基于時間序列的時柵轉臺誤差修正研究

彭東林，練俊君，陳錫候，高忠華

(1.重慶理工大學機械檢測技術與裝備教育部工程中心，重慶 400054;2.時柵傳感器及先進檢測技術重慶市重點實驗室，重慶 400054)

時柵傳感器是基于“時間測量空間”思想設計的，具有高精度、高穩定性的位移傳感器［1－3］，將其作為轉臺的測量元件，可構成穩定性較高的時柵轉臺。時柵轉臺因具有穩定性高、成本低等優勢而得到廣泛運用，擁有良好的市場前景。但是，由于安裝結構、使用環境等因素，轉臺的定位精度相比時柵傳感器而言有較大的降低，在很大程度上未能發揮時柵傳感器精度高的特點。針對這一問題，目前時柵轉臺采用FFT技術進行誤差修正，通過大量的標定實驗，運用傅里葉級數對轉臺誤差的基次諧波進行修正［4－5］。FFT修正取得了不錯的結果，目前最好的效果能使精度提高到±6角秒，但仍然存在以下問題:從測量數據的組成結構來看，測量數據包含了標準量、綜合系統誤差和綜合隨機誤差。以往的修正方法很少考慮隨機誤差的因素，將分離的誤差基本視為系統誤差，然后進行建模修正。從精益求精的角度看，對隨機誤差的修正是時柵轉臺精度提高的重要研究內容，隨機誤差也是FFT修正后殘差中的主要組成部分［6］。

本文為進一步提高轉臺的定位精度，改進現有的修正方案，考慮隨機誤差的修正并結合時柵傳感器的原理，采用時間序列模型對具有相關性的隨機誤差進行建模修正。時間序列模型是利用“未來是過去規律的延續”這一思想，通過大量過去的數據進行建模，然后通過有效的模型預測下一時刻的隨機誤差，以達到減小轉臺定位的隨機誤差，從而進一步提高時柵轉臺精度的目的［7－9］。

1 時柵分度轉臺的時間序列誤差修正原理

時柵轉臺是可重復測量的穩定系統。從誤差溯源的角度看，其誤差主要是由傳感器的非線性誤差、軸系的回轉誤差、齒輪的偏心誤差和溫度等因素引起。從所得測量數據的組成上看，數據包括了標準值、綜合系統誤差和綜合隨機誤差［10－11］。采用綜合誤差修正的思想，從測量數據中通過分離技術得到綜合的誤差數據，然后采用取平均、中心化等數據處理方法可分別得到系統誤差數據和隨機誤差數據。將系統誤差數據和隨機誤差數據分別進行建模，并通過模型疊加方式進行修正，從而達到提高轉臺定位精度的目的［12－13］。在誤差修正過程中，誤差模型建立是關鍵，模型是否合適是影響修正結果好壞的重要因素。本文將時柵傳感器的原理與時間序列模型相結合，采用時間序列模型建立誤差模型。

時柵傳感器基于“時間測量空間的思想”，利用TST原理建立相對運動雙坐標系，將一個坐標系上的位置關系表現為在另一個坐標系上的時間差關系［14］，然后通過測量時間的方式來實現空間的測量。

如圖1所示，三相電流產生的旋轉磁場V可作為勻速坐標系。圖1中:Pa和Pb分別為動測頭和定測頭，傳感器所測量的角度為Pa與Pb之間的夾角。根據電磁感應原理，旋轉磁場相繼掠過動、定測頭就會有感應電動勢產生，對感應信號進行處理就可以得到如圖2所示的信號圖。在圖2中:Pa為定測頭感應出的信號，Pb為定測頭的感應信號。當轉臺旋轉時，Pa會平移，這時定測頭和動測頭之間的夾角就表現為信號中的相位差θi。通過插入高頻脈沖pt后計脈沖數的方式可以計算出夾角。推導公式如下:

式(1)中:V為旋轉磁場的轉速，V=60f/k，f為電源頻率，k為電機對數;Pt為單位脈沖頻率。

由式(1)可知:時柵傳感器實現了通過測量時間來測量空間的目的。傳感器對于時間的測量主要是通過插入高頻脈沖進行計數的方式來實現。因為時柵傳感器會以某一頻率不斷地給出轉臺當前的位置信息，由此可以得到具有相關位置信息的時間序列 {θ(t)，t=0，±1，±2，… }。

