一道不等式問題的錯解引發的思考

●王榮鑫(邗江中學江蘇邗江225009)

一道不等式問題的錯解引發的思考

●王榮鑫(邗江中學江蘇邗江225009)

1 問題緣起

進入高三復習階段，學生在知識體系趨于完善的同時也具備了一些基本的解題策略.但有時仍會順題而解，落入命題的陷阱，得到錯誤的思路，或者選擇了易想而難算的方法，與正確結果漸行漸遠甚至背道而馳.羅增儒教授說過:“解題愚蠢是與解題智慧相對照的一個詞，并且主要用于自己.解法不夠本質、付出的解題力量大于標準解法的解題力量，都包含著解題愚蠢.”筆者一直在思考，如何才能讓學生告別這些“解題愚蠢”?下面以一道不等式問題為例，結合課堂教學片斷，談一些個人不成熟的思考.

例1關于x的不等式x2－ax+2a＜0的解集為A，若集合A中恰有2個整數，則實數a的取值范圍是______.

(江蘇省連云港市2013屆高三期末考試試題)

本題是填空壓軸題，考查含參不等式問題，綜合性強，難度較大.

2 教學片斷

2.1 錯解分析

教師出示例題，學生作答.由于一元二次不等式是常見題型，學生下手很快，但大多數學生并沒有得到正確結果，有些苦苦思索無從下筆，有些則迷失方向，盲目地在復雜的計算中彷徨.巡視中發現了一類錯解，是筆者在備課前沒有預料到的，是否仍然按照課前的預設進行講解，短暫的猶豫之后，筆者決定先讓學生談談自己的想法.

師:大部分同學都有了自己的想法，這道題短小精悍，貌似很“善良”，可是下手容易，得手難啊(學生紛紛點頭表示贊同).現在請生1談談自己的想法.

生1(實物投影展示):不等式解集非空，則Δ＞ 0，得a＞8或a＜0，解不等式得:(記為x1＜x＜x2).因為解集A中恰有2個整數，2個整數之間的“距離”最小是1，恰好有2個就不會超過2，所以1＜|x1－x2|＜2，然后代入解不等式.

師:很好，生1直接解出原不等式，然后“翻譯”轉化題中條件“若集合A中恰有2個整數”，據此構造相關不等式，目標明確，思路清晰.對他的想法，有不同意見嗎?

生2:“1＜|x1－x2|＜2”不是“集合A中恰有2個整數”的充要條件，畫出數軸就可以舉出反例了(如圖1所示).

圖1

師:很好，愛因斯坦說過發現問題比解決問題更重要，生2發現了生1解法中的問題，并舉反例說明生1解法的錯誤，同時，舉反例也是一種非常重要的數學能力.但我認為生1的想法中依然存在著閃光點，是否能夠修正原本錯誤的解法?或者你有其他更優的思路嗎?

2.2 錯解修正

生3:我認為生1的方法很好，他已經直接解出了不等式，將關于x的一元二次不等式轉化降為一次，我感覺到他已經很接近真相了.問題的關鍵在于題目中的“解集A中恰有2個整數”這個條件還可以怎么用?

師:你的評價很到位，那就請按照你的想法，繼續下去.

生3:我認為可以考慮縮小x1，x2的范圍.

(興奮地沖上講臺投影展示)當a＞8時，x=4必然是不等式的1個整數解，x2是以a為自變量的函數，在(8，+∞)上單調遞增，故x2∈(4，+∞)，從而

1)x1∈［3，4)，x2∈(5，6］，2個整數解為4和5，即

2)x1∈(2，3)，x2∈(4，5］，2個整數解為3和4，a∈φ.

2.3 解法優化

師:非常好，生3在前2位同學的基礎上對錯解進行了修正.他采用函數單調性結合估算的方法來縮小整數解可能值的范圍.剛才這幾位同學告訴我們，錯誤并不可怕，我們可以從錯誤的解法中探尋到正確甚至更加高妙的思路.大家對他的解法有什么評價?解法可以再優化嗎?

優化1數形結合

生4:生3的的方法很好，他把x1，x2看成以a為自變量的函數，這種想法很有意思，但計算太繁了.我認為他運算基本功非常扎實，可總覺得有點“殺雞焉用屠龍刀”的感覺(學生大笑).我想用二次函數構造函數f(x)=x2－ax+2a的圖像來解決問題，但是畫圖好像很麻煩，進行不下去(其他同學表示有同感).

師:考慮到“三個二次”之間的聯系，用二次函數解決一元二次不等式問題，是一個很自然的想法.這個函數圖像的形狀和位置由字母a控制，我們不妨取一些特殊值來得到特殊的圖像，然后讓a變化，函數圖像就會“動”起來，也許能最終解決問題.下面繼續嘗試，看看是否能完善這種解法.

生5(投影):構造函數f(x)=x2－ax+2a，如圖2，當a=8時，圖像與x軸相切于點(4，0)，a變大，圖像向右向下移動，x1減小，x2增大，當a=9時，拋物線對稱軸為，圖像經過點(3，0)，(6， 0)，可知2個整數解必為4和5，則f(3)≥0， f(4)＜0，f(5)＜0且f(6)≥0，解得.當a＜0時，同理可得.綜上所述，，當直線經過點(3， 9)時，a=9，此時直線也經過點(6，36)，則.當a＜0時同理可得，故

圖2

圖3

圖4

師:數形結合是解決不等式問題的一個重要思路.以上解法還可以再優化嗎?

