篦齒對懸臂薄壁圓柱殼模態特性的影響研究

王 宇，韓清鵬，李 昌，陳 東

（遼寧科技大學 機械工程學院，遼寧 鞍山 114051）

篦齒對懸臂薄壁圓柱殼模態特性的影響研究

王 宇，韓清鵬，李 昌，陳 東

（遼寧科技大學 機械工程學院，遼寧 鞍山 114051）

采用傳遞矩陣方法研究外壁帶有周向篦齒(即密封齒)薄壁圓柱殼的模態振動特性。在懸臂邊界條件下，首先基于Love殼體理論建立帶篦齒薄壁圓柱殼的動力學方程，通過傳遞矩陣法和高精度的精細積分法對其模態特性進行分析，求得各階模態對應的固有頻率和三維模態振型，并通過有限元法對分析結果進行比較，最后討論篦齒布置形式、篦齒高度和篦齒道數對懸臂薄壁圓柱殼振動特性的影響。結果表明，傳遞矩陣法適合于求解帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼的模態振動特性，篦齒結構的布置形式、高度和道數均對薄壁圓柱殼構件的振動特性有較大影響。

振動與波；懸臂薄壁圓柱殼；篦齒影響；固有頻率；三維模態振型

在航空發動機和汽輪機等機械的密封裝置中，廣泛應用著一種幾何尺寸較小的非接觸式篦齒封嚴結構，例如帶篦齒結構的圓柱殼構件，許多因為振動引起的疲勞問題和故障是由共振引起的，直接影響到設備的工作效率和可靠性[1]，對帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼進行振動特性分析受到了廣泛的重視，可為結構的響應特征研究和故障診斷提供理論參考，深入研究帶篦齒薄壁圓柱殼構件的動力學特性具有重要的工程意義。

關于帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼振動特性的研究，人們還沒有完全掌握，關于篦齒封嚴結構的設計主要來自于實驗研究和經驗，理論分析和可供參考的文獻較少，很多情況下對帶篦齒圓柱殼結構進行了簡化處理，相關文獻可參考加肋圓柱殼的分析結果，研究成果如下：Denecke J[2]等研究的篦齒封嚴振動特性集中在盤式篦齒影響因素分析方面，包括具有相鄰兩道篦齒之間的軸向距離不相等和篦齒道數少的結構特征。Lee Y S和Kim YW[3]利用瑞利—里茲方法研究了不同邊界條件下帶加強肋圓柱殼的頻率特性。Stanley A J和Ganesan N[4]采用半解析的有限元方法，分析了兩端固支邊界條件時帶肋薄壁圓柱殼的固有特性。李罡和何俊勇[5]研究了阻尼套筒對篦齒封嚴結構的減振特性，采用時頻轉換的方法對篦齒封嚴結構的響應進行了分析。曾亮和李琳[6]采用動柔度法分析了阻尼套筒尺寸等參數對篦齒封嚴裝置動力學特性的影響。王洪玉[7]等利用數值方法對鼓筒篦齒封嚴流場進行了仿真研究。劉倫[8]針對加肋圓柱殼，使用Gram-Schmidt正交化方法和瑞利-里茲法得到了圓柱殼的頻率方程，分析了肋條參數對柱殼自由振動特性的影響。陳美霞[9]等對結構振動特性的中、高頻段采用統計能量法，推導出振動能量的傳遞函數，得到了加肋圓柱殼表面的均方速度級。

針對帶有周向篦齒薄壁圓柱殼模態特性分析的需要，在懸臂邊界條件下，基于Love殼體理論，通過傳遞矩陣法和高精度的精細積分法求解得到了整體結構的固有頻率和三維模態振型，并通過與有限元法的比較，討論了篦齒位置、篦齒高度和篦齒道數對薄壁圓柱殼振動特性的影響規律。

1 帶篦齒薄壁圓柱殼的模態特性分析

在柱坐標系Oxθz中，帶有篦齒結構薄壁圓柱殼的模型和截面圖如圖1所示。

圖1 柱坐標系中帶有篦齒的懸臂薄壁圓柱殼模型

在圖1中，薄壁圓柱殼的長度、中面半徑和壁厚分別用L、R和H表示，坐標原點O為薄壁圓柱殼約束端面上的圓心，縱向x軸與軸線重合，徑向z軸在端面徑向上，切向θ為端面上偏離z軸初始位置的偏轉角，u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)表示中面上任意一點在軸向x、切向θ和徑向z的振動位移；篦齒斷面為矩形，沿著軸向垂直布置2個篦齒，篦齒截面的高度為Hr、寬度為Lr，篦齒以間距Br等距離分布。