圖1 時柵傳感器原理

在誤差分離時運用了插入標準量法進行誤差的分離［15］。在時柵給出當前位置信息量的同時插入該位置的標準量，然后通過將標準量與時柵傳感器的測量值進行比較可得到轉臺的綜合誤差。分離得到的綜合誤差含有系統誤差和隨機誤差，其中系統誤差很大程度上決定了誤差數據的變化趨勢。

圖2 時柵傳感器動、定測頭信號

將分離后的綜合誤差數據進行取平均、中心化等處理，然后運用傅里葉級數進行擬合，將擬合出來的基波和低次諧波作為系統誤差，并把綜合誤差與系統誤差進行比較就可以分離出隨機誤差。隨機誤差分離過程如圖3所示。圖3中:Θ為時柵傳感器給出的位置信息量;Θ0為標準量;er為分離出來的隨機誤差。

圖3 隨機誤差提取

時間序列的誤差修正是利用過去值與現在值有相關性的特點，通過過去時刻的隨機誤差序列ert，ert－1，ert－2，…來預測未來時刻的隨機誤差 ert+1。因為誤差序列為離散的序列點，如果要得到兩個時刻之間的誤差數據，可以通過曲線擬合的方式擬合出隨機誤差的連續函數。如圖4中，實心點為y1，y2，y3時刻插入的標準值，與實心點相對應的空心點為該時刻的預測值。預測值通過對前期大量數據進行建模得到。如果需要得到兩個時刻之間的時刻yk所對應的預測值，可以將采樣點的數值作為插入值進行擬合，通過擬合的模型求出yk時刻的預測值［16］。

結合隨機誤差和系統誤差疊加修正的思想可以得到整個時柵分度轉臺的修正模型:

其中:Y0(t)為修正后的數據;Y(t)為時柵傳感器測量數據;ΔsY(t)為系統誤差，可由傅里葉擬合得到有限次的傅里葉級數形式:

ΔrY(t)為隨機誤差，可由時間序列模型擬合。

圖4 隨機誤差預測

2 AR(p)時序模型的建立

誤差修正的關鍵在于誤差模型的建立，本文采用隨機誤差和系統誤差分別修正的思想，將分離后的誤差分別建立系統誤差模型和隨機誤差模型，然后通過模型疊加的方式進行修正。對系統誤差采用傅里葉級數擬合的方式修正，隨機誤差采用時間序列模型進行擬合。時間序列模型可以很好地擬合出具有相關性的隨機誤差。本文針對時柵轉臺誤差的特點，通過實驗分析，采用AR(p)模型進行擬合，通過擬合的AR(p)模型來預測下一時刻的隨機誤差，達到誤差修正的目的。

對于隨機序列 {X( t)，t=0，±1，±2，… }，有數學模型:

模型中 φp≠0，保證最高階數為 p，其中:{εt}是均值為零的白噪聲 WN(0，σ2);{φ1，φ2，…，φp}是模型的參數。從模型可以看出，當前時刻的值與過去p個時刻的值和當前時刻的隨機干擾有關，因此可以通過模型的遞推公式預測未來的值。

模型中的參數估計是整個模型建立的關鍵［17］。下面對模型中的參數估計進行介紹。將所有的時間序列零均值處理后，通過式(4)計算出樣本子相關系數。

系數 ρ1，ρ2，…，ρp和φ1，φ2，…，φp滿足 Yule-Wolker方程，如下所示:

3 實驗研究

圖5為時柵轉臺的誤差修正平臺。運用步進電機驅動時柵轉臺勻速運動，同時時柵傳感器將發出帶有位置信息的時間序列。每次時柵傳感器發出信號的同時，光柵也發出相應的位置信號作為標準信號，然后將時柵和光柵信號同時送入計算機進行數據處理。

實驗研究將結合上述的實驗平臺，對轉臺進行整周離散采樣，采樣規格為對時柵傳感器的一個對極(5°)進行240個點的采樣，即每隔0.021°對光柵傳感器和時柵傳感器進行一次采樣。圖6(a)為一對極采樣中光柵數據和時柵數據的差值，可視為該實驗轉臺的綜合誤差。從圖6(a)中數據可以看出，其最大誤差達到了90角秒。根據本文前述，運用傅里葉級數對系統誤差進行擬合。本實驗轉臺采用8次傅里葉級數進行擬合，圖6(b)中曲線為系統誤差擬合的曲線。將擬合模型視為該轉臺的系統誤差模型，然后與綜合誤差數據做比較可得到綜合隨機誤差數據。如圖6(c)所示，可見該轉臺的隨機誤差達到±6角秒，對于隨機誤差的修正是本文研究的重點。

