概率統計解題思維與學生能力培養

謝菲

摘要：本文通過高校教育如何培養大學生，進而滿足社會需要這一難題，針對概率論與數理統計課程解題方法和應用廣泛等特點，提出了課程教學改革與學生分析、解決問題能力培養相結合，從而加強大學生的綜合能力.

關鍵詞：一題多解;對立事件;積事件概率;統計軟件;分析能力

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）18-0179-02

《概率論與數理統計》是高等教育中的一門基礎學科，同時也是一門應用性非常廣泛的學科.大學開設數學基礎課程，不僅僅因為數學是進行科學和工程問題研究的工具和基石，更重要的是數學學科是人類理性思維的高度結晶，是用來培養學生的理性思維方式，提高學生分析、解決問題能力的一個重要手段.

概率論與數理統計中一些分析問題的角度、解決問題的思想方法對提高學生的分析、解決問題能力有著重要的作用.本文分別從一題多解和對立事件概率公式的應用、積事件概率的求法及其統計軟件的介紹和應用這三方面介紹如何在教學過程中培養和提高學生分析和解決問題的能力.

一、一題多解和對立事件概率公式的應用

例1 設A，B，C為三個事件，用A，B，C的運算關系表示A，B，C中至少有一個發生.

解：由和事件的含義知，事件A∪B∪C表示A，B，C中至少有一個發生;也可以這樣考慮：事件“A，B，C中至少有一個發生”是事件“A，B，C都不發生”的對立事件，因此也可以表示成 ;還可以這樣考慮：事件“A，B，C中至少有一個發生”表示三個事件中恰有一個發生或恰有兩個發生或三個事件都發生，因此還可以表示成A ?∪ B ∪ ?C∪AB ∪A C∪ BC∪ABC.

這道例題的表示方法是多種的，如同現實中遇到的問題可以從多個不同的角度來描述一樣，通過不同角度的分析，可以找到求解問題的不同方法，所以在講這道習題時，更側重教授學生的是分析問題的角度的多樣性，而非一道習題的答案.

有一些事件的概率問題，如果直接從事件包含的情況入手分析，可能會因為包含的情況多而變的復雜，此時可以求這個事件的對立事件的概率，再利用逆事件的概率公式求解，會更為簡單些.在現實生活中，用反向思維來分析、解決問題也是很重要的方式，通過一些例題習題的講解，可以培養學生反向思維，提高他們解決問題的能力.

二、積事件的概率求法

例2 天氣預報說某日某省甲乙兩地至少有一地下雨的概率是0.9，甲地下雨的概率為0.7，乙地下雨的概率為0.8，問甲乙兩地同時下雨的概率是多少？

解：設事件A為“甲地下雨”，事件B為“乙地下雨”.由題意，

P（A∪B）=0.9，P（A）=0.7，P（B）=0.8.

∵P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

∴P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.7+0.8-0.9=0.6.

這道例題求的是P（AB），根據已有條件，可以用到加法公式的等價變形來求解.值得注意的是，題目的描述中并無甲地下雨與乙地下雨兩個事件是否獨立，不能就此認為這兩個事件是相互獨立的.

例3 某人忘記了會員卡卡號的最后一個數字，因而他隨意地選號，求他選號不超過三次而找會自己會員卡號的概率.

解：以A 表示事件“第i次選號找回自己的會員卡號”，i=1，2，3.以A表示事件“選號不超過3次找回自己的會員卡號”，知

P（A）=1-P（選號3次都找不到自己會員卡號）=1-P（ ? ? ? ）

=1-P（ ? ? ?）P（ ? ?）P（ =1- × × =

這道例題從正面分析，會含有多種情況而顯得復雜了些.如果反向考慮，只會包含一種情況.問題的對立事件是三個事件的積事件，仔細分析，會發現 ?， ?， ?三個事件間存在的先后依次發生這樣一個順序.乘法定理的含義：兩個隨機事件A、B的積事件的概率，等于其中一個事件的概率與另一事件在前一事件已發生的條件下的條件概率的乘積，即：P（AB）=P（BA）P（A）.這樣就可以用乘法定理來求解此積事件的概率問題了.

例4 某人拋甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現的情況，求甲幣、乙幣都出現正面的概率.

