響應面在磁懸浮軸承轉子模型修正中的應用

趙 晨，周 瑾，徐園平

（南京航空航天大學 機電學院,南京 210016）

響應面在磁懸浮軸承轉子模型修正中的應用

趙 晨，周 瑾，徐園平

（南京航空航天大學 機電學院,南京 210016）

精確的磁懸浮軸承轉子有限元模型對轉子動態特性的研究及控制器的設計有著重要的作用。對于磁懸浮軸承轉子的硅鋼片圈、傳感器基準環和光軸的過盈配合，有限元模型采用簡化處理，使得轉子彎曲剛度產生誤差。為了獲得精確的磁懸浮軸承轉子有限元模型，需要利用響應面代理模型對有限元模型進行修正。以一個磁懸浮軸承轉子為例，以模態頻率和振型相關系數（MAC）為目標建立響應面，對轉子的有限元模型進行修正。建立的響應面精度很高，修正后的有限元模型分析的模態頻率、振型向量和試驗值基本一致。結果表明，應用基于響應面的磁懸浮軸承轉子模型修正方法修正過的有限元模型更加精確。

振動與波；磁懸浮軸承；模型修正；響應面；轉子；振型相關系數

磁懸浮軸承轉子的光軸上熱套有硅鋼片、傳感器基準環等其他部件，改變了轉子自身的彎曲剛度，使得有限元模型增添了許多不確定性因素。需要利用模型修正方法對磁懸浮軸承轉子有限元模型進行修正。根據模型修正過程中使用實驗數據的不同，模型修正方法可以分為基于頻響函數的模型修正方法和基于模態參數的模型修正方法[1-3]兩大類。

國內外對有限元模型修正方法已經進行了多方面的研究。Friswell[4-6]對基于模態參數的有限元模型修正方法的修正參數的選擇、修正中的阻尼等進行了深入研究，得出了依據試驗模態頻率和模態振型共同修正有限元模型會更加準確的結論。在眾多學者研究的過程中，響應面法[7，8]逐漸廣泛運用于有限元模型修正及其工程應用中。該方法將有限元模型修正[9-10]的適用范圍進一步推廣到其他非線性領域。郭勤濤[11]研究了如何獲得高階高精度響應面及其對有限元模型修正精度的影響。宗周紅[12]利用響應面代理模型對下白石大橋的有限元模型進行修正，模型修正后有限元分析結果與試驗結果比較吻合。

有限元模型對于一些復雜轉子結構的螺栓連接部分、過盈配合、軸承支承等的準確模擬，一直是一個研究的難題。針對磁懸浮軸承轉子的硅鋼片圈、傳感器基準環和光軸之間的過盈配合，本文采用響應面法對磁懸浮軸承轉子三個配合部分進行物理參數的識別，從而達到對轉子有限元模型修正的目的。

1 響應面法的轉子有限元模型修正的基本理論

1.1 響應面試驗設計

試驗設計方法[13，14]采用D-最優設計生成試驗設計樣本點。因為D-最優試驗設計既可以保證精度也可以減少試驗次數。磁懸浮軸承轉子系統如圖1所示，由轉子、徑向AMB、軸向AMB、傳感器和控制器組成，轉子的結構尺寸如圖2所示。

圖1 磁懸浮軸承轉子系統

圖2 磁懸浮軸承轉子結構圖（x轉子長度；y轉子直徑）

轉子的質量及幾何尺寸都可以通過精確的測量工具獲得。但對于轉子軸段的一些剛度屬性卻很難確定。選取硅鋼片和傳感器基準環部分所在的軸段材料的楊氏模量作為修正參數。左右兩個軸承支承軸段的結構尺寸是相同的，因此將支承軸段的楊氏模量E1和電機軸段的楊氏模量E2設為修正參數。

1.2 響應面的擬合

本文采用多項式回歸法[15]建立響應面模型，用最少的試驗代價取得最好的結果，快速而有效。磁懸浮軸承轉子中自變量E1、E2與因變量Yi(i=1，2，3)之間的線性關系為

其中E1和E2是支承軸段和電機軸段的楊氏模量，Yi(i=1，2，3)代表前3階彎曲模態頻率或振型相關系數，Fi(E1，E2)(i=1，2，3)代表因變量Y和自變量E1和E2之間的多項式關系。利用D-最優設計生成實驗設計樣本點則生成楊氏模量的試驗點如下式所示