隨機誤差采用AR模型進行擬合，通過對實驗轉臺的大量研究發現，采用6階AR模型具有較好的擬合效果。圖7中‘ ’為隨機誤差數據的實際測量值，通過對前50個數據進行建模，得到合適的AR模型，該模型的擬合曲線在圖中用‘ ’表示。從圖7可以看出其擬合程度較好，能達到47.41%。

圖5 實驗平臺

圖6 誤差分析

圖8為整個誤差修正之后的結果。通過傅里葉級數對系統誤差的修正和AR模型對隨機誤差的修正，從圖8可知轉臺的精度有了較大的提高，由原來的最大90角秒減少到±3角秒。

圖7 隨機誤差預測

圖8 修正結果

4 結論

本文結合時間序列與時柵傳感器原理之間的關系，將時間序列模型運用到時柵轉臺誤差修正中。通過時柵傳感器在單位周期內給出的具有轉臺位置信息的時間序列進行建模，預測出下一時刻的誤差值，然后通過誤差修正模型提高轉臺的定位精度。通過本文的研究可以得到以下的結論:

1)通過實驗研究，對比圖6(a)中的最大90角秒的誤差和圖8中的±3角秒誤差可知:對于時柵轉臺，采用系統誤差模型和隨機誤差模型疊加的方式進行修正可以取得較好的修正效果。

2)在隨機誤差修正模型中，本文采用時間序列AR模型，并通過大量實驗研究得到較好的AR模型，證明了時間序列模型可以很好地運用到時柵轉臺的隨機誤差修正中。

3)除了通過改善時柵轉臺結構的方式來提高時柵轉臺的精度外，增強時柵轉臺系統的穩定性，使其成為可重復測量的穩定系統，然后運用本文方法也可以很好地提高轉臺精度。該方法為提高時柵轉臺精度提供了另一種設計思路。

［1］彭東林，劉小康，張興紅，等.高精度時柵位移傳感器研究［J］.機械工程學報，2005，41(12):126－129.

［2］彭東林，劉小康，張興紅，等，場式時柵位移傳感器研究［J］.儀器儀表學報，2003，24(3):321－323.

［3］彭東林，劉小康，張興紅，等.時柵位移傳感器研究［J］.重慶工學院學報，2006，20(5):1－4.

［4］彭東林，劉小康，張興紅，等.基于諧波修正法的高精度時柵位移傳感器［J］.儀器儀表學報，2006，27(1):31－33.

［5］楚興春，呂海寶，趙尚弘.基于傅里葉變換的高精度條紋細分方法［J］.光學學報，2007，27(12):2179－2183.

［6］費業泰，劉小君.機密儀器隨機誤差分離與修正技術的研究［J］.儀器儀表學報，1990，11(2):171－178.

［7］劉小康，鄭方燕，王先全，等.時柵數控轉臺空間回轉位置預測方法研究［J］.儀器儀表學報，2011，32(10):2303－2308.

［8］何書元.應用時間序列分析［M］.北京:北京大學出版社，2007:145－152.

［9］李書臣，徐心和，李平.預測控制最新算法綜述［J］.系統仿真學報，2004，16(6):1314－1319.

［10］盧榮勝，費業泰，楚含進，等.具有實時誤差綜合修正功能的動態測角儀［J］.工具技術，1998(4):39－41.

［11］盧榮勝，費業泰，楚含進.動態測量誤差評定.宇航計測技術［J］，1998，18(6):14－17.

［12］費業泰，陳曉懷，李書富.精密測試即儀器的誤差修正技術［J］.宇航計測技術，1996，16(4):66－70.

［13］盧榮勝，費業泰.動態測量若干基礎理論問題研究綜述［C］//全國計量測試學術大會論文集.北京:計量學報，1998:59－64.

［14］彭東林，劉成康，譚為民，等.時空坐標轉換理論與時柵位移傳感器研究［J］.儀器儀表學報，2000，21(4):338－342.

［15］盧榮勝，費業泰，葉聲華，等.標準量插入神經網絡實時誤差修正技術研究［J］.計量學報，2001，22(2):81－86.

［16］陳曼龍.誤差補償技術及應用特點［J］.計量測試與檢定，2008，18(6):1－3.

［17］王沁.時間序列分析及其應用［M］.成都:西南交通大學出版社，2008.