波傳播方法在任意邊界桿梁結構振動中的應用

周海軍，賀才春，李玩幽

（1.株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007；2.哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，哈爾濱150001）

波傳播方法在任意邊界桿梁結構振動中的應用

周海軍1，賀才春1，李玩幽2

（1.株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007；2.哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，哈爾濱150001）

采用波傳播方法對任意邊界桿梁結構的振動特性進行了研究。并且通過設置邊界彈簧系數為零或無窮大可以得到所有的傳統邊界條件。桿梁位移被表示為包含波數的波傳播形式。得到了一個由不同支撐和連接剛度邊界的三跨梁結果，并且與文獻進行了比較。同時，設計了一個被人為斷開成兩段剛性耦合的懸臂桿梁模型，及一個直角耦合兩端固支桿梁模型。通過與ANSYS模型所得結果的對比驗證了方法的正確性。

振動與波；波傳播法；多跨梁；耦合結構；任意邊界

梁結構在工程結構中被廣泛應用，也引起了眾多學者對其振動特性的研究。文獻[1]—文獻[5]對各種多跨的，軸向不均勻的以及任意邊界的梁結構，進行了固有及動態特性研究。文獻[6]—文獻[7]提出了一種改進型傅里葉展開級數，描述了梁的位移形式，研究了任意支撐及連接邊界的單一、多跨梁結構的振動特性。方法新穎，但其理論推導過于繁瑣；文獻[8]采用此方法分析了軸系的橫向振動特性。文獻[9]采用傳播、反射及透射波的波傳播方法分析了兩跨不均勻梁的結構特性。文獻[10]采用波傳播方法分析研究了兩端固支軸向運動梁的橫向振動，指出波傳播方法能從物理角度解釋軸向運動梁的振動本質。

采用文獻[11]—文獻[13]所采用的波傳播方法，將桿梁位移寫成波傳播形式，代入控制微分方程之后得到波數與圓頻率之間的關系，并回代回位移形式，然后求解滿足邊界及耦合條件的桿梁模型結果。

1 控制方程及位移形式

基于歐拉—伯努利理論的梁的控制微分方程為

桿的控制微分方程為

其中w，u，E，I，A，ρ分別為梁的橫向位移，桿的縱向位移，彈性模量，慣性矩，截面積，密度。

將梁的位移形式表示為

其中Aw，kw，ω分別為振幅，波數，圓頻率。將式(3)代入式(1)，可得

式(4)的根即梁的波數，可得：

此時，解的形式可以寫為

同理，將桿的位移形式表示為

將式(6)代入式(2)，可得

式(7)的根即桿的波數，可得

此時，解的形式可以寫為

2 邊界條件及求解

2.1 多跨梁結構的耦合條件

如圖1所示的多跨梁結構模型。ki,j和Ki,j分別是梁i和j之間連接處的線性和扭轉彈簧系數；分別是梁i左右兩端的線性和扭轉彈簧系數。N為梁段數。

圖1 多跨梁結構模型

其任意邊界條件為：

在xi=0處(式中簡略時間變量t)，

在xi=Li處，

在第一段梁的左端

在第N段梁的右端

將式(5)代入邊界條件式(9)-式(16)，可以整理得到一個關于解的幅值的矩陣形式的方程

其中

其有非零解的條件為： ||B=0，即可得多跨梁結構的固有頻率。

2.2 桿梁結構的耦合條件

如圖2所示的桿梁耦合結構模型。kw0，kw1，ku0，ku1分別是左右兩端線性彈簧系數，下標w和u分別表示橫向和縱向；K0，K1分別是左右兩端的扭轉彈簧系數。θ為兩段梁的夾角，橫向和縱向位移會在兩段梁之間耦合。

