異形盾構變異五桿切削機構運動學分析

聶建軍 （中原工學院機電學院，河南 鄭州450001）

吳笑偉 （河南交通職業技術學院汽車學院，河南 鄭州450005）

變異五桿切削機構的合成運動軌跡豐富，能夠實現各種異形斷面的切削以滿足實際隧道的需要，因而可以作為異形盾構切削的高精度、高轉速、高負載且柔性較大的多自由度閉環混合驅動機械系統［1～5］的運動機構。由于該機構屬于阿蘇爾運動鏈或阿蘇爾組（阿式分類Assur group）的二級機構［6，7］，能夠采用解析法得到機構中已知的尺寸參數、運動變量與未知的運動變量之間的數學關系式［8，9］，把機構分析與機構綜合相聯系，以便對該機構進行更深入的研究。下面，筆者應用桿組理論對混合驅動變異五桿切削機構進行運動學分析，建立其運動學模型，以獲得該機構的輸出運動與輸入運動的位置、速度及加速度之間的關系，為進行切削機構動力學分析奠定基礎。

1 復數矢量法

復數矢量法是公認的用于復雜多桿平面連桿機構運動分析的最好方法，以機構各桿件作為向量［10］，把在復平面上的連接過程用復數形式加以表達，對包括結構參數和時間參數的解析式對時間求導后，即可得到機構的運動性能。

1.1 矢量的復數表示

平面內的點與矢量一一對應，而平面內的點與復數也是一一對應的，故可以建立復數與平面矢量之間的一一對應關系。

設單位矢量以復數表示為：

圖1中所示的矢量可表示為：

圖1 復數矢量及其導數

式中，r為矢量的模；θ為的幅角（逆時針為正）；為矢量在實軸（x軸）上的投影；為在虛軸（y軸）上的投影。

1.2 復數矢量的導數

M點的速度vM和加速度aM分別為式（2）對時間的一階導數和二階導數：

式（3）的運動學意義表明，M點的速度vM由2部分組成：第1項表示徑向速度，第2項表示切向速度。式（4）的運動學意義表明，M點的aM由4部分組成：第1項和第2項表示徑向加速度，第3項和第4項表示切向加速度。如果M為滑塊上的點，且該滑塊沿轉動導軌OM移動，則第1項表示M相對導桿OM的相對加速度，第2項表示牽連向心加速度，第3項表示哥氏加速度，第4項表示牽連切向加速度。

2 變異五桿切削機構運動學分析

采用復數矢量法進行機構運動分析，需要首先在給定的機構示意圖中畫封閉矢量回路圖，然后按封閉矢量以復數形式得到機構位置矢量方程，并依次將位置方程對時間求一階、二階導數即可得到速度和加速度矢量方程，即先進行位置分析，再進行速度分析和加速度分析，可以最大限度地減少未知變量個數，且方程形式簡單，易于求解。

圖2所示為變異五桿切削機構示意圖，取鉸鏈A為坐標系原點，建立直角坐標系xAy。桿l1由常速電機驅動，桿l4由可控電機驅動，P點為輸出點，則其軌跡方程為：

2.1 變異五桿切削機構的位置方程分析

各構件的尺寸參數l1、l2、l3、l4、l5、l6和2原動件l1、l4的運動學參數，即相位角θ1和θ4、角速度和、角加速度和為已知條件。

1）以 Ⅱ 級桿組ABC分析B、C點及θ1、θ2。B點的位置方程為：

圖2 混合驅動變異五桿切削機構

ABC回路的復數矢量方程為：

將式（7）沿坐標軸x、y方向分解，則得到C點的位置方程：

亦即：

由圖2得：

2）以Ⅱ級桿組ABP分析P點及θP。ABP回路的復數矢量方程為：

將式（12）沿坐標軸方向分解為標量形式，則得P點的位置方程：

亦即：

由圖2得：

式中，θP＝arctan2（xP，yP）表示雙輻角反正切函數；sgn（yP）表示符號函數：

3）以Ⅱ級桿組CDE分析D點及θ3、θ4。D點的位置方程為：

由圖2得：

將式（20）代入式（17）得D點位置為：

2.2 變異五桿切削機構的速度方程分析

1）以Ⅱ級桿組ABC分析B、C點的速度。將式（6）和式（8）分別對時間求一階導數得B點和C點的速度方程分別為：

2）以 Ⅱ 級桿組ABP分析P點的速度及。將式（13）對時間求一階導數得P點的速度方程為：

將式（12）對時間求一階導數得：

根據式（1），分離式（25）的實部和虛部并整理得：

用克萊姆法則解方程組（26）得：

3）以Ⅱ級桿組CDE分析D點速度及。將式（17）對時間求一階導數得D點的速度方程為：

CDE回路的復數矢量方程為：

將式（30）對時間求一階導數得：

根據式（1），分離式（31）實部和虛部并整理得：

列出ACE回路的復數矢量方程：

將式（33）沿x、y方向分解為標量形式得：

將式（34）對時間求一階導數得：

由式（35）和式（32）得：

用克萊姆法則解方程組（36）得：

2.3 變異五桿切削機構的加速度方程分析

1）以Ⅱ級桿組ABC分析B、C點的加速度。將式（6）對時間求二階導數得B點的加速度方程為：

將式（8）對時間求二階導數得C點的加速度方程為：

2）以Ⅱ級桿組ABP分析P點加速度及¨θP、¨θ2。將式（13）對時間求二階導數得P點的加速度方程為：

將式（12）對時間求二階導數并整理得：

由式（1），分離式（42）的實部和虛部得：

式中：

用克萊姆法則解方程組（43）得：

3）以Ⅱ級桿組CDE分析D點加速度及。將式（17）對時間求二階導數得D點加速度方程為：

將式（30）對時間求二階微分并整理得：

由式（1），分離式（47）的實部和虛部得：

式中：

用克萊姆法則解方程組（48）得：

3 結語

利用復數矢量法對異形盾構變異五桿切削機構進行了運動學分析，推導了變異五桿切削機構的位置方程、速度方程和加速度方程，得到了輸出運動與輸入運動的位置、速度以及加速度之間的關系。在后續的研究中，將根據不同異形斷面切削的實際需要進一步分析可控電機的運動規律，并在此研究基礎上進行該機構的運動學仿真模擬，為該機構的實際運用提供技術支持。

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