將帶有篦齒薄壁圓柱殼沿著篦齒位置處分成厚度相等的多個區段，基于Love殼體理論[10]，每一區段圓柱殼的自由振動微分方程為

式中，Nx、Nθ和Nxθ表示薄膜力和薄膜剪力，Mx、Mθ和Mxθ表示彎矩和扭矩，Qx和Qθ表示橫向剪力，ρ為密度。

內力與內力矩和中面位移間的關系為

式中，K為薄膜剛度，D為彎曲剛度，μ為泊松比，E為楊氏模量。

面內剪力、橫向剪力、轉角θx和θθ分別為

令m表示軸向半波數，n表示周向波數，定義x、θ和z三個方向上的位移解為

式中ωmn表示固有頻率。

對于每一區段的圓柱殼，可以沿軸向分為N0個子段，共N0+1個截面，在任一截面ξi上，定義8個具有明確物理意義的狀態向量為

則位移、轉角、內力和內力矩表示為

將式(2)和式(6)帶入式(1)和式(3)，消除其它變量后得到1階常微分方程組為

對于每一區段的左右兩個相鄰端面，從一個端面到另一個端面的整體傳遞矩陣為

其中，每相鄰兩個截面的傳遞矩陣關系為

采用精細積分法[11]進行精確求解時，可將具有同一厚度的光滑圓柱殼，沿著軸向x方向分成長度為L1,L2,…,Lk-1,Lk的k個子段，子傳遞矩陣關系表示為

令式(11)的系數行列式等于零，可求得各階的固有頻率值，對于某1階模態(m,n)，令由式(11)可得

2 算例分析

在懸臂邊界條件下，利用傳遞矩陣法和精細積分法求解帶有篦齒薄壁圓柱殼在不同模態階次時的振動特性。如圖1所示，取帶兩個沿軸向均布篦齒的薄壁圓柱殼，篦齒道數為兩個，沿著軸向均勻分布，篦齒寬度Lr=0.004 m，篦齒高度Hr=0.002 m，篦齒間距Br=0.057 m，其材料參數和薄壁圓柱殼的材料參數相同，其中圓柱殼的材料和幾何參數如表1所示；同時采用有限元程序ANSYS中的模態分析功能對結果進行比較，單元類型選擇20節點的高階三維實體單元Solid 186，利用從相鄰面掃過體的方法填充生成網格，使用Block Lanczos法進行模態求解。

表1 薄壁圓柱殼的材料參數和尺寸參數

2.1 帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率

帶篦齒圓柱殼的固有頻率變化曲線如圖2所示，當軸向半波數m=1時，在低階模態處由傳遞矩陣法和有限元法得到的固有頻率的關系曲線基本重合，變化趨勢一致，隨著周向波數的增加，由傳遞矩陣法得到的固有頻率值比有限元法得到的固有頻率值增加幅度相同；當軸向半波數m=2時，對于中間的幾階模態，由傳遞矩陣法得到的固有頻率略大于有限元法得到的固有頻率值，但是隨著周向波數的增加而逐漸趨于一致；帶篦齒時通過兩種方法求得的最低階固有頻率出現在第(1,5)階，無篦齒時的最低階固有頻率出現在第(1,6)階。由于下端是固定的，對于圓柱殼有較強的約束，而對于上部約束影響較小，同時篦齒對圓柱殼也起到了約束作用，所以篦齒增加了結構的整體剛度，導致固有頻率值出現增加的現象。

2.2 帶篦齒薄壁圓柱殼的模態振型

對帶有兩個軸向均布篦齒薄壁圓柱殼的模態振型，如表2所示，取固有頻率最低的3階模態，即當軸向半波數和周向波數分別為(1,4)、(1,5)和(1,6)時，通過兩種方法求得的帶篦齒薄壁圓柱殼的三維模態振型一致，在懸臂端表現為周向波數分別為4、5和6的花瓣形狀，并且在懸臂端的振動位移最大。

圖2 帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率比較

表2 帶篦齒懸臂薄壁圓柱殼的模態振型

3 篦齒對薄壁圓柱殼振動特性的影響

懸臂圓柱殼構件在工程實踐中比較常見，下面對篦齒結構對光滑薄壁圓柱殼模態特性的影響進行研究。當單道篦齒分別位于薄壁圓柱殼的上側、中部和下側，篦齒中心距上端的距離分別為0.017 m、0.047 5 m和0.078 m，篦齒高度分別為0.003 m、0.004 m和0.005 m，篦齒寬度均為0.004 m，其它參數不變，對其模態特性進行分析。

取單道篦齒位于薄壁圓柱殼的上側，但篦齒高度不同時，如圖3所示，篦齒高度對薄壁圓柱殼固有特性的影響較大，當周向波數n=1～4時，帶篦齒薄壁圓柱殼和光滑薄壁圓柱殼的固有頻率非常接近，隨著周向波數的增加，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率值均大于光滑薄壁圓柱殼的固有頻率值；隨著篦齒高度的增加，固有頻率隨之增大，但隨著周向波數的進一步增大固有頻率值逐漸趨于一致。這是由于篦齒高度的增加提高了結構的整體剛度，導致了固有頻率的增加。