采用5階多項式擬合試驗點，Yi(i=1,2,…,n)為由有限元模型計算的模態參數（模態頻率或振型相關系數），具體形式為

βi(i=1，2，…12)為多項式的系數。分別建立模態頻率多項式響應面和MAC值多項式響應面。通常用誤差平方R2、相對均分根誤差RMSE作為檢驗響應面的精度。有限元模型修正過程中，不能僅以模態頻率作為目標響應變量，同樣需要考慮振型向量的匹配度。

1.3 基于響應面法的模型修正方法

建立的有限元模型和實際模型有一定差別，所以需要進一步進行模型修正，模型修正問題可以表述為以下的優化問題

其中ωBj為響應面代理模型分析的模態頻率，ωAj析為試驗模態頻率，MAC為響應面代理模型計算的前3階彎曲模態振型和試驗振型相關系數。εω(p)為響應面分析的模態頻率和試驗模態頻率殘差向量，εω(p)為MAC值和1的殘差值。

上式中R為殘差項，p表示設計參數，Kω(j)和Km(j)為對應的權重因子，pU和pL分別表示設計參數P的上限與下限。通過優化算法使殘差項R最小的設計參數p即為最優參數值。

2 響應面代理模型對轉子有限元模型的修正

2.1 模態實驗

首先進行模態試驗獲得轉子的模態參數，轉子總長為436 mm，轉子重量2.4 kg，光軸密度為7 850 kg/m3，光軸楊氏模量為206 GPa，轉子支承位置的直徑為39.8 mm。試驗設備為OROS多通道信號分析儀、PCB力錘和ICP傳感器，振動測點采用線狀分布，邊界為自由—自由。采用跑點錘擊法采集頻響函數，平均次數為5，采用模態分析軟件識別模態參數。

2.2 磁懸浮軸承轉子有限元模型修正

文中磁懸浮軸承轉子實際工作轉速一般在第1階彎曲模態頻率以下，選取轉子前3階彎曲模態參數作為目標響應量，對支承軸段和電機軸段的楊氏模量E1、E2進行修正。響應面的建立和有限元模型修正的過程如圖3所示。

圖3 轉子模型響應面建立過程

用多元線性回歸擬合，建立轉子的前3階模態頻率關于修正參數E1和E2的響應面模型如圖4所示。

響應面建立完成后，需要對響應面精度進行檢驗，采用R2和RMS E的準則檢驗模態頻率和修正參數所建立的響應面，檢驗結果如表1。

表1 模態頻率和修正參數的響應面檢驗精度

振型相關系數（MAC）在90%以上，即認為有限元模型和試驗模型之間存在很好的相關性。建立轉子的前3階彎曲模態MAC值關于修正參數E1和E2的響應面模型。同樣，采用R2和RMS E的準則檢驗MAC和修正參數所建立的響應面，檢驗結果如表2所示。

表2 MAC和修正參數的響應面檢驗精度

從檢驗結果表1和表2看出，模態頻率響應面R2均在0.9以上，說明響應面模型的頻率值與真值的總體差異很小；RMS E均小于1%，這說明響應面模型與真值的差別是平均幅值的1%。所以響應面模型精度很高，可以作為有限元模型的代理模型。修正參數E1和E2的修正前后值如表3所示。

表3 修正前后參數值對比

表4給出了修正前后模態頻率誤差對比，可以看出修正后有限元模型模態頻率與試驗值相比誤差變得很小，表5給出了修正前后的MAC值，修正前后仿真振型和試驗振型匹配度都很好，且修正后第2階和第3階精度有一定的提高。

表4 修正前后模態頻率誤差對比

表5 修正前后前3階模態振型相關系數對比

結合表4和表5可以看出，修正后的有限元模型更接近于真實模型，說明基于響應面法的磁懸浮軸承轉子模型修正方法修正后的有限元模型更精確。

3 結語

基于響應面的模型修正方法結合模態試驗數據修正的有限元模型精度較高，能夠滿足工程實際和試驗研究需求。文中模態試驗試件為磁懸浮軸承轉子，模態試驗數據為模態頻率和振型相關系數（MAC）。磁懸浮軸承轉子在光軸上熱套有硅鋼片、傳感器基準環等其他部件，所以，轉子有限元模型中有很多的不確定性，依據試驗數據對有限元模型進行修正，可以提高有限元模型的精度。下一步可對磁懸浮軸承轉子進行不確定性建模，當確定轉子的物理參數分布后，可計算出有限元模型的動態響應范圍，在磁懸浮軸承轉子可靠性設計和振動分析階段，具有重要的工程價值。

[1]Mottershead J E.Model updating in structural dynamics:A survey[J].Journal of Sound and Vibration,1993,167(2):347-375.

