一種1∞型冪指函數極限簡便解法的討論

陳帆 王安平

摘要：根據冪指函數極限的一般求法，推導得出了1∞型冪指函數極限的一種簡便解法，并對所得到的結論結合無窮小的比較進行了討論和推廣.

關鍵詞：冪指函數;極限;無窮小的比較

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）18-0175-02

一、引言

冪指函數的極限是在高等數學中經常出現的一類極限，同時，由于其解法的特殊性與抽象性成為不少學生不易理解的難點.下面在一般冪指函數解法的基礎上我將給出一個更為簡便的結論，并結合無窮小的比較給出一種直接判斷冪指函數極限的方法.

一般地，在同一極限過程中當f（x）→1、g（x）→∞時，我們稱極限lim f（x） 為1 型冪指函數的極限.對于此類極限我們有兩種常見解法：其一利用重要極限 1+ ?=e的結論，將冪指函數變形成上述形式，進而得出極限;其二利用形如 f（x） =e 的公式，將極限式變化到指數中去，再利用羅比達法則求極限.上述兩種方法在計算過程中都比較復雜，且方法一還具有一定的局限性.

二、主要結論及應用

若對于 f（x） ，在某極限過程中（x→x ，x→∞）有f（x）→1、g（x）→∞時，我們令f（x）=1+u（x），g（x）= ，顯然u（x），v（x）是在同一極限過程中的無窮小，則我們可得如下結論：

定理1：若在同一極限過程中limu（x）=0、limv（x）=0，則lim1+u（x） =e

證明：lim1+u（x） =lime =e =e

利用上述定理對于一些比較復雜的冪指函數的極限就可以通過計算lim （ 型），進而快速地給出極限值，如下例.

例1：求極限 ? .

解：令？搖u（x）= -1= ，v（x）=1-x

則 ?= ?=1 故？搖 ? =e

例2：求極限 （ ） ，其中a ，a ，...a 均為正數.

解：令？搖u（x）= -1，v（x）=x

則？搖 ?= ?·

= ?（a ?lna +a ?lna +…+a ?lna ）

=

故？搖 （ ） =e =

三、推廣

利用定理1的結論，結合無窮小的比較，則可以直接判定lim1+u（x） 的極限值，我們得到如下推論：

推論1：在定理1的條件下，若u（x）為v（x）的高階無窮小（即lim =0），則lim1+u（x） =1

推論2：在定理1的條件下，若u（x）為v（x）的同階無窮小（即lim =c≠0），則lim1+u（x） =e

推論3：在定理1的條件下，若u（x）為v（x）的等價無窮小（即lim =1），則lim1+u（x） =e

推論4：在定理1的條件下，若u（x）為v（x）的低階無窮小，有如下討論：

（1）若lim =-∞，則lim1+u（x） =0.

（2）若lim =+∞，則lim1+u（x） =+∞.

（3）若lim =∞，則lim1+u（x） 不存在.

利用以上推論就可以在減少計算量的情況下直接得出1 型冪指函數的極限值，比如對于極限 1+x e ?，由于 ?=2，由推論2可知 1+x e ?=e ，又對于極限 1+ ?，由于 ?=0，由推論1可知 1+ ?=1，而 1+ ?，由于 ?=∞，由推論4可知 1+ ?不存在，但對于 1+ ?，由于 ?=-∞，同樣由推論4可知 1+ ?=0.由此可見1 型冪指函數的極限的存在與否，可以由兩個無窮小量u（x）與v（x）之比的階數所確定.

參考文獻：

[1]王林芳.求型未定式極限的一種簡便方法[J].高等數學研究，2005，（9）.

[2]曾亮.關于兩類冪指函數求解的幾個重要結論[J].高師理科學刊，2010，（11）.

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