奇函數”。

例1：求一元三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）圖像的對稱中心

解：利用

（2）幾何法（利用函數圖像的幾何特性找到對稱中心）

例1解法二：

由一般三次函數的圖像特征（特殊情況也成立）：

可知：其對稱中心位于圖像上，且橫坐標為兩極值點橫坐標和的一半，而f′（x）=3ax2+3bx+c（a≠0），，故其對稱中心為

設計3：圖像有對稱中心的函數有何性質？

性質一：已知定義在D上的函數f（x），其圖像關于點（a，b）中心對稱，則？坌x∈D，恒有f（2a-x）+f（x）=2b成立。

性質二：已知定義在D上的函數f（x），其圖像關于點（a，0）和（b，0）（a≠b）中心對稱，則f（x）為周期函數，周期為2|a-b|。

設計4：應用一：求函數f（x）=++圖像的對稱中心。

解：因為f（x-2）=++為奇函數，所以由推論得：f（x）圖像的對稱中心為（-2，0）。

應用二：（2009年普通高等學校招生統一考試全國卷Ⅰ數學（理）11題）

函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則_______。

①是偶函數 ②是奇函數 ③f（x+2）=f（x） ④f（x+3）是奇函數。

解：由推論知f（x）關于點（1，0）和（-1，0）中心對稱，故由性質二，可得函數f（x）為周期函數，周期為4，故f（x+3）=f（x+3-4）=f（x-1）為奇函數。

小結：通過類比對函數圖像對稱中心的研究，我們可以用同樣的思路和方法，去研究函數圖像的對稱軸問題，這兩個問題是關于函數性質中的重要問題，也是高考的重要內容之一，這里的教學設計由教師自主完成，體現了循序漸進的教學教學步驟，從具體到抽象的設計原則，符合數學教學的實際。

3.從感性到理性

感性到理性是數學教學設計的常用原則，高中數學知識往往較為抽象，不太能讓學生理解一步到位，這里比較多的使用手段即從感性中去深化知識的本質。

總之，數學教學的設計是一門學問，教師需要通過一線教學經驗的積累和多聽、多想、多思考，即可從教材的枯燥線性知識中提煉教學精華的實施。

【參考文獻】

[1]普通高中數學課程標準[S].人民教育出版社，2002

[2]陳雪松.函數的教學實踐及反思[J].數學教學，2012.10

[3]李廣修.追求非功利化的數學教學[J].中學數學月刊，2014.2

（作者單位：江蘇省泰興中學）