泛函分析課程教學(xué)點(diǎn)滴

石智 趙君平

摘要：依據(jù)多年教學(xué)的體會，回顧總結(jié)了泛函分析教學(xué)中加強(qiáng)基本概念教學(xué)中已取得的點(diǎn)滴成果，主張加強(qiáng)基本概念教學(xué)，啟迪學(xué)生智慧，激發(fā)興趣，使學(xué)生的泛函基礎(chǔ)知識建立在牢固的基礎(chǔ)上.

關(guān)鍵詞：距離空間;不動點(diǎn);共軛空間;內(nèi)積空間;弱收斂

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）18-0177-02

泛函分析課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的專業(yè)課程.它內(nèi)容抽象，理論深刻，應(yīng)用廣泛，它的思想、觀念及處理問題的方式也同時滲透到數(shù)學(xué)科學(xué)的方方面面，對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，開展理論和應(yīng)用研究有不可替代的作用.本課程由于理論性強(qiáng)，內(nèi)容較抽象，需要的前期準(zhǔn)備知識較多，在學(xué)生學(xué)習(xí)和老師授課方面都有一定的難度.在教學(xué)過程中，除了注重應(yīng)用，我們也重視了加強(qiáng)基本概念的教學(xué).下面是我們多年教學(xué)的點(diǎn)滴體會.

一、距離空間的有關(guān)概念

數(shù)學(xué)分析的基本概念之一是序列收斂的概念，而收斂又是與距離有關(guān)的.

在距離的定義中，d（x，y）≥0可用三角不等式推出.另外，定義中非負(fù)性、對稱性、三角不等式等三個條件等價于下面兩條：

（1）d（x，y）≥0，d（x，y）=0？圳x=y;

（2）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）.

在同一個集合上，可以定義多個距離，就得到不同的距離空間.例如在R 中，設(shè)p>1是一個確定的實(shí)數(shù)，可以定義距離d（x，y）= |ζ -η | ?.由于p的不同值，就有無限多個不同的距離空間.

應(yīng)用較多的是C[a，b]中的距離：

d（x，y）= |x（t）-y（t）|.

對于C[a，b]的這個距離，如果x是所要求的某個函數(shù)，y是它的一個近似表達(dá)式，要求d（x，y）<10 ，則是指給出近似表達(dá)式y(tǒng)的數(shù)值與真值x的偏離在任何地方都不超過10 .逼近論中的許多問題都能用這個距離表示.維爾斯特拉斯證明了閉區(qū)間C[a，b]上的任意連續(xù)函數(shù)都能用多項(xiàng)式作任意逼近，這里的逼近就是用上面定義的距離來度量的.

也應(yīng)該注意到在C[a，b]中，依距離d（x，y）= |x（t）-y（t）|是完備的距離空間，但把它看作L [a，b]的子空間，依距離

d（x，y）= ? |x（t）-y（t）| dx 卻是不完備的.

二、注意巴拿赫不動點(diǎn)定理的條件

設(shè)X是完備距離空，T：X→X，d（Tx，Ty）≤αd（x，y）（0≤α<1）是壓縮映射，則T在X中存在唯一的不動點(diǎn)x ，x =Tx .這就是巴拿赫不動點(diǎn)理.

對于不動點(diǎn)定理，有幾點(diǎn)需要說明：（1）壓縮映射使得X中的任意兩點(diǎn)x，y的像比該兩點(diǎn)自身更接近.此外，壓縮映射是連續(xù)的.（2）X的完備性保證了不動點(diǎn)是存在的，至于不動點(diǎn)的唯一性是直接從映射的壓縮性來的，并不要假設(shè)空間是完備的.定理中完備性與壓縮性兩個條件缺一不可.例如考察（0，+∞）到它自身的映射Tx=αx，這里α是小于1的一個正數(shù)，它顯然是壓縮映射，但是它在（0，+∞）中沒有不動點(diǎn).原因就是空間（0，+∞）不完備.（3）條件α不能等于1.例如，設(shè)X={x|1≤x<+∞}，取實(shí)軸上的通常距離，定義映射T：X→X為x→x+1/x，當(dāng)x≠y時，|Tx-Ty|<|x-y|，但映射T沒有不動點(diǎn)，就是因?yàn)棣恋扔?.

三、理解共軛空間

X上的全體有界線性泛函記為X ，稱X 為X的共軛空間.