[2]Hu S L J,LI Hua-jun,WANG Shu-qing.Cross-model cross-mode method for model updating[J].Mechanical Systems and Signal Processing,2007,21:1690-1703.

[3]Bakir P G,Reynders E.An improved finite element model updating method by the global optimization technique Coupled Local Minimizes[J]. Computers and Structures,2008,86(11):1339-1355.

[4]Friswell M I,Mottershead J E,Ahmadian H.Combining subsetselection and parameterconstrantsin model updating[J].Journal of Vibration and Acoustics,1998, 120(4):854-859.

[5]Friswell M I,Garvey S D,Penny J E T.The convergence of the iterated IRS method[J].Journal of Sound and Vibration,1998,211(1):123-132.

[6]Friswell M I,Inman D J,Pikey D F.The direct updating of damping and stiffness matrices[J].American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal,1998,36(3):491-493.

[7]邱飛力，張立民，張衛華，等.基于響應面方法的支架結構模型修正研究[J].噪聲與振動控制，2014，34(3)：139-143.

[8]張偉杰，陸秋海，緱百勇，等.基于逆響應面法的有限元模型修正[J].噪聲與振動控制，2013，33(6)：5-10.

[9]周星德，明寶華，潘瑞鴻，等.基于遺傳算法的降階模型修正方法研究[J].振動、測試與診斷，2007，27(1)：25-28.

[10]Fei Qingguo,Li Ai qun,Miao Changqing.Dynamic finite element model updating using meta-model and genetic algorithm[J].Journal of Southeast University,2006,22(2):213-217.

[11]郭勤濤，張令彌，費慶國.用于確定性計算仿真的響應面法及其試驗設計研究[J].航空學報，2006，27(1)：55-61.

[12]宗周紅，高銘霖，夏樟華.基于健康監測的連續剛構橋有限元模型確認(I)-基于響應面法的有限元模型修正[J]．土木工程學報，2011，44(2)：90-98.

[13]費慶國，張令彌，李愛群.基于統計分析技術的有限元模型修正研究[J].振動與沖擊，2005，24(3)：23-26.

[14]童恒慶.理論計量經濟學［M］.北京：科學出版社，2005：30-84.

[15]竇毅芳，劉飛，張為華.響應面建模方法的比較分析[J].工程設計學報，2007，14(5)：359-363.

Finite Element Model Updating of the Rotor Supported by Magnetic Bearings Using Response Surface

ZHAO Chen,ZHOU Jin,XU Yuan-ping
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Nanjing University ofAeronautics andAstronautics, Nanjing 210016,China)

Finite element model of the rotor supported by active magnetic bearings(AMBs)plays an important role in the dynamic characteristic analysis of rotor-bearing systems and optimal design of controllers.However,since the connections among the silicon steel coil,the sensor’s reference ring and the sleeve are simplified in finite element modeling, the rotor bending stiffness may include remarkable errors.To obtain an accurate finite element model of the magnetic bearing-rotor system,the response surface representative model is necessary to update the finite element model.In this paper,the response surface of a magnetic bearing-rotor system was established to update the finite element model of the rotor.The modal frequencies and Modal Assurance Criterion(MAC)were determined through the simulation.The results were compared with those of experimental measurements.It is found that the modal frequencies and the modal vectors are in good agreement with those of the experiments,and the finite element model of the rotor-AMB system updated by the response surface is more accurate than the conventional finite element model.

vibration and wave;active magnetic bearing;model updating;response surface;rotor;modal assurance criterion

TH133

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.03.023

1006-1355(2015)03-0108-04

2014－12－17

江蘇省自然科學基金(BK2011070)；國家自然科學基金(51275240)

趙晨，江蘇淮安人，碩士，目前從事磁懸浮軸承轉子動力學方面研究。E-mail:zhao_chen05@163.com

周瑾，江蘇徐州人，博士生導師。E-mail:zhj@nuaa.edu.cn