淺談鏡像法的理論基礎及解題步驟

冀文慧　楊洪濤　呼和滿都拉

(集寧師范學院物理系,內蒙古烏蘭察布　012000)

淺談鏡像法的理論基礎及解題步驟

冀文慧楊洪濤呼和滿都拉

(集寧師范學院物理系,內蒙古烏蘭察布012000)

本文首先闡述了鏡像法的基本理論基礎,其次分析了運用鏡像法的解題步驟,最后對鏡像法做出總結。

鏡像法唯一性定理解題步驟

鏡像法是電動力學中一種重要的計算方法，許多復雜問題使用該方法求解都會很簡便，所以準確理解該方法對于解決相應問題有著重要的意義。本文就對鏡像法的理論基礎和解題步驟進行了詳細的分析。

1　鏡像法的理論基礎 — 唯一性定理

當有導體存在時，由實踐經驗我們可以知道，為了確定電場，所需要滿足的條件有兩種類型:一類是給定每個導體上的電勢iφ，另一類是給定每個導體上的總電荷iQ。

為了簡單，我們只討論區域內只含一種均勻介質的情形。如圖1所示，假設在某區域V內有一些導體，我們把除去導體內部后的區域稱為V＇，則V＇的邊界條件包括界面S及每個導體的表面iS。設V＇內有給定電荷分布ρ，S上給定或值，對于上述第一類問題，給定了電勢iφ，即給出了V＇所有邊界上的φ或值，因而V＇內的電場唯一的被確定。

圖1

圖2

對于第二種類型的問題，唯一性定理表述如下[2]:

在某一區域V內有一些導體，各導體的電勢iφ=常數(如圖所示)，V內給定自由電荷分布ρ（x），且在V的外邊界S上或給定，則V內電場唯一確定。寫成數學表達式便為:

由鏡像法解靜態場問題中，我們可以看出，利用鏡像法解題的理論基礎是唯一性定理和電勢疊加原理。在從中應用唯一性定理，解決場的邊值問題，而在求解過程中我們也常用到理想模型。在這里我們要注意幾點:(a)鏡像法只是對特定的區域才有效，鏡像電荷必須放在研究的場域外;(b)放置像電荷后，就認為原來的真實的導體或介質界面不存在，把整個空間看成是無界的均勻空間，并且其介電常數就是我們所研究的場域的介電常數;(c)像電荷是為了便于計算虛構出來的，事實上并不存在像電荷，它具有等效作用，而它的電量也并不一定等于真實的感應或極化電荷的電量;(d)鏡像法的適應范圍是:①場區域的電荷是點電荷，無限長帶電直線;②導體或介質的邊界面必須是簡單的規則的幾何面(球面、柱面、平面)。鏡像法不僅可用于靜電場，而且也可以用于靜磁域或訊變電磁場[3]。

2　鏡像法的解題步驟

在利用鏡像法求解問題時，我們需要按照一定的步驟來逐步的進行分析求解。例如，當點電荷Q距無限大接地導體平面距離為a時，我們在求空間中的電勢時:首先我們就要看看，在點電荷作用下會不會出現感應電荷，當點電荷為正時，則產生的感應電荷為負。那么空間中的電場就是由點電荷和導體板上的感應電荷共同激發的，而在總電場作用下感應電荷分布達到一種平衡，接下來我們就要分析，達到平衡就是導體的靜電平衡條件，即導體表面為一等勢面，所以我們就要正確寫出它的邊界條件即常數=φ。知道了邊界條件，我們就要看看像電荷的位置及大小是怎樣的？設想在導體板下方與電荷Q對稱的位置上放置一個假想的電荷Q＇，然后把導體板抽去。若，則給定電荷Q與假象電荷Q＇共同激發的電場即為所求得電場。取導體0z=的平面研究，則Q位置為），（a0,0，設鏡像電荷Q＇位于導體內的位置為），（b0,0，則可寫出了電勢的解析形式，即在0z＞的區域內電勢為:;(如圖2)

其中，r表示Q到場點P的距離，r＇表示鏡像電荷Q＇到場點的距離，選Q到導體板上的投影點為坐標原點，則

············

從上面對這個例題的分析過程中，我們就可以總結出利用鏡像法進行解題時的幾個大致步驟:(a)確定是否滿足邊界條件;(b)正確寫出電勢應滿足的微分方程及給定的邊界條件;(c)根據給定的場域邊界上的邊界條件計算像電荷的電量及所在位置和個數;(d)由已知電荷及像電荷寫出勢的解析形式;(e)根據需要求出電勢[4]。

3　結語

本文在查閱大量資料的基礎上詳細敘述了鏡像法的理論基礎，通過例題分析了使用該方法的解題步驟，不僅彌補了教材的不足，同時為同學們熟練掌握鏡像法起了重要的輔助作用。

[1]郭碩紅.電動力學[M].第二版.北京高等教育出版社,1997.

[2]趙凱華,陳熙謀.電磁學[M].高等教育出版社,2003.

[3]朱永遠.縱場和橫場的邊值問題[J].大學物理,1992.

[4]王廣泰.磁像法在解靜磁場邊值問題中的應用[J].大學物理,2004.

內蒙古自治區高等學校科學研究項目(項目編號:NJZY12248)。

冀文慧(1982—),男,漢族,內蒙古烏蘭察布人,集寧師范學院物理系講師,碩士研究生,研究方向:凝聚態光學性質。