圖3 篦齒高度對懸臂薄壁圓柱殼的影響

取篦齒的高度Hr為0.003 m，但單道篦齒分別位于薄壁圓柱殼的上側、中部和下側時，結果如圖4所示，篦齒位置對圓柱殼固有頻率的影響是顯著的，當篦齒位于薄壁圓柱殼上側時對固有頻率的影響最大，當篦齒位于薄壁圓柱殼的下側時對固有頻率的影響最小。這是由于下側篦齒對于結構整體剛度的影響不大，而上側篦齒能顯著增加結構的整體剛度，所以導致固有頻率顯著增加。

圖4 篦齒位置對懸臂薄壁圓柱殼的影響

當在薄壁圓柱殼構件上帶有幾道篦齒但布置形式不同時，即分析下側帶有2道篦齒而上側無篦齒、下側帶有2道篦齒而上側1道篦齒、下側帶有2道篦齒且上側2道篦齒三種情況，具有不同篦齒道數時的結構簡圖如圖5所示，分析結果如圖6所示。

圖5 帶不同道數篦齒時薄壁圓柱殼的斷面圖/mm

由圖6可知，在懸臂邊界條件下，篦齒道數對薄壁圓柱殼的影響不同，當周向波數n≤4時，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率對光滑薄壁圓柱殼的固有頻率影響很小，但是隨著周向波數的增加，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率要大于光滑薄壁圓柱殼的頻率值；當下側帶有兩道篦齒且上側無篦齒時對薄壁圓柱殼固有頻率的影響最小，當下側帶有兩道篦齒且上側也帶有兩道篦齒時對薄壁圓柱殼的固有頻率影響最大。由于下側篦齒對于結構整體剛度的影響不大，表現在圖5和圖6上，下側有篦齒時的固有頻率與無篦齒時的兩條曲線基本重合，而上側的篦齒能顯著增加結構整體剛度，所以導致固有頻率顯著增加，而且上側篦齒的道數越多，固有頻率增加越顯著。

圖6 帶不同道數篦齒時薄壁圓柱殼的固有頻率

4 結語

在懸臂邊界條件下，采用傳遞矩陣法和精細積分法分析了帶有篦齒薄壁圓柱殼的模態特性，并與有限元法進行比較。對于帶有周向篦齒結構的薄壁圓柱殼，當周向波數較低時的固有頻率值和無篦齒時的固有頻率值保持一致，隨著周向波數的增加，帶篦齒薄壁圓柱殼的固有頻率值大于無篦齒的圓柱殼固有頻率值，帶篦齒時通過兩種方法求得的最低階固有頻率出現在第(1，5)階，而無篦齒時圓柱殼的最低階固有頻率出現在第(1，6)階；同時，通過兩種方法得到的三維模態振型均表現為花瓣形狀，在自由端的振動幅度最大。由于固定端約束和篦齒結構對整體剛度的作用，篦齒高度、篦齒布置位置和篦齒道數均對薄壁圓柱殼的振動特性有較大影響，所得結果為帶篦齒薄壁圓柱殼構件的響應特征和故障研究提供了參考。

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Influence of Sealing Teeth on the Modal Characteristics of a Cantilever Thin Cylindrical Shell

WANG Yu,HAN Qing-peng,LIChang,CHEN Dong
(School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051,Liaoning China)

The transfer matrix method was presented to study the modal vibration characteristics of a cantilever thin cylindrical shell with a circumferential tooth structure on its outer wall(i.e.sealing teeth).Firstly,the dynamic model of the thin cylindrical shell under cantilever constraint condition with sealing teeth was established based on Love’s shell theory. Then,the transfer matrix method and high-precision integration method were introduced to solve the modal characteristics of the cylindrical shell.The natural frequencies and three-dimensional modal shapes of the cylindrical shell were obtained. Results were compared with those of finite element method.Finally,the effects of different sealing teeth’s layouts,heights and numbers on the shell were studied.The results show that the transfer matrix method is suitable for solving the modal vibration characteristics of the cantilever thin cylindrical shell with sealing teeth,and sealing teeth’s positions,heights and numbers have great influences on the vibration characteristics of the shell.

vibration and wave;cantilever thin cylindrical shell;sealing teeth influence;natural frequency;threedimensional modal shape

O326

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.03.018

1006-1355(2015)03-0082-05

2014－10－24

國家自然科學基金資助項目(51105187)；遼寧科技大學青年基金資助項目(2014QN13)

王宇（1979－），男，遼寧鐵嶺人，博士，講師，主要研究方向：機械系統動力學研究。E-mail:wangyu435@126.com