巧用類比策略講解多元隱函數的偏導數

王海英 楊筱珊 何挺

摘要：類比策略是一種間接推理的方法，也是一種常見而重要的數學思想方法，本文研究了類比策略在多元隱函數的偏導數教學中的具體應用.

關鍵詞：類比策略;多元隱函數;偏導數

中圖分類號：G642.0 ? ?文獻標志碼：A ? ?文章編號：1674-9324（2015）46-0193-02

類比是一種間接推理的方法，是一種常見而重要的數學思想方法，也是一種科學研究方法.數學中的類比策略是指，為了解決數學問題B，運用與B有某些類似特征的數學問題A，推測出問題A、B可能有某些類似的結論，可以用解決問題A辦法去解決問題B.

關于一元隱函數導數的研究成果有很多[1-6]，比如，文[1]給出了一元隱函數求導數的一種方法：方程兩邊直接關于自變量求導.文[2]又給出了求一元隱函數導數的另外兩種方法：顯化法、微分法.多元隱函數求偏導數是高等數學教學的一個重點，也是一個難點，下面就具體說明類比策略在多元隱函數的偏導數教學中的應用.

一、通過例題復習回顧一元隱函數求導數的方法

例1 求由方程x2+y=1所確定的隱函數的導數.

解 （一）顯化法

由x2+y=1，得y=1-x2，則y'=-2x.

（二）方程兩邊直接關于自變量求導法

將方程x2+y=1兩邊對x求導，并把y看作復合函數，得2x+y'=0，則y'=-2x.

（三）微分法

對方程x2+y=1兩邊同時求微分，得2xdx+dy=0，

則

二、類比策略講解多元隱函數求偏導數

一般地，如果x，y，z滿足一個方程f（x，y，z）=0，并且在一定條件下，當x，y取某區域內的任一組值時，總存在唯一的z值滿足方程f（x，y，z）=0，則稱方程f（x，y，z）=0在該區域內確定了一個隱函數.從而我們就可以類比一元隱函數求導數的方法：顯化法、微分法、方程兩邊直接關于自變量求導法，去求由方程f（x，y，z）=0所確定的二元隱函數的偏導數.

例2 求由方程ex=xyz所確定的隱函數的導數.

分析

解 （一）顯化法

由ex=xyz，得

（二）方程兩邊直接關于自變量求導法

將方程ex=xyz兩邊對x求導，并把z看作復合函數，得e=y（z+xz'x），

將方程ex=xyz兩邊對y求導，并把z看作復合函數，得0=x（z+yz'y），

（三）微分法

對方程ex=xyz兩邊同時求微分，得

exdx=yzdx+xzdy+xydz

對于多元隱函數情形，也可以應用類比方法求解其偏導數.

例3 求由方程組x=rcosθy=rsinθ所確定的隱函數的偏導數r'x，r'y，θ'x，θ'y.

解 （一）顯化法

由x=rcosθy=rsinθ，得x=，則

（二）方程兩邊直接關于自變量求導法

將方程組x=rcosθy=rsinθ兩邊對x求導，并把r，θ看作復合函數，得

1=r'xcosθ-rsinθθx'0=r'xsinθ+rcosθθx'，

將方程組x=rcosθy=rsinθ兩邊對y求導，并把r，θ看作復合函數，得

（三）微分法

對方程組x=rcosθy=rsinθ兩邊同時求微分，

得 ?dx=cosθdr-rsinθdθdy=sinθdr+rcosθdθ

解得

所以

三、總結

知識的類比，實際上也就是新舊知識的遷移;方法的類比，也就是對知識的歸納與總結[7].數學教學中若能恰當地應用類比策略，不僅能突出問題的本質，而且往往能使學生達到啟發思路、觸類旁通、舉一反三的效果，從而提高教學質量，同時有助于培養學生的創造能力等思維品質，提高認識問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]四川大學數學學院高等數學教研室.高等數學[J].第4版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]雷安平.求隱函數偏導數的幾種方法[J].貴州大學學報：自然科學版，2010，27（5）：7-10.

[3]倪敬能.關于隱函數求導問題的歸納與總結[J].潮湖學院學報，2002，4（3）：3-5.

[4]高霞.一類隱函數的求導方法[J].科技信息，2008，（4）：235.

[5]姚健康.由方程組所確定的隱函數的求導問題[J].貴陽學院學報，2006，1（1）：2-6.

[6]蔡東平.一元隱函數求導方法[J].電子制作，2013，（12）：160.

[7]莊中文.“類比”在高中數學教學中的應用[J].教育教學論壇，2012，（7）：156-158.