解：設事件A為“甲幣出現正面”，事件B為“乙幣出現正面”.由題意，顯然甲幣是否出現正面與乙幣是否出現正面是互不影響的，故

P（AB）=P（A）P（B）= × =

題目描述中含有兩個事件相互獨立的意思，可以按照事件獨立性的定義求解.

上面3道例題，都是求解積事件的概率問題，但因給出的條件不同，選擇了3種不同的公式來計算.在現實中，也會遇到有多種方法看似可以解決同一問題，但是所需要的條件卻是不同的，這要根據問題中已有的條件來選擇方法，這要求對方法在什么條件下可以使用要清楚明白.這三個知識點分處不同的小節，但是可以在做練習時放在一起講解，讓學生體會到方法和條件匹配的重要性，這也有助于培養他們解決問題時要關注方法的條件.

三、統計軟件的介紹和應用

現在高校開設的很多課程都是實踐性很強的課程，但由于教學時間有限，教育側重知識的傳授而非動手能力的培養，因此造成了學生對課程應用的陌生和迷茫，從而不能利用所學知識提高自己的應用能力，不能滿足社會對大學生的要求，進一步造成了就業難的局面.

《概率論與數理統計》就是一門應用性、實踐性很強的課程.但是目前在高校，主要是側重基本方法的介紹，忽視了統計軟件的介紹和應用.這樣既不利于學生將所學知識有效地進行實踐和應用，不能培養學生的應用、實踐能力，也使得這門課程的教學顯得枯燥無味，不利于改變填鴨式教學現狀.為此，高校教師應在正常的教學環節中適當地介紹一些常用的統計軟件，以使學生對功能強大的統計軟件有初步的認識，并通過布置一些小型的調查分析作業，讓學生通過統計軟件的應用和分析，更好地理解相關方法的應用，為以后應用統計方法解決實際問題奠定初步的基礎.

常用的統計軟件如SAS，它是目前國際上最為流行的一種大型統計分析系統.SAS系統提供的主要分析功能包括統計分析、時間序列分析、經濟計量分析、財務分析、決策分析和全面質量管理工具等，被譽為統計分析的標準軟件;SPSS，作為僅次于SAS的統計軟件工具包，它在社會科學領域有著廣泛的應用;S-plus，這是統計學家喜歡用的軟件.不僅由于它的功能齊全，而且它還具有強大的編程功能，使得研究人員可以自己編制程序來實現自己的理論和方法.

教師可以向學生介紹這些統計軟件各自的操作特點和它們的差別之處，還可以通過一些簡單的例子教授學生某些統計軟件的使用方法.教師還可以根據學生的專業，選擇一些具有實際背景的題來作為練習題.因為教學課時有限，教師還可以向學生推薦一些有關統計軟件應用的參考書籍，方便學生的自學和操作中遇到困難的解決.

在真實的環境中更有利于學生對知識點的理解和應用、實踐能力的培養和提高.教師可以利用校園或社會中的一些小問題，采用設計調查問卷，制定調查方案，進行調查活動，錄入和整理數據，進行估計和分析，編寫調查報告，給出合理的解釋和結果.這些環節全部由學生們自己來完成，教師在各個環節要給予適當的提示和參考意見，如根據問題怎樣設計調查問卷，怎樣選定調查對象，樣本的抽取及抽取方法的選擇等等.統計調查、統計整理和統計分析的整個過程，學生都親身參與和處理，這也為在今后工作中如何科學地分析、解決實際問題奠定了良好的基礎.常用的統計軟件多為英文版本，這要求學生應對課本中出現的專用統計術語的英文詞匯提前做個預習，教師在教學中也可以在演示講稿中對統計軟件出現的對話框做個相應的中文解釋.

大學數學教師不僅僅是教給學生課本上的知識，更重要的是訓練他們的理性思維，教會他們學習的方法，以及如何利用所學的知識去分析、解決實際問題.目前很多課程的學習是“教”與“學”分開的，老師注重教，學生被動聽，這種“填鴨式”教學方法很難適應素質教育的要求.概率論與數理統計這門課程，一方面要教授學生相關的知識和方法，要加強數學課程對學生思維訓練的作用，另一方面，要緊跟社會發展的腳步，在教學的過程中，穿插介紹常用的統計軟件，在教學中適當地提出一些實際問題，讓學生們自己參與到解決問題的每個環節，發現自己在解決問題過程中的不足，增加處理實際問題的經驗，這樣才能真正地有助于提高學生分析、解決問題的能力，才能真正地適應社會的需要.

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