也談曲線切點弦的處理方法

●吳斌 王懷明(會宮中學安徽樅陽246740)

也談曲線切點弦的處理方法

●吳斌 王懷明(會宮中學安徽樅陽246740)

文獻［1］由一道測試題提出一個問題:過圓外一點作圓的2條切線，如何求2個切點所在直線的方程?然后通過對大綱版教材和人教A版教材處理方法的比較，得出結論:大綱版教材的處理方法(即下面的解法1，筆者注)“求解思維轉彎多，且對圓的一般位置需要另行推理，這對學生而言，有一定的困難”;人教A版教材的處理方法(即下面的解法2，筆者注)“優于大綱版教材，主要表現在計算快、轉化少，突出圓的地位而淡化切(直)線方程”.

事實真的是這樣嗎?本文先列舉文獻［1］中的2種解法，并增加解法3;然后通過解法的應用，比較3種解法，得到不同解法的適用范圍.

1 解法呈現

為了方便說明，將文獻［1］中的問題一般化:

過圓C:x2+y2=r2外一點A(x0，y0)作圓的2條切線，切點分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，求切點弦PQ所在的直線方程.

解法1因為圓C在點P(x1，y1)處的切線垂直于OP，當x1y1≠0時，，所以圓C在點P處的切線斜率為，方程為

當x1=0或y1=0時，切點弦也滿足方程

同理圓C在點Q(x2，y2)處的切線方程為

而點A(x0，y0)在切線上，有

這說明點P，Q的坐標滿足x0x+y0y=r2，因此切點弦PQ的方程為x0x+y0y=r2.

解法2由題意知，OP⊥AP，OQ⊥AQ，因此，點P，Q在以AO為直徑的圓上.設點M(x，y)是以AO為直徑的圓上任意一點，則

即以AO為直徑的圓的方程為

由題意知點P，Q既在圓C上，又在以AO為直徑的圓上，x(x－x0)+y(y－y0)=0與x2+y2=r2相減得x0x+y0y=r2，因此切點弦PQ的方程為

解法3當切線的斜率存在時，設切線斜率為k，則過點P(x1，y1)的切線方程為

同理可得圓C在點Q(x2，y2)處的切線方程為

而點A(x0，y0)在切線上，得

這說明點P，Q的坐標滿足x0x+y0y=r2，因此直線PQ的方程為

當切線的斜率不存在時，切點弦也滿足方程

說明解法1利用性質“圓心和切點的連線垂直于過該點的切線”，直接求出切線的斜率;解法3從代數角度處理問題，利用直線和圓相切時的判別式Δ=0求出斜率，它們后面的處理方法完全一樣.

2 解法的應用

例1已知拋物線C的頂點為原點，其焦點為F(0，c)(其中c＞0)到直線l:x－y－2=0的距離為設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的2條切線PA，PB，其中A，B為切點.

1)求拋物線C的方程;

2)當點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程;

3)略.

(2013年廣東省數學高考試題)

解1)過程略，拋物線C的方程為x2=4y.

2)拋物線C的方程為x2=4y，即，求導得.設A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中)，則切線PA，PB的斜率分別為，，從而切線PA的方程為

同理可得切線PB的方程為

因為切線PA，PB均過點P(x0，y0)，所以

從而(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y－2y0=0的2組解，因此直線AB的方程為

由上述解題過程知，當圓換成拋物線時，解法1和解法3仍然適用，而解法2則不適用.切點弦問題在高考試題中很常見，如:

例2拋物線C1:x2=4y，C2:x2=－2py(其中p＞0).點M(x0，y0)在拋物線C2上，過點M作C1的切線，切點為A，B(當M為原點O時，A，B重合于點O).當時，切線MA的斜率為

1)求p的值;

2)當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程(當A，B重合于點O時，中點為O).

(2013年遼寧省數學高考試題)

解1)p=2(過程略).

2)同例1的解法得到切點弦AB的方程為

聯立x0x－2y－2y0=0與x2=4y得

設N(x，y)，由點N為AB的中點，得

由點N在直線AB上，得

由點M在C2上，得

式(1)，式(2)，式(3)消x0，y0，得，從而AB中點N的軌跡方程為

與參考答案相比，該解法思路簡單，易于掌握.同樣地，該題求切點弦AB的方程時，只適用于解法1和解法3.

例3設點P(x0，y0)在直線x=m(其中y≠m，0＜m＜1)上，過點P作雙曲線x2－y2=1的2條切線PA，PB，切點為A，B，定點

1)略;

2)求證:點A，M，B共線.