有很多物理現(xiàn)象具有這樣的特點(diǎn)，當(dāng)用函數(shù)來描述它們時，其自變量在極小的范圍內(nèi)取值很大，而在其他范圍內(nèi)取值為零.例如，力學(xué)中瞬間發(fā)生作用力的沖擊力，數(shù)字信號處理中的抽樣脈沖，直線上的質(zhì)量集中在一點(diǎn)附近時的密度，電學(xué)中點(diǎn)電荷的密度等.為了刻畫這種物理現(xiàn)象，需要一種抽象的數(shù)學(xué)模型，即需要一種“函數(shù)”，除某點(diǎn)（如原點(diǎn)）外處處為零，在這一點(diǎn)其值等于無窮，而在整個直線上的積分值為1，這種“函數(shù)”后來被稱為δ函數(shù)，它是由物理學(xué)家狄拉克（Dirac）最先引進(jìn)的，其表示式為：

δ（x）=0，x≠0，∞，x=0，？搖 δ（x）dx=1.

這樣表示的函數(shù)與數(shù)學(xué)命題：若f=0 a.e.，則 f=0矛盾，因此δ函數(shù)的上述表示一直不能被數(shù)學(xué)家接受.數(shù)學(xué)家經(jīng)過長期的努力，在共軛空間中找到了δ函數(shù)的位置和理論依據(jù).

我們來看一下δ函數(shù)的數(shù)學(xué)定義.

對C[-1，1]中任意一個連續(xù)函數(shù)f（t），對應(yīng)一個C[-1，1]→R的泛函：

f（x）= ?f（t）x（t）dt.

線性泛函是顯然的，現(xiàn)證其連續(xù)性.

對任意的x ∈C[-1，1]，有

|f（x）-f（x ）|= ?f（t）[x（t）-x （t）]dt

≤ |x（t）-x （t）| ?|f（t）|dt=||x-x || ?|f（t）|dt.

當(dāng)x→x ，即||x-x ||→0時，f（x）→f（x ），故f在x 點(diǎn)連續(xù).由x 的任意性得，f在C[-1，1]上連續(xù).考察C[-1，1]中的如下函數(shù)列f ：

f （t）=n-|t|n ， |t|≤1/n，0， ? |t|>1/n.

當(dāng)t≠0時， f （t）=0，且 ?f （t）dt=1.設(shè)想f （t）的極限應(yīng)當(dāng)就是有廣泛應(yīng)用的δ函數(shù)，所以稱f （t）為δ函數(shù)序列.但由于在t=0時， f （t）不收斂，故不能采用 f （t）來作為δ函數(shù)的數(shù)學(xué)定義.

在C[-1，1]的共軛空間來考察.δ函數(shù)序列f （t）對應(yīng)于f （x）= ?f （t）x（t）dt= ?f （t）x（t）dt

=x（ζ ） （n-|t|n ）dt=x（ζ ），|ζ |<1/n.

當(dāng)n→∞時， f （x）= x（ζ ）=x（0），

即在C[-1，1]的共軛空間中，f （x）的極限函數(shù)（記為δ（x））應(yīng)是C[-1，1]的如下泛函：

δ（x）=x（0），？坌x∈C[-1，1].

這就是δ函數(shù)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義.因此有些事情借助共軛空間可以辦到，而在原空間卻是不可能做到的.

四、內(nèi)積空間的新定義

我們從另一個角度看內(nèi)積的定義.先看下面的例題.

例 設(shè)x=（ζ ）∈l ，x=（η ）∈l ，則

||x+y|| = ζ +η |

= ζ | + ζ ? + η ? + η | ，||x-y|| = ζ -η | = ζ | - ζ ? - η ? + η | .

上面兩式相加得到所謂的平行四邊形法則：

||x+y|| +||x-y|| =2||x|| +2||y|| .

五、理解點(diǎn)列的弱收斂

點(diǎn)列的弱收斂是一個比較難理解的概念.先看一下什么是弱收斂.

設(shè)X是賦范線性空間，x ，x∈X.如果對任一x ∈X，都有 x （x ）=x （x），則稱x 弱收斂于x，記作x x.

要理解弱收斂的原始意義，我們看Riemann-Lebesgue引理：設(shè)f∈L [0，2π]，則

f（x）cos（nx）dx= ?f（x）sin（nx）dx=0.

這個引理最早是由Riemann在1876年提出來的，而一般的情形即f∈L 則是由Lebesgue在1903年提出的.從這個引理可看出{cos（nx）}或{sin（nx）}的極限并不存在，這些函數(shù)要收斂必須借助積分，這正是弱收斂的原始意義，而其極限稱之為弱極限，即cos（nx） 0或sin（nx） 0.

上面是我們在教學(xué)中的一些體會.總之，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和解決問題的實(shí)際能力，就必須加強(qiáng)基本概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生勤奮讀書、刻苦鉆研、求實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)，以提高其學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，當(dāng)然更重要的是要通過實(shí)踐.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，鼓勵學(xué)生相互探討、相互爭論，大膽提出不同的思想和方法，并進(jìn)而推動學(xué)生解決一些理論和實(shí)際的問題，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，取得在書本上所無法獲得的寶貴經(jīng)驗(yàn).