其邊界條件為：

在第一段梁x=0處

在第二段梁x=L2處

如圖3所示，在其連接處，其位移與力的連續協調條件為

圖3 位移、力和力矩示意圖

其中M=EIw(x)'',Q=EIw(x)''',N=EAu(x)'。

將式(5)和式(8)代入式(18)—式(23)以及式(24)—式(30)共12個邊界條件方程，可以整理寫成矩陣形式的特征方程如下

其中

其有非零解的條件為： ||B=0，即可得耦合結構的固有頻率。

3 結果與分析

3.1 三跨梁結構

首先引用文獻[7]中的三跨梁模型作為算例，其梁段、支撐和連接參數見表1和表2。

表1 梁段參數

從表2梁1支撐參數可以看出，其左端彈簧系數模擬的是固支邊界，同時可以看出梁3右端為簡支邊界。梁段之間為彈性連接。在MATLAB軟件中編程計算，表3為本文結果與文獻結果對比，結果吻合很好。

表2 支撐和連接參數

表3 前10階頻率對比

3.2 懸臂梁結構

如圖4所示的懸臂梁模型。梁段總長為1.5，將其人為斷開為1:0.5的兩段剛性耦合的梁。耦合角度取為90°。梁段取為圓形截面，直徑為0.01，密度和彈性模量分別取7 850和2.1×1011。左邊界彈簧剛度取為無窮大模擬剛性固支，本文數值取為1× 1010，右邊彈簧剛度取為零模擬自由邊界。

圖4 懸臂梁模型

表4為本文結果與ANSYS軟件所得結果的對比。ANSYS中采用Beam 3單元，自由劃分網格。通過ANSYS振型看出第1階—10階為單一橫向固有頻率，第11和19階為縱向固有頻率。雖然橫縱振動在線性直梁模型中沒有耦合，本文方法也能準確的計算出固有頻率。

3.3 直角桿梁結構

如圖5所示的直角桿梁模型。兩段梁均長0.5，梁段參數同3.2節，耦合角度為0°。左右邊界彈簧剛度均取為無窮大模擬固支邊界，本文數值取為1× 1010。表5為本文結果與ANSYS結果的對比，可見也吻合得很好。

表4 與ANSYS結果對比

圖5 直角桿梁模型

表5 與ANSYS結果對比

4 結語

采用波傳播方法研究了多跨梁、耦合桿梁結構的固有振動特性。將桿梁位移形式寫成波傳播形式，代入控制微分方程之后可以求得波數與結構固有頻率之間的關系，最后求解滿足邊界條件的波數方程即可求得固有頻率。與文獻及有限元方法的對比驗證了本文方法的準確性。而在求解耦合桿梁結構時出現的漏根現象，還有待進一步研究。

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Application of Wave Propagation Method to VibrationAnalysis of Rod-and-Beam Structures withArbitrary Boundary Conditions

ZHOU Hai-jun1,HE Cai-chun1,LI Wan-you2
(1.Zhuzhou Times New Material Technology Co.Ltd.,Zhuzhou 412007,Hunan China; 2.College of Power and Energy Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Wave propagation method was used for vibration analysis of rod-and-beam structures with arbitrary boundary conditions.In this method,all the conventional boundary conditions of the structures can be included by setting the stiffness of the boundary springs to be infinity or zero.The displacements of rods and beams can be expressed in the wave propagation form including wave numbers.A three-span beam with different supporting conditions and connecting stiffness was analyzed with this method and the results were compared with those shown in published literatures.Meanwhile,two additional models were presented.One was a cantilever beam divided into two rigidly connected beams.The other was a right-angle rod-and-beam combined structure.The results were compared with those obtained from ANSYS software.The correctness of this method was verified.

vibration and wave;wave propagation method;multi-span beam;combined structure;arbitrary boundary conditions

O 32

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.008

1006-1355(2015)02-0032-04

2014－07－18

周海軍(1984－)，男，湖南益陽人，博士，主要從事船舶振動噪聲控制研究工作。E-mail:zhouhj2@teg.cn