優化2左右分離

生6:含參二次函數圖像的動態討論太復雜，可以考慮把－ax+2a移到不等式右邊，再畫圖.

(投影)原式可化為:x2＜a(x－2)，如圖3，g(x)=a(x－2)是恒過定點(2，0)的一系列直線，研究拋物線y=x2圖像在直線下方的部分.當a=8時，直線與拋物線相切，x=4必為不等式的解，當a＞8時，a越大直線越“陡”，另一解可能為3或5.當直線經過點(5，25)時，

優化3參變分離

生7:我認為干脆就把a與x分離，分離以后，畫圖更容易，計算也更加簡單.

(投影)原式可化為:x2＜a(x－2)，當x＞2時，;當x＜2時，.令x－2=t，則，研究“打勾函數”的圖像在直線y=a－4下方的部分.如圖4，p(1)= p(4)=5，，p(2)=4，則2個整數解為2或3，故

師:生1緊扣已知條件直接解出含參不等式，生2利用數軸舉出反例，生3在前面2位同學的基礎上率先得到了正確的結論，生4～生7各顯神通，利用數形結合，使抽象問題具體化，讓我們大開眼界.其中生7運用參變分離，避開二次函數圖像的動態討論，又進一步降低了計算量和思維的難度.不知不覺中，我們從錯誤走向了成功.大家在解題過程中的表現都非常棒!

3 幾點思考

以上是高三一輪復習課的一個片段，一個始料未及的錯誤，打亂了筆者的教學方案，但也正因為此，才多了一些意外的收獲和體會.通過對這道題目的講授，筆者有如下一些思考:

3.1 成功?錯誤

在巡視學生做題時，筆者發現班上約有20%的學生都犯了與生1相同的錯誤，立即調整了原本的教學方案，直面這個意外的錯誤.但如果只是簡單地指出錯誤，就失去了一次絕佳的“糾錯”良機，因此筆者選擇讓學生自己去發現并糾正其中的錯誤.黑格爾說:“錯誤本身是達到真理的一個必然的環節.”在平時的教學中，教師不能輕易批評或者否定學生的錯誤做法，不能強行修改學生的思維軌跡，而應選擇適當的教學方式，引導學生發現原有思維軌跡中的偏差，多角度剖析、探討、反思錯解，并對已有的錯解作出修正和優化，消解學生“畏錯”的心理障礙，讓學生探索、發現錯誤中所蘊藏的成功契機，漸漸告別“解題愚蠢”，在“知錯→議錯→糾錯”的過程中品味成功的喜悅.

3.2 學生≥教師

本題是一道高三期末考試的“把關題”，據命題人透露，某重點高中本題平均得分為0.2分，難度頗大.原教學方案是學生思考然后教師直接講授，但是受生1、生2啟發，筆者決定讓學生自由思考發言，教學過程居然出乎意料的順暢，學生的好點子層出不窮，真可謂驚喜連連.教師要堅信“弟子不必不如師，師不必賢于弟子”.就解題教學而言，每一種解法都是一個思維的終極結果.如果教師缺乏對學生的信任，在解題教學中忽視學生思維形成的過程，直接將解題過程扔給學生，學生就會從課堂的參與者退化成教師解題的旁觀者，甚至異化為數學的厭惡者，一旦離開教師就無所適從，不會獨立思考.在課堂教學中，教師雖然“聞道在先”，但也要大膽放開手，給予學生充分的信任，將課堂的主動權交還給學生.

3.3 對話?生成

在授課過程中，由于課堂沒有完全遵照自己預設的走向，筆者內心其實是有些許忐忑的.但在與學生的對話中，認真傾聽學生的想法和做法的同時，帶領學生探索思考，學生順利地得到了筆者本來準備花費巨力去講解的“簡潔”解法，筆者真切地感受到了一種酣暢淋漓的痛快.在日常教學中，教師要敢于調整自己的教學方案，引導學生在關鍵處對話，在質疑中釋疑，讓數學思維在自由對話中動態生成.教師“不能壟斷課堂上的話語權，但也不能放棄課堂上的話語權”.教師要充分利用自己的“術業專攻”，引導學生在解題過程中對話，比較與評價不同的思路，引導學生思考一系列的問題.例如怎樣才能得到這些思路?這個思路的錯誤在哪里?已有解法是否可以再優化?是否可以削減解題中冗余的思維回路?所有解法的共性是什么?一旦學生的主動性被喚醒，話語交鋒引發出思維碰撞，會擊穿妨礙思維的魔障，激活學生的多元思維，提升理性思維的廣度和深度，生成真正屬于自己的“解題智慧”.

行文至此，以羅增儒教授的一段妙語結束本文，并與諸君共勉:“即使我很笨，我也有機會通過解題過程的分析而學會聰明，并且聰明是由自己習得的.”

［1］羅增儒.解題分析——再找自己的解題愚蠢［J］.中學數學教學參考:上旬，1998(4):21-22.

［2］徐明.小填空，大乾坤——一道統考題的命題構思與反思［J］.中學數學教學參考:上旬，2013(6):61-63.

［3］水菊芳.我們不是課堂“神話”的締造者——“將課堂交給學生之我見”［J］.中學數學教學參考:上旬，2013(12):26-29.

［4］羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.南寧:廣西教育出版社，2008:251.