證明設A(x1，y1)，B(x2，y2)，切線PA的方程為

同理可得PB的方程為

又P(m，y0)在PA，PB上，得

即點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直線y0y=mx－1上，亦即AB的方程為

說明這里主要是求切點弦的問題.我們發現，不僅解法2不適用，解法1也不適用，因為沒有辦法直接求斜率，所以必須利用解法3的思路求解.

3 不同解法比較及求解策略

首先，從難度來看，解法1的難點在于先求2個切點P，Q處的切線方程，再利用點A(x0，y0)在切線上直接得到切點弦方程.解法2的難點在于: 1)能看出點P，Q在以AO為直徑的圓上;2)能順利寫出圓的方程;3)注意到PQ是2個圓的公共弦，由2個圓方程相減得到直線PQ的方程.解法3與解法1的區別是:解法3沒有直接寫出斜率，利用一元二次方程根的判別式Δ=0求出斜率，其他相同.因此3種解法難度差不多，即便是圓的一般位置，處理起來也沒有多大區別.

其次，從適用范圍來看，解法1或解法3不僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法，也適用于直線與一般的圓錐曲線相切時切點弦的求法;解法2僅適用于直線和圓相切時切點弦的求法.

因此，在求二次曲線的切點弦問題時，可遵循以下要求:若過圓外一點作圓的切線，則3種解法都可以，只是解法1和解法2相對簡潔一點.若過一般的二次曲線外一點作曲線的切線，則要具體情況具體對待，能直接求切點處斜率的，按照解法1的思路即可;不能直接求切點處斜率的，則要按照解法3的思路，聯立方程組，消元后由Δ=0求斜率.再由曲線外一點是2條切線的公共點，寫出切點弦方程.

讀者可以做下面2道練習題，從中進一步體會3種解法適用范圍的不同.

練習1過點(3，1)作圓(x－1)2+y2=1的2條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()

A.2x+y－3=0 B.2x－y－3=0

C.4x－y－3=0 D.4x+y－3=0

(2013年遼寧省數學高考理科試題第9題)

(3種解法均可，答案為A.)

(本題是由2014年“華約”自主招生試題改編而成的，只有解法3適用，切點弦AB的方程為，答案為)

4 高等數學背景

曲線切點弦問題的知識背景是高等數學中圓錐曲線的極點和極線問題.

已知圓錐曲線C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(其中A2+C2≠0)，則稱點P(x0，y0)和直線l: Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圓錐曲線的一對極點和極線.

若極點在曲線C上，則極線l就是曲線C在點P處的切線;若過極點可作曲線C的2條切線，P，Q為切點，則極線就是直線PQ.若利用極點和極線的有關性質，則可以直接寫出切點弦方程.

如本文開始的引例，極點A(x0，y0)相應的極線方程為x0x+y0y=r2，即為切點弦PQ的方程.例1中曲線C:x2=4y，極點A(x0，y0)相應的極線方程為

例2同例1(解法略).例3中曲線C:x2－y2=1，極點P(m，y0)相應的極線方程為

5 結束語

通過上面的分析可以發現，解法2(即新教材的處理方法)是最特殊的解法，只能適用于直線與圓相切的問題.解法1比解法2適用范圍更廣，只要切點的斜率能求即可，如文獻［1］中的2個題目和本文的例1、例2.解法3的適用范圍最廣，只要是直線與二次曲線相切的問題，都可以求解.因此，這3種解法之間是特殊與一般的關系，我們要正確看待特殊方法與一般方法的關系.不僅要通過研究教材例題和習題，尋求解決一個問題的最優途徑，更要透過現象看本質，尋求一類問題的普遍適用的解決方法，讓學生能觸類旁通，舉一反三.

教材是教學的出發點和歸宿，教師在教學中既不能全盤否定教材，另起爐灶，也不能過分盲從、迷信教材的權威，照本宣科.要有自己的理解和思考，用批判的眼光看待教材，創造性地使用教材.只有這樣，我們的課堂教學才會充滿生機和活力.

作為學生，無需知道曲線切點弦的高等數學知識背景，必須利用他們所掌握的知識方法解決問題.但作為教師，不僅要知道切點弦問題的不同解法，以及解法的適用范圍，更要知道方法所隱含的高等數學知識背景.教師要有一桶水，才能給學生一杯水，才能輕松自如，舉重若輕.

［1］李秀元.從一道測試題到自主招生考試題［J］.中學數學教學參考:上旬，2014(7):25-26.