二維數字匹配濾波的信噪比分析

龍 杰 李聰欣 蔣 超 趙 君

1.信息系統工程重點實驗室，北京100038

2.北京理工大學，北京100081

合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar，SAR)是一種同時使用脈沖壓縮和合成孔徑技術的雷達［1－2］，它在距離向脈沖壓縮處理的信噪比增益為時寬帶寬積，在方位向的處理增益為合成孔徑處理增益，SAR 合成孔徑時間Ta內相干積累了n個回波信號，從相參積累的角度看，方位向處理的信噪比增益為脈沖重復頻率和形成合成孔徑所需時間的乘積［3－4］;但是，從匹配濾波的角度看，SAR 方位向處理也等價于匹配濾波的過程，那么信噪比增益為方位向信號的多普勒帶寬與積累時間的乘積［5］。從這一點看，目前存在2 種關于SAR 信噪比增益的計算方法［6－8］，但會產生不同的計算結果。因此，需要對SAR 兩維信號處理的信噪比增益進行分析。

另外，當雷達系統需要接收多種不同帶寬信號時，若信號帶寬的覆蓋范圍很大，為減少硬件資源和降低系統復雜度，接收機設計的濾波器往往需要按照接收信號的最大帶寬選擇。當接收小帶寬信號時，噪聲帶寬往往會大于信號帶寬，在這種條件下，需要對信號處理后的信噪比增益進行分析，因此需要分析不同噪聲帶寬下的SAR 信噪比增益，對采樣率進行優化設計。

本文主要針對SAR 信號處理的特點，首先從連續信號匹配濾波的過程出發，推導了數字匹配濾波的信噪比增益;其次對SAR 二維匹配濾波處理的信噪比增益展開數學分析;最后通過仿真試驗驗證了本文理論分析的正確性，解決了SAR 信噪比增益的爭議問題。

1 數字匹配濾波的信噪比增益

設匹配濾波器的輸入信號為s(t)，其對應的頻譜S(f)可以表示為:

式中，E0為信號頻譜的幅度;Bs為信號帶寬;fc為中心頻率。

設輸入的隨機噪聲為平穩的帶限白噪聲，其功率譜可以表示為:

式中，N0為功率譜密度;Bn為噪聲帶寬。則輸入的噪聲功率為:

那么經過匹配濾波器H(ω)= S*(ω)后，匹配濾波的信噪比增益可表示為:

式中，SNRo為輸出信噪比;SNRi為輸入信噪比。信號的能量Ep可以表示為:

在連續時間信號條件下，式中的信噪比增益可以表示為:

當輸入的連續隨機噪聲經過數字采樣后，白噪聲會變為色噪聲，噪聲的功率譜會隨采樣率的變化而變化。下面討論采樣率對功率譜的影響，根據隨機過程的采樣定理［9］，得到離散后的信噪比增益為:

式中，fs為信號的采樣率。式中的分子求和項表示采樣后的輸入噪聲功率，分母求和項表示匹配濾波后的輸出噪聲功率，令

令x = (f － nfs)/fs，則輸入噪聲功率為:

式中，

同理，可得輸出噪聲功率為:

下面主要針對不同的噪聲帶寬Bn、采樣率fs和信號帶寬Bs，對信噪比增益展開分析:

(1)若Bn/2fs≤1/2 ，即fs≥Bn≥Bs

從而可以得到信噪比增益為:

從上式可以看出，當滿足條件(1)的關系式時，匹配濾波的信噪比增益為噪聲帶寬與信號時寬的乘積，只不過通常在雷達接收端的濾波器帶寬與信號帶寬近似相等［10］，可以認為信噪比增益為信號的時寬帶寬積。

然而，當雷達系統需要接收多種不同帶寬的信號時，若信號帶寬的覆蓋范圍很大，為了減少硬件資源和降低系統復雜度，接收機的濾波器往往需要按照信號的最大帶寬選擇。當接收小帶寬信號時，噪聲帶寬會大于信號帶寬，因此需要分析不同條件下的信噪比增益。

(2)若Bn/2fs＞1/2 ，即Bn≥fs≥Bs

設p = [Bn/2fs+1/2 ]，其中，［·］表示取整數部分，q = Bn/2fs+1/2 －p，則式(15)中的分母求和項中共含有2p +1個積分區間，其中包括2p － 1個完整積分區間和2個非完整積分區間。

其中，對式(17)中的輸出噪聲功率需要根據噪聲帶寬、信號帶寬和采樣率三者之間的關系，分下面3 種情況進行討論:

從而可以得到離散采樣后匹配濾波的信噪比增益為:

從上面分析可以看出，數字匹配濾波的信噪比增益由噪聲帶寬Bn、采樣率fs和信號帶寬Bs的相對關系共同決定。傳統的計算SAR 距離向處理信噪比增益是在fs≥Bn≥Bs條件下得到的［11］，它只與時寬帶寬積有關，而在Bn≥fs≥Bs的多種信號帶寬條件下不再適用，本文給出了該條件下的解析表達式，能夠計算不同噪聲帶寬條件下的信噪比增益。從式(21)可以看出，當時，Gm= fsTp，即當采用低采樣率對噪聲進行采樣時，信噪比增益會相應減小;當1，2，…時，信噪比增益可以取得周期性極大值，此時如當n = 0 時，即滿足關系時，信噪比增益可以達到最大值。

2 二維匹配濾波的信噪比增益

SAR 成像過程實質上是一個二維匹配濾波過程，為了處理和實現方便，一般都是通過數據采集，在數字域實現二維匹配濾波。根據前面分析的結論，距離向匹配濾波的信噪比增益為:

同理，方位向匹配濾波的信噪比增益為:

式中，Fr為脈沖重復頻率，即方位向采樣率;Bd為方位向多普勒帶寬，Ts為方位向積累時間。則二維匹配濾波的信噪比增益可以表示為:

由于方位向匹配濾波處理前，輸入的噪聲功率為距離向處理后的輸出噪聲功率，根據前面的推導可知，采樣后噪聲功率保持不變，則有:

因此可以得到:

即:

當進行方位向匹配濾波時，與距離向匹配濾波進行類比，可以認為輸入的噪聲帶寬為Bs，采樣率為Fr，方位向信號帶寬為Bd。同理可設k = [Bs/2Fr+1/2 ]，l = Bs/2Fr+1/2 － k。由前面數字匹配濾波推導的結論可知，式(27)中的分母可以表示為:

其中，N0'為方位向處理前的等效噪聲功率譜。由于距離向處理完成后，噪聲帶寬被限制在信號帶寬Bs內，則等效噪聲功率譜為:

聯合式(27)、(28)和(29)可以得到二維匹配濾波的信噪比增益為如下3 種情況:

當Bs＞＞Fr≥Bd時，信噪比增益可以近似為:

從式(33)可以看出，傳統計算SAR 的二維處理增益只是在該條件下的一種近似，它與多普勒帶寬無關，但從匹配濾波的角度看，卻與多普勒帶寬有關。針對該計算結果，本文給出的SAR 二維信噪比處理增益的表達式可以計算任意參數配置條件下的處理增益，從式(30)～(32)可以看出，二維匹配濾波的信噪比增益與信號帶寬、信號時寬，多普勒帶寬、積累時間、噪聲帶寬、采樣率及Fr都有關，需要根據具體參數精確計算SAR 信噪比增益。

3 仿真分析

在表1 所示的系統參數條件下，對數字匹配濾波處理的信噪比增益進行仿真。

表1 系統參數

采用理論計算的方法，可以得到匹配濾波的信噪比增益與噪聲帶寬的關系如圖1 所示，從中可以看出，當噪聲帶寬滿足2nfs+Bs≤Bn≤2(n +1)fs－ Bs時，信噪比增益隨噪聲帶寬單調遞增;當2(n +1)fs－ Bs≤Bn≤2(n +1)fs+ Bs時，信噪比增益隨噪聲帶寬單調遞減，而傳統計算方法與噪聲帶寬只呈單調的線性關系。本文在離散的帶限白噪聲條件下，匹配濾波的信噪比增益隨噪聲帶寬呈現出周期性變化，并且可以取得周期性極大值。

圖1 一維匹配濾波信噪比增益與噪聲帶寬的關系

采用蒙特卡洛仿真的方法驗證理論推導結果，在試驗次數為5000 次的條件下，匹配濾波的信噪比增益的仿真結果如圖2 所示，信噪比增益取多次試驗結果的平均值，表2 給出了在不同噪聲帶寬條件下，匹配濾波信噪比增益的仿真結果與理論計算值的對比。由于噪聲具有統計特性，理論值與仿真結果基本相吻合，從而驗證了理論推導的正確性。其中，當噪聲帶寬Bn=95MHz 時，信噪比增益達到最大，此時滿足Bn= 2fs－Bs的關系，這與式的理論計算結果一致。另外，當系統噪聲帶寬和信號帶寬一定時，也可以通過合理地選擇采樣率使系統的輸出信噪比達到最優，即最佳采樣率可以設計為f*s=

圖2 不同噪聲帶寬條件下的信噪比增益

表2 信噪比增益

下面對二維匹配濾波的信噪比增益進行仿真，如圖3 所示，從中可以看出，二維匹配濾波的信噪比增益隨噪聲帶寬也呈周期性變化，表3 給出了在不同噪聲帶寬條件下二維匹配濾波信噪比增益的仿真結果與理論計算值的對比。從表3 可以看出，當噪聲帶寬Bn= 2fs－ Bs=95MHz 時，二維匹配濾波的信噪比增益達到最大值。傳統計算方法只與信號時寬、噪聲帶寬、脈沖重復頻率和積累時間有關，而本文方法還與采樣率、多普勒帶寬等參數相關，驗證了在不同噪聲帶寬和多普勒帶寬條件下的信噪比增益，并為SAR 采樣率優化設計提供了準則。

圖3 二維匹配濾波信噪比增益與噪聲帶寬的關系

表3 二維匹配濾波信噪比增益

從圖4(a)可以看出，在不同的多普勒帶寬條件下，信噪比增益隨PRF 的增加而逐漸增大，相對傳統計算方法與多普勒帶寬無關而言，從圖4(b)的局部放大圖中可以看出，信噪比增益與PRF 成正相關，并在大多普勒帶寬條件下這種影響尤為明顯。

圖4 二維匹配濾波的信噪比增益與PRF 的關系

4 結論

根據理論分析和仿真結果可知，離散采樣會導致白噪聲變為色噪聲，在色噪聲條件下，二維匹配濾波器的信噪比增益與噪聲帶寬、脈沖重復頻率、信號帶寬和采樣率的相對關系有關，當滿足一定條件時，它與傳統匹配濾波的信噪比增益等價。其次，在離散帶限白噪聲條件下，通過分析噪聲帶寬對信噪比的影響，信噪比增益會出現周期性極大值，當采樣率、噪聲帶寬和信號帶寬滿足條件時，匹配濾波的信噪比增益達到最大，可以基于信噪比最大準則對SAR 采樣率進行優